第三章 第1讲 导数的概念及其意义、导数的运算（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

第1讲　导数的概念及其意义、导数的运算 ◆课标要求 1．了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|x＝x0. f′(x0)＝＝． (2)函数y＝f(x)的导函数 f′(x)＝称为函数y＝f(x)的导函数． 　f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数值；但(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0. 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 　曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα-1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ax_ln_a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x． 1．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正、负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)若f(x)＝sin (－x)，则f′(x)＝cos x．(　　) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选)下列导数运算正确的是(　　) A．(3x)′＝3x ln 3 B．(x2ln x)′＝2x ln x＋x C．′＝ D．(sin x cos x)′＝cos 2x 解析：ABD　′＝，故C错误，其余都正确． 3．已知函数f(x)＝x(2024＋ln x)，若f′(x0)＝2025，则x0等于(　　) A．e2　　 B．1　　 C．ln 2　　 D．e 解析：B　f′(x)＝2024＋ln x＋1＝2025＋ln x， f′(x0)＝2025＋ln x0＝2025，得x0＝1. 4．已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝a ln x＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝________． 解析：由y＝xex，得y′＝(x＋1)ex， 由y＝a ln x＋2，得y′＝，故2e＝a. 答案：2e 　导数的运算 例1　(1)(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2 C．′＝ D．(2x＋cos x)′＝2x ln 2－sin x 解析：ABD　对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确； 对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确； 对于C，′＝ ＝，故C错误； 对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确． (2)(2025·江苏常州期末)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋2xf′(2)－ln x，则f′(2)的值为________． 解析：由f(x)＝x2＋2xf′(2)－ln x求导得f′(x)＝2x＋2f′(2)－，当x＝2时，可得f′(2)＝4＋2f′(2)－，解得f′(2)＝－. 答案：－ 反思感悟　(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 跟踪训练1　(1)(多选)(2025·河南TOP二十名校调研)下列求导运算正确的是(　　) A．′＝1－ B．(e2x)′＝e2x C．(log2x)′＝ D．′＝ 解析：AC　对于A，′＝1－，故A正确； 对于B，(e2x)′＝e2x(2x)′＝2e2x，故B错误； 对于C，(log2x)′＝，故C正确； 对于D，′＝ ＝－，故D错误．故选A、C. (2)已知函数f(x)＝sin x＋4x，则 ＝________． 解析：∵f′(x)＝cos x＋4，∴f′(π)＝3， ∴ ＝2＝2f′(π)＝6. 答案：6 　导数的几何意义 考向1　求切线的方程 例2　(1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析：A　f′(x)＝，所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1) ，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为，故选A. (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________． 解析：当x>0时，y＝ln x，设切点为(x0，y0)，x0>0，则由y′＝，得切线斜率k＝.又切线的斜率为，所以，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e.所以k＝，所以切线方程为y＝x.同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.综上，两条切线方程分别为y＝x. 答案：y＝x　y＝－x 考向2　求切点坐标或参数的值(范围) 例3　(1)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________． 解析：设A(x0，ln x0)，又y′＝， 则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－ln x0＝(－e－x0)，化简得ln x0＝，解得x0＝e，则点A的坐标是(e，1)． 答案：(e，1) (2)已知直线y＝ax－1与曲线y＝相切，则a的值为(　　) A．1　 B．　 C．　 D．2e2 解析：A　y＝的导函数y′＝， 设切点坐标为(x0，y0)，则故即－1，则2ln x0＋x0－1＝0.易知函数f(x)＝2ln x＋x－1为增函数，且f(1)＝0，故x0＝1，故a＝＝1.故选A. 考向3　由切线条数求参数 例4　(2025·福建泉州调研)函数f(x)＝x2＋a ln x在区间(1，2)上的图象存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为(　　) A．(－2，1) B．(－2，－1) C．(－2，0) D．(－3，－2) 解析：D　 D　由f(x)＝x2＋a ln x，得f′(x)＝x＋ (x＞0)，不妨设这两条相互垂直的切线的切点坐标为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，且f′(x1)·f′(x2)＝－1. 若a≥0，则f′(x)＞0恒成立，不符合题意，所以a＜0，可排除A项．此时易知y＝f′(x)单调递增，要满足题意则需 解得a∈(－3，－2)． 反思感悟　(1)求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．求过某点的切线方程，要先设出切点坐标，再依据条件建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键． (2)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上，故满足切线方程；③切点在曲线上，故满足曲线方程． 跟踪训练2　(1)(2025·山西阳泉期末)曲线y＝＋sin (π－2x)在点(0，1)处的切线方程为(　　) A．y＝x－1 B．x＝1 C．y＝1 D．y＝x＋1 解析：D　因为y＝＋sin (π－2x)＝＋sin 2x，所以y′＝－＋2cos 2x，所以曲线y＝＋sin (π－2x)在点(0，1)处的切线斜率为－＋2cos 0＝－1＋2＝1，所以切线方程为y－1＝1×(x－0)，即y＝x＋1. (2)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)相切，则a＝________． 解析：由y＝ln (x＋a)得y′＝，设切点横坐标为x0，则 由①可得x0＋a＝1，代入②可得x0＝－1，所以a＝1－x0＝2. 答案：2 　两曲线的公切线 例5　(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． 解析：由题意，令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝所以a＝ln 2. 答案：ln 2 反思感悟　公切线问题的解法 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解，或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 跟踪训练3　(2025·山东济南期末)已知曲线y＝ln x与曲线y＝a在交点(1，0)处有相同的切线，则a＝(　　) A．1 B． C．－ D．－1 解析：B　由题知曲线y＝ln x和曲线y＝a在交点(1，0)处有相同的切线，即斜率k相等．对于曲线y＝ln x，求导得y′＝，所以在点(1，0)处的切线斜率k＝1，对于曲线y＝a，求导得y′＝a，所以a＝1，解得a＝，故B正确． 典例　(2025·浙江温州期末)已知0＜x1＜x2＜x3＜4π，函数f(x)＝sin x的图象在点(xi，sin xi)(i＝1，2，3)处的切线均经过坐标原点，则(　　) A．＜ B．＞ C．x1＋x3＜2x2 D．x1＋x3＞2x2 解析：C　由题意知f′(x)＝cos x， 则曲线在点(xi，sin xi)处的切线斜率 ki＝cos xi＝，(注意切线过原点) 即xi＝＝tan xi， 所以＝1，故A，B错误； 同时xi可看作直线y＝x与曲线y＝tan x在(0，4π)内的3个交点的横坐标．对于C、D， 法一：作函数y＝tan x与y＝x的图象，如图1所示，设A(x1，tan x1)，B(x2，tan x2)，C(x3，tan x3)，易知D(x2－π，tan x2)，E(x2＋π，tan x2)，由正切函数图象的性质知kAD＜kEC，所以AM＞CN，如图2所示， 又因为xM＋xN＝2x2， 所以x1＋x3＜2x2，故选C. 　 图1　　　　　　　　图2 法二：设A(x1，tan x1)，B(x2，tan x2)，C(x3，tan x3)，如图1，易知D(x2－π，tan x2)，E(x2＋π，tan x2)， 由正切函数图象性质知kAD＜kEC， 得＜， 即＜， 又x2－π－x1＞0，x3－x2－π＞0， 所以(x2－x1)(x3－x2－π)＜(x3－x2)(x2－π－x1)， 即x1π＋x3π＜2πx2，即x1＋x3＜2x2，故C正确，D错误．故选C. 风向解读　本题通过切线斜率考查导数的几何意义，判断选项C、D的关键是根据tan xi＝xi(i＝1，2，3)构造tan x＝x，通过转化思想和数形结合思想分析，将计算问题转化为图形问题，减少计算量，体现新高考的变化趋势． 限时规范训练(十八)　导数的概念及其意义、导数的运算 (建议用时：45分钟　分值：100分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．(多选)(人教A版选择性必修第二册P81练习第1题变式)下列求导错误的是(　　) A．(log23)′＝ B．[ln (2x)]′＝ C．(sin2x)′＝sin2x D．′＝ 解析：ABD　对于A，(log23)′＝0，故A错误．对于B，[ln (2x)]′＝(ln 2＋ln x)′＝(ln 2)′＋(ln x)′＝，故B错误． 对于C，(sin2x)′＝2sinx cos x＝sin 2x，故C正确．对于D，′＝，故D错误．故选A、B、D. 2．已知直线l与曲线y＝x3－x在原点处相切，则l的倾斜角为(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 解析：C　由y′＝3x2－1，得y′|x＝0＝－1(注意：切点为(0，0))，即直线l的斜率为－1，所以l的倾斜角为.故选C. 3．(2025·广东茂名模拟)曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：C　因为曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，所以曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线的斜率为2，因为f′(x)＝ex＋a，所以f′(0)＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1，故选C. 4．已知函数f(x)＝2f′(3)x－x2＋ln x，则f(1)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：D　由题意得f′(x)＝2f′(3)－， ∴f′(3)＝2f′(3)－，得f′(3)＝1， ∴f(x)＝2x－x2＋ln x， ∴f(1)＝2－，故选D. 5．(2025·湖北八市联考)已知函数f(x)为偶函数，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，记f(x)的导函数为f′(x)，则f′(－1)＝(　　) A．－ B． C．－2 D．2 解析：A　因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，两边求导，得f′(x)＝f′(－x)·(－x)′，f′(x)＝－f′(－x)． 又f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，所以f′(1)＝.所以f′(－1)＝－f′(1)＝－.故选A. 6．(多选)已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则(　　) A．lm的斜率的最小值为－2 B．lm的斜率的最小值为－3 C．l0的方程为y＝1 D．l－1的方程为y＝9x＋6 解析：BCD　因为f′(x)＝3x2－6x＝3(x－1)2－3≥－3，所以lm的斜率的最小值为－3.因为f′(0)＝0，f(0)＝1，所以l0的方程为y＝1.因为f′(－1)＝9，f(－1)＝－3， 所以l－1的方程为y＋3＝9(x＋1)，即y＝9x＋6.故选B、C、D. 7．(2025·陕西西安模拟)函数f(x)＝ex－e－x＋ax2的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则实数a＝________，此时，曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________． 解析：由题知f′(x)＝ex＋e－x＋2ax，因为f′(x)是偶函数，所以f′(－x)＝f′(x)在x∈R上恒成立，则e－x＋ex－2ax＝ex＋e－x＋2ax在x∈R上恒成立，故a＝0. 因为f(0)＝0，f′(0)＝2， 所以曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x. 答案：0　y＝2x 8．(2025·贵州贵阳模拟)过点P(1，－3)作曲线y＝2x3－3x的切线，切线的方程为________． 解析：设切点坐标为(a，2a3－3a)，y＝f(x)＝2x3－3x，则f′(x)＝6x2－3，所以切线的斜率k＝f′(a)＝6a2－3，故切线方程为y－(2a3－3a)＝(6a2－3)(x－a)， 因为切线过点(1，－3)，所以－3－(2a3－3a)＝(6a2－3)(1－a)，解得a＝0或a＝， 则切点坐标为(0，0)或，切线方程为3x＋y＝0或21x－2y－27＝0. 答案：3x＋y＝0或21x－2y－27＝0 9．若函数f(x)＝x－＋a ln x存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围是________． 解析：f′(x)＝1＋(x＞0)， 依题意得f′(x)＝1＋＝0有解， 即－a＝x＋有解， ∵x＞0，∴x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号， ∴－a≥2，即a≤－2. 答案：(－∞，－2] 10．(13分)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x. (1)求f′(e)及f(e)的值； (2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程． 解：(1)∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x， ∴f′(x)＝2f′(e)＋，f′(e)＝2f′(e)＋， ∴f′(e)＝－，f(x)＝－＋ln x， ∴f(e)＝－＋ln e＝－1. (2)∵f(x)＝－＋ln x，f′(x)＝－， ∴f(e2)＝－＋ln e2＝2－2e， f′(e2)＝－， ∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为 y－(2－2e)＝(x－e2)， 即(2e－1)x＋e2y－e2＝0. 11．(13分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝， 又∵f′(x)＝a＋， ∴解得 ∴f(x)＝x－. (2)证明：设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点， 由f′(x)＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－， ∴切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x，得y＝x＝2x0， ∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)． ∴曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6. B级　能力提升练 12．(多选)(2025·湖北部分州联考)设f(x)＝x3－3x2＋a，A是直线3x＋y－a－1＝0上的任意一点，过点A作函数f(x)图象的切线，可以作(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析：BC　设A(t，a＋1－3t)为直线上任意一点，过点A作f(x)＝x3－3x2＋a的图象的切线，设切点为B(x0，f(x0))，f′(x)＝3x2－6x，则函数f(x)＝x3－3x2＋a的图象在点B处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，即y－＝(x－x0)，∴(a＋1－3t)－＝(t－x0)， 整理得(x0－1)2(2x0－3t＋1)＝0， 解得x0＝1或x0＝， ∴当t＝1时，1＝，切线仅可以作1条； 当t≠1时，1≠，切线可以作2条． 13．(多选)(2025·山东烟台调研)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数y＝f(x)具有“T性质”．则下列函数中具有“T性质”的是(　　) A．y＝ B．y＝cos x＋1 C．y＝ D．y＝ln 2·log2x 解析：AB　由题意可知，若函数y＝f(x)具有“T性质”，则存在两点，使得函数在这两点处导数的乘积为－1. 对于A，′＝，存在x1<1，x2>1时满足条件； 对于B，(cos x＋1)′＝－sin x，当x1＝时符合条件； 对于C，′＝－<0恒成立，负数乘以负数不可能得到－1，不满足条件； 对于D，(ln 2·log2 x)′＝ln 2·>0恒成立，正数乘以正数不可能得到－1，不满足条件．故选A、B. 14．(15分)已知f(x)＝ex，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，求直线l的方程． 解：设直线l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，则y1＝，f′(x)＝ex， ∴f′(x1)＝， ∴切点为，切线斜率k＝， ∴切线方程为(x－x1)， 即y＝，　① 同理，设直线l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)， ∴y2＝ln x2＋2，g′(x)＝， ∴g′(x2)＝， 切点为(x2，ln x2＋2)，切线斜率k＝， ∴切线方程为y－(ln x2＋2)＝(x－x2)， 即y＝·x＋ln x2＋1，　② 由题意知，①与②相同， ∴ 把③代入④得＝－x1＋1， 即＝0， 解得x1＝1或x1＝0， 当x1＝1时，切线方程为y＝ex； 当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1， 综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $