第二章 第10讲 函数的零点与方程的解（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

第10讲　函数的零点与方程的解 ◆课标要求 1．理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解． 1．函数的零点 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 2．函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 　(1)零点存在定理只能判断零点存在，不能确定零点的个数． (2)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 3．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．若周期函数存在零点，则必有无穷多个零点． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(　　) (3)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点．(　　) (4)求函数零点的近似值都可以用二分法．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3　　 B．2　　 C．7　　 D．0 解析：B　由或 解得x＝－2或x＝e，故f(x)有两个零点． 3．(2025·海南部分学校诊断)函数f(x)＝2x-1＋x－3的零点所在的区间是(　　) A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) 解析：C　易知函数f(x)＝2x-1＋x－3在R上单调递增，又f(1)＝1＋1－3<0，f(2)＝2＋2－3>0，所以由函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)，故选C. 4．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________． 解析：二次函数f(x)的图象的对称轴为x＝1，若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8<m≤1. 答案：(－8，1] 　函数零点所在区间的判断 例1　(1)(2025·吉林长春东北师大附中摸底)方程log3x＋x＝2的根所在的区间是(　　) A．(0，1)　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：B　设f(x)＝log3x＋x－2，则方程log3x＋x＝2的根所在的区间即为f(x)零点所在的区间． ∵y＝log3x与y＝x－2在(0，＋∞)上均单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 对于A，∵f(1)＝log31＋1－2＝－1，∴当x∈(0，1)时，f(x)<－1，A错误； 对于B，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝log32＋2－2＝log32>0，即f(1)f(2)<0，∴∃x0∈(1，2)，使得f(x0)＝0，B正确； 对于C、D，当x>2时，f(x)>f(2)>0，∴f(x)在区间(2，3)和(3，4)上无零点，C错误，D错误．故选B. (2)设函数f(x)＝－ln x，则函数y＝f(x)(　　) A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 解析：D　令f(x)＝0得x＝ln x．作出函数y＝和y＝ln x的图象，如图所示．显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．故选D. 反思感悟　确定函数零点所在区间的常用方法 (1)函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1　(1)(人教A版必修第一册P144练习第2题变式)用二分法求方程ln (x＋1)＝的近似解时，可以取的一个区间是(　　) A．(1，2)　　　　　　　 B．(2，e) C．(3，4) D．(0，1) 解析：A　设f(x)＝ln (x＋1)－，易知f(x)为增函数，而f(1)＝ln 2－2<0，f(2)＝ln 3－1>0，∴函数f(x)在区间(1，2)内有零点，即用二分法求方程ln (x＋1)＝的近似解时，可以取的一个区间是(1，2)．故选A. (2)(2025·河北部分重点高中模拟)已知函数f(x)＝3x＋x－6有一个零点x＝x0，则x0∈(　　) A． B． C． D． 解析：B　由题知f(x)在R上单调递增， ∵f＝<0，f(1)＝－2<0， f＝，又33－2>0， ∴f>0，由函数零点存在定理可知，在上存在x0使得f(x0)＝0.故选B. 　函数零点个数的判断 例2　(2025·四川绵阳质检)函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)且当x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2.已知函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6，6]内的零点个数为(　　) A．14 B．13 C．12 D．11 解析：B　函数y＝f(x)的定义域为R，因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数．易知当x∈(－∞，0]时，g(x)单调递增，且0<g(x)≤1；当x∈(0，1]时，g(x)单调递减，且g(x)≥0；当x∈[1，＋∞)时，g(x)单调递增，且g(x)≥0. 在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)，y＝g(x)的大致图象，如图所示． (数形结合：要求函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6，6]内的零点个数，也就是求函数f(x)，g(x)的图象在区间[－6，6]内的交点个数，因此，准确作出两个函数的图象是求解本题的关键) 由h(x)＝0得f(x)＝g(x)，即函数h(x)在[－6，6]内的零点个数是函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象在[－6，6]内的交点个数，观察图象知，函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象在[－6，6]内有13个交点，所以函数h(x)在[－6，6]内有13个零点，故选B. 反思感悟　求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． (4)函数性质法：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可得函数的零点个数． 跟踪训练2　(1)(2025·陕西咸阳模拟)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．5　　　　　 B．4 C．3 D．2 解析：D　当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1； 当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0， f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0， 即f(1)f(2)<0， 所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2. (2)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－2|x|的零点个数是(　　) A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 解析：C　令f(x)－2|x|＝0，得f(x)＝2|x|， 则函数y＝f(x)－2|x|的零点个数等价于函数f(x)与函数y＝2|x|的图象的交点个数． ∵y＝2|x|＝ 作出函数f(x)与函数y＝2|x|的图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象的交点个数为2，故函数y＝f(x)－2|x|的零点个数为2. 　函数零点的应用 考向1　根据零点的个数求参数的取值范围 例3　(2025·河北保定模拟)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a.若g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：D　当x>0时，f(x)＝－x，函数在(0，＋∞)上单调递减，f(1)＝0， 令g(x)＝0可得f(x)＝x＋a，作出函数y＝f(x)与函数y＝x＋a的大致图象如图所示． 由图可知，当a≥1时，函数y＝f(x)与函数y＝x＋a的图象有2个交点，此时，函数y＝g(x)有2个零点．因此，实数a的取值范围是[1，＋∞)．故选D. 考向2　根据函数的零点范围求参数的取值范围 例4　已知函数f(x)＝2x＋log2x＋b在区间上有零点，则实数b的取值范围是________． 解析：∵y1＝2x＋b在R上单调递增，y2＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＝2x＋log2x＋b在(0，＋∞)上单调递增，∵f(x)＝2x＋log2x＋b在区间上有零点，<0，f(4)>0，即1－1＋b<0，8＋2＋b>0，得－10<b<0.故实数b的取值范围是(－10，0)． 答案：(－10，0) 反思感悟　(1)根据零点所在区间求参数的方法： ①直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．②分离参数，转化为求函数的最值(或值域)问题加以解决． (2)已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围． 跟踪训练3　(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，3) B．(1，3) C．(1，2) D．[2，＋∞) 解析：A　因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增， 由函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内得，f(1)·f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)<0，解得0<a<3. (2)(2025·安徽皖江名校联盟模拟)已知函数f(x)＝－2(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(0，1) D．(1，＋∞) 解析：A　原问题等价于函数y＝|ax－1|的图象与直线y＝2a有两个公共点，当0<a<1时，由图1得0<2a<1，故0<a<；当a>1时，则有2a>2，结合图2知a>1不符合条件．故选A. 　 图1　　　　　　　　　　图2　 嵌套函数的零点问题 (1)一般地，判断形如f(g(x))的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令g(x)＝t，求解当f(t)＝0时t的值，然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)＝t时，x的值的个数即为f(g(x))的零点个数，解答时注意数形结合，侧重对函数f(x)与g(x)图象性质的分析． (2)解决此类问题往往应用函数的图象，作函数的图象必须关注其关键点(位置)和发展趋势、渐近线等，尤其当作图比例较大时，由于画的是局部图象，若关注度不够或疏忽，就会导致错误． 训练　(1)(2025·江苏无锡四校调研)已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＝的实根个数为(　　) A．4　　　　　　 B．8 C．10 D．12 解析：C　在同一平面直角坐标系中作出y＝f(x)与y＝的图象，如图所示． 由图象可知y＝f(x)与y＝的图象有4个交点，不妨设交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4且x1<x2<x3<x4，易知0<x1＝<1<x2＝<2<x3<3<x4<4. 函数y＝f(x)与y＝x1的图象有4个交点，故当f(x)＝x1时，方程f(f(x))＝有4个不同的实根；函数y＝f(x)与y＝x2的图象有2个交点，故当f(x)＝x2时，方程f(f(x))＝有2个不同的实根； 函数y＝f(x)与y＝x3(2<x3<3)的图象有2个交点，故当f(x)＝x3时，方程f(f(x))＝有2个不同的实根； 函数y＝f(x)与y＝x4(3<x4<4)有2个交点，故当f(x)＝x4时，方程f(f(x))＝有2个不同的实根． 综上，方程f(f(x))＝的实根个数为10. (2)(多选)(试题调研原创)已知函数f(x)＝af(x)＋2有6个零点，则a的值可以为(　　) A．－4　　　　　 B．－ C．－3 D．－2 解析：BC　令t＝f(x)，则方程[f(x)]2－af(x)＋2＝0，即t2－at＋2＝0， 由题可得，f(3)＝f(－3)＝0，f(x)在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递减，在(0，3)上单调递增，则据此可作出函数t＝f(x)大致图象，如图1所示， 图1 (逆向求解：知零点个数求参数，先研究内层函数，得出“直曲相交”所有可能的交点情况)作直线t＝t0，则当t0>0或t0<－3时，直线t＝t0与曲线t＝f(x)有1个交点； 当t0＝0或t0＝－3时，直线t＝t0与曲线t＝f(x)有2个交点； 当－3<t0<0时，直线t＝t0与曲线t＝f(x)有3个交点． 图2 作出函数y＝t2－at＋2的可能的大致图象，如图2所示，横轴为t轴，纵轴为y轴， 所以要使方程[f(x)]2－af(x)＋2＝0有6个不同的解， (关键分析：外层函数是一个二次函数，其和t轴的交点个数可能为0，1或2，每个交点对应的x的个数可能为1，2或3，那么要使满足[f(x)]2－af(x)＋2＝0的x有6个，只有一种可能：外层函数图象与t轴有2个交点，每个交点对应3个不同的x) 则t2－at＋2＝0有2个不同的实数解t1，t2，且t1，t2∈(－3，0)， 则解得 －<a<－2，据此可知选BC. 限时规范训练(十六)　函数的零点与方程的解 (建议用时：45分钟　分值：83分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则(　　) A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解 解析：D　因为函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，所以尽管f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1，3)上可能无实数解． 2．下列函数的图象均与x轴有交点，其中不宜用二分法求函数零点的是(　　) 解析：C　由题意知，利用二分法求函数的零点时，该函数的零点必须是变号零点，所以根据这个条件可知，不宜用二分法求函数零点的是选项C. 3．(2025·北京朝阳区模拟)函数f(x)＝的零点的个数为(　　) A. 0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 解析：C　当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，则(x－1)(x＋3)＝0，解得x＝1(舍去)或x＝－3；当x>0时，令ex－2＝0，解得x＝ln 2，所以f(x)的零点个数为2.故选C. 4．设函数f(x)＝2x＋的零点为x0，则x0所在的区间是(　　) A．(－4，－2)　　　　 B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，4) 解析：B　易知f(x)在R上单调递增且连续，f(－2)＝<0，f(－1)＝>0，所以x0∈(－2，－1)． 5．设函数f(x)＝log3－a在区间(1，2)内有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，－log32) B．(0，log32) C．(log32，1) D．(1，log34) 解析：C　令f(x)＝0得a＝log3， 令h(x)＝log3＝log3， 由复合函数单调性可知，h(x)在(1，2)上单调递减， h(2)＝log32，h(1)＝log33＝1， 故当x∈(1，2)时，h(x)∈(log32，1)， 要使f(x)＝log3－a在区间(1，2)内有零点，则a∈(log32，1)． 6．若关于x的方程 －k＝x在上有两个不同的实数解，则k的取值范围为(　　) A． B． C．(－∞，1) D． 解析：B　－k＝x⇔－k＝x－，设t＝≥0⇒x＝，右边化为函数g(t)＝(t－1)2－1(t≥0)，作出函数图象如图所示，由图象可知，－1<－k≤－，所以k的取值范围为. 7．(2025·江苏宿迁调研)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1，b∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝ln x－bx＋a的零点所在区间为(　　) A． B． C． D．(1，2) 解析：B　由题图得，点(－1，0)，(0，－1)在函数f(x)的图象上，所以解得所以g(x)＝ln x＋2x＋，其定义域为(0，＋∞)． 因为y＝ln x，y＝2x＋均在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)＝ln x＋2x＋在(0，＋∞)上单调递增．g＝ln ＜0，g＝ln －ln 2＞0，故g又g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)只有1个零点且零点所在区间为. 8．(2025·浙江宁波模拟)已知函数f(x)＝2x＋log2x，g(x)＝ －log2x，h(x)＝x3＋log2x的零点分别为a，b，c，则(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析：D　令g(x)＝ －log2x＝0，可得 ＝log2x＞0，所以x＞1，即b＞1. 令f(x)＝2x＋log2x＝0，可得2x＝－log2x＞0，即log2x＜0，所以0＜x＜1，即0＜a＜1. 令h(x)＝x3＋log2x＝0，可得x3＝－log2x， 由此可得log2x＜0，所以0＜x＜1，即0＜c＜1. 作出y＝2x，y＝－log2x，y＝x3的部分图象如图所示，由图象可知，a＜c. 综上，a＜c＜b.故选D. 9．(多选)下列函数在区间(－1，3)内存在唯一零点的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－8 B．f(x)＝－2 C．f(x)＝2x-1－1 D．f(x)＝1－ln (x＋2) 解析：BCD　对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4， ∴f(x)在区间(－1，3)内没有零点，故A错误； 对于B，∵f(x)＝－2在[－1，＋∞)上为增函数， 且f(－1)＝－2＜0，f(3)＝8－2＝6＞0， 即f(－1)f(3)＜0， ∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故B正确； 对于C，∵f(x)＝2x-1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－＜0，f(3)＝3＞0， 即f(－1)f(3)<0， ∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故C正确； ∵f(x)＝1－ln (x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数， 且f(－1)＝1＞0，f(3)＝1－ln 5<0， 即f(－1)f(3)＜0， ∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故D正确． 10．(多选)(2025·重庆模拟)已知函数y＝x＋10x的零点为x1，y＝x＋lg x的零点为x2，则(　　) A．x1＋x2＞0 B．x1x2＜0 ＋lg x2＝0 D．4x1x2－2x1＋2x2＜1 解析：BCD　∵函数y＝x＋10x的零点为x1，y＝x＋lg x的零点为x2， ∴函数y＝－x与函数y＝10x图象的交点的横坐标为x1， 函数y＝－x与函数y＝lg x图象的交点的横坐标为x2， 分别作出函数y＝－x，y＝10x，y＝lg x的大致图象如图所示，不妨设点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2. ∵函数y＝10x与函数y＝lg x的图象关于直线y＝x对称，直线y＝－x关于直线y＝x对称， ∴点A，B关于直线y＝x对称，又点A，B在直线y＝－x上，∴点A，B关于原点对称． 对于A，易知x1＋x2＝0，故A错误； 对于B，易知x1x2＜0，故B正确； 对于C，∵＝－x1，lg x2＝－x2，x1＋x2＝0，∴＋lg x2＝0，故C正确； 对于D，由函数零点存在定理易知－＜x1＜0，0＜x2＜，∴＜0，即x1x2－＜0，即4x1x2－2x1＋2x2＜1，故D正确． 11．(多选)(2025·辽宁沈阳重点高中调研)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－mx2，则下列结论正确的是(　　) A．若g(x)恰有2个零点，则m＜0或＜m＜1 B．若g(x)恰有3个零点，则m＝0 C．当0＜m＜时，g(x)恰有5个零点 D．当m＞1时，g(x)仅有1个零点 解析：CD　当x＝0时，g(0)＝f(0)－0＝0，故g(x)有零点x＝0； 当x≠0时，g(x)的零点个数等价于方程f(x)＝mx2的不等实根的个数， 也等价于直线y＝m与函数h(x)＝的图象的交点个数． 而h(x)＝ 当x＞0时，h(x)＝，h′(x)＝， 当0＜x＜时，h′(x)＞0；当x＞时，h′(x)＜0， 故h(x)在上单调递增，在上单调递减， 当x→0＋时，h(x)→－∞，当x→＋∞时，h(x)→0＋，作出h(x)的大致图象如图所示． 对于A，若g(x)恰有2个零点，则直线y＝m与h(x)的图象有且只有一个交点，由图象可得m＝1，故A错误； 对于B，若g(x)恰有3个零点，则直线y＝m与h(x)的图象有且只有两个交点，由图可得m≤0或＜m＜1，故B错误； 对于C，当0＜m＜时，直线y＝m与h(x)的图象有且只有四个交点，故g(x)有5个不同的零点，故C正确； 对于D，当m＞1时，直线y＝m与h(x)的图象没有交点，故g(x)仅有1个零点，故D正确．故选C、D. 12．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________． 解析：依题意，f(1)＝＋a＝0， ∴a＝－. 答案：－ 13．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________． 解析：f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，故a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同零点， ∴b<0，∴f(x)＝x3－x满足题意． 答案：x3－x(答案不唯一) 14．已知函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k＝________． 解析：函数f(x)＝2lg x＋x－4在(0，＋∞)上为增函数， ∵f(3)＝2lg 3＋3－4＝2lg 3－1＝lg 9－1<0，f(4)＝2lg 4＋4－4＝2lg 4>0，即f(3)·f(4)<0，则函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(3，4)上，即k＝3. 答案：3 B级　能力提升练 15．若存在实数a使得函数f(x)＝2x＋2－x－ma2＋a－3有唯一零点，则实数m的取值范围是(　　) A． B．(－∞，0] C． D． 解析：A　令t＝2x(t＞0)，则t是增函数，令y＝t＋，由对勾函数的性质知y＝t＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当t＝1时，ymin＝2，此时x＝0， 因此f(x)有唯一零点，则零点为x＝0， f(0)＝－ma2＋a－1＝0，当m＝0时，a＝1有解；当m≠0时，Δ＝1－4m≥0，m≤且m≠0.综上，m≤. 16．(2021·北京卷)已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： (1)若k＝0，则f(x)有两个零点； (2)∃k<0，使得f(x)有一个零点； (3)∃k<0，使得f(x)有三个零点； (4)∃k>0，使得f(x)有三个零点． 以上正确结论的序号是________． 解析：f(x)＝|lg x|－kx－2的零点问题，可转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2的图象的交点问题． 对于(1)，当k＝0时，|lg x|＝2，有两个交点，(1)正确； 对于(2)，存在k<0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，(2)正确； 对于(3)，若k<0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2最多有2个交点，(3)错误； 对于(4)，当k>0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x>1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，(4)正确． 答案：(1)(2)(4) 学科网（北京）股份有限公司 $