第二章 第6讲 指数与对数的运算（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

第6讲　指数与对数的运算 ◆课标要求 1．理解指数幂的含义，掌握幂的运算.2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数． 1．根式 (1)根式的概念 如果xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 2．有理数指数幂 幂的有 关概念 正分数指数幂：＝](a>0，m，n∈N *，且n>1) 负分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N *，且n>1) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义_ 有理数指数幂的运算性质 aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q) (ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q) (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q) 3.对数 概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 基本 性质 loga1＝0，logaa＝1，logaax＝x，其中a>0，且a≠1 4.对数的运算 运算 性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： loga(MN)＝logaM＋logaN； loga＝logaM－logaN； logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底 公式 logab＝ 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝； logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； (3)logNM＝ (a，b，N均大于0且不等于1，M>0). 2．换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)． 3．对数恒等式 alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)＝－4.(　　) (2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　　) (3)log2x2＝2log2x.(　　) (4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列运算中正确的是(　　) A．＝2－π　 B．a C．8＝ D．＝x9 解析：C　对于A，2－π<0，所以＝π－2，A错误；对于B，因为－>0，所以a<0，则a＝－(－a)·，B错误；对于8＝8＝，C正确；对于＝x9-2＝x7，D错误． 3．设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　) A． B． C．2a＋b D．2b＋a 解析：A　log1210＝ ＝. 4．已知＝3，则a＋a-1＝________； a2＋a-2＝________． 解析：由＝3，得a＋a-1＋2＝9， 即a＋a-1＝7， 则a2＋a-2＋2＝49，即a2＋a-2＝47. 答案：7　47 　指数幂的运算 例1　(多选)下列计算正确的是(　　) A． B．＝－9a(a>0，b>0) C． D．已知x2＋x-2＝2，则x＋x-1＝2 解析：BC　对于A，≠ ，所以A错误； 对于＝ ＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确； 对于C, ＝ ，所以C正确； 对于D，因为(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝4，所以x＋x-1＝±2，所以D错误． 反思感悟　指数幂运算的一般原则 (1)指数幂运算时，首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 跟踪训练1　(1)(多选)(人教A版必修第一册P110习题4.1第7题变式)已知10a＝2，102b＝5，则下列结论正确的是(　　) A．a＋2b＝1　　　　　　 B．ab< C．10a＋b>4 D．a>b 解析：ABC　因为10a·102b＝10a+2b＝10，所以a＋2b＝1，A正确；易知a>0，b>0，由基本不等式得a＋2b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝时等号成立，又10a≠102b，即a≠2b，所以ab<，B正确；10a＋b＝2>4，C正确；由(10a)2＝102a＝4<5＝102b，得a<b，D错误．故选A、B、C. (2)(人教A版必修第一册P107练习第3题变式 ＝________． 解析： ＝ ＝－＋1＋＝1. 答案：1 　对数的运算 例2　(1)计算：＝______． 解析：原式＝ ＝＝1. 答案：1 (2)已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示log1815＝________． 解析：log1815＝ ＝. 答案： 反思感悟　(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并． (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算． (3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化． 跟踪训练2　(1)计算：log381－log98·log23－＋lg ＝________． 解析：原式＝log334－·log32·log23－3＋＝0. 答案：0 (2)(2024·全国甲卷)已知a>1且，则a＝________． 解析：根据题意有，即3loga2－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64. 答案：64 　指数与对数运算的实际应用 例3　(1)(2025·北京房山区期末)生态环境保护是功在当代，利在千秋的事业，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产过程中产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中污染物的残留数量P(单位：毫米/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P＝P0·e－kt(t≥0), 其中k为常数，k>0，P0为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，则再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的(参考数据：≈0.585)(　　) A．12% B．10% C．9% D．6% 解析：A　因为前9小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，所以P0·e-9k＝P0，即e-9k＝，所以e-3k＝.再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为P0·e-12k＝P0×(e-3k)4＝×0.585×P0≈12%P0. (2)(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C． D． 解析：D　由题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2， 即2ln N1＝3ln N2，所以. 反思感悟　解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 (1)理解题意，弄清楚条件和所求之间的关系． (2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求． 跟踪训练3　(1)(人教A版必修第一册P161复习参考题第9题变式)在细菌培养过程中，细菌生长主要经历迟缓期、对数期(指数期)、稳定期和衰亡期四个时期．在一定条件下，某生物实验室在研究某种细菌的过程中发现，细菌数量N(单位)与该细菌被植入培养的时间t(小时)近似满足函数关系式Y(t)＝，其中N0为初始细菌数量．若经过6小时的培养，该细菌数量为单位，则Y(12)＝(　　) A．12e-1 B．24e-1 C．36e-1 D．38e-2 解析：B　∵经过6小时的培养，该细菌数量为单位，∴Y(6)＝，∴N0＝24，∴Y(12)＝＝24e-1，故选B. (2)某种医学检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lg Xn＝n lg (1＋p)＋lg X0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率．已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为(参考数据：100.25≈1.778，10-0.25≈0.562)(　　) A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8% 解析：D　由题意知，lg (1000X0)＝12lg (1＋p)＋lg X0，即lg 103＋lg X0＝12lg (1＋p)＋lg X0，即3＋lg X0＝12lg (1＋p)＋lg X0，所以1＋p＝100.25≈1.778，解得p≈0.778＝77.8%. 限时规范训练(十二)　指数与对数的运算 (建议用时：45分钟　分值：83分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．若使代数式 有意义，则 ＝(　　) A．2　　　　　　　 B．3 C．2x－1 D．x－2 解析：B　由有意义， 得解得≤x≤2. 所以x－2≤0，2x－1≥0， 所以＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3. 2．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a-3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． 解析：C　因为2a＝5，b＝log83， 即23b＝3， 所以4a-3b＝. 3．某品牌计算器在计算对数logab时需按“log(a，b)”.某学生在计算logab时(其中a>1且b>1)顺序弄错，误按“log(b，a)”，所得结果为正确值的4倍，则下列结论正确的是(　　) A．a＝2b B．b＝2a C．a＝b2 D．b＝a2 解析：C　由题意，得logba＝4·logab，所以，即(ln a)2＝(2ln b)2.因为a>1且b>1，所以ln a＝2ln b，即a＝b2.故选C. 4．(2025·天津市调研)log932×log6427＋log92×log4＝(　　) A． B．2 C． D． 解析：C　log932×log6427＋log92×log4.故选C. 5．(人教A版必修第一册P127习题4.3第5题变式)已知log189＝a，18b＝5，则log4581＝(　　) A．－ B． C． D． 解析：C　由log189＝a，18b＝5，得a＝log189，b＝log18 5，所以log45 81＝＝.故选C. 6．(人教A版必修第一册P126习题4.3第1题变式)已知4a＝8，2m＝9n＝6，且＝b，则a＋b＝(　　) A． B． C． D．2 解析：A　∵4a＝8，2m＝9n＝6，∴a＝log48＝，m＝log26，n＝log96，∴b＝＝log62＋log69＝1，∴a＋b＝.故选A. 7．点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r(单位：米)的关系视为ΔL＝10lg (单位：dB)，取lg 5≈0.7，则r从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为(　　) A．18 dB B．20 dB C．24 dB D．27 dB 解析：C　当r＝5时，ΔL1＝10lg ，当r＝80时，ΔL2＝10lg 1600π，则衰减量的增加值约为ΔL2－ΔL1＝10lg 1600π－10lg ＝80lg 2＝80(lg 10－lg 5)≈80×(1－0.7)＝24.故选C. 8．(2025·北京海淀区调研)2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论．根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.434 29，计算结果取整数)(　　) A．189 B．186 C．145 D．109 解析：C　由题意知，小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈，则估计1000以内的素数的个数为π(1000)≈≈145.故选C. 9．(多选)(人教A版必修第一册P109习题4.1第2题变式)下列结论中，正确的是(　　) A．设a>0，则＝a B．若m8＝2，则m＝± C．设alog34＝2，则4－a＝ D．＝2－π 解析：BC　对于A，根据指数幂的运算性质，可得≠a，选项A错误；对于B，m8＝2，故m＝±，选项B正确；对于C，因为alog34＝2，所以log34a＝2，所以4a＝32＝9，所以4－a＝.选项C正确；对于D, ＝|2－π|＝π－2，选项D错误．故选B、C. 10．(多选)(人教A版必修第一册P127习题4.3第3题变式)下列计算正确的是(　　) A．＝－1 B．＋ln (ln e)＝7 C．log23×log34＝log67 D．lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0 解析：ABD　对于A，原式＝＝－1，所以A正确；对于B，原式＝＋ln (ln e)＝7＋ln 1＝7，所以B正确；对于C，原式＝＝2，所以C错误；对于D，原式＝lg 52＋lg 23－lg 200＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)－lg ＝2－2＝0，所以D正确．故选A、B、D. 11．(多选)(2025·湖南永州模拟)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文的过程中，找到了简化大数运算的有效工具，发明了对数，这是数学史上的大事件．他的朋友布里格斯构造了以10为底的常用对数lg x，并出版了常用对数表．瑞士数学家欧拉则在1770年指出了“对数源于指数”．根据给出的参考数据和指对数之间的关系，判断下面的结论中正确的是(　　) A．410在区间(106，107)内 B．250是15位数 C．若3-20＝k×10m(1≤k<10，m∈Z)，则m＝－9 D．若m100(m∈N*)是一个70位正整数，则m＝5 参考数据如下表： x 2 3 5 7 11 13 17 19 lg x (近似值) 0.301 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114 1.230 1.279 解析：AD　因为410＝220， 所以lg 410＝lg 220＝20lg 2≈20×0.301＝6.02，所以410∈(106，107)，故A正确； 因为lg 250＝50lg 2≈50×0.301＝15.05， 所以250∈(1015，1016)，即250是16位数，故B错误； 因为lg 3-20＝－20lg 3≈－20×0.477＝－9.54，所以3-20≈10-9.54＝100.46×10-10，所以m＝－10，故C错误； 因为lg m100＝100lg m，所以69≤100lg m<70， 所以0.69≤lg m<0.7，所以m＝5，故D正确．故选A、D. 12．(2025·八省联考，12)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝________． 解析：f(ln 2)f(ln 4)＝aln 2aln 4＝aln 2+ln 4＝aln 8＝8，解得a＝e. 答案：e 13．计算：－log34·log23＝________． 解析：原式＝－2log32·log23＝－2＝3. 答案：3 14．若ex＝2020，e－y＝1010，则x＋y＝________． 解析：ex＝2020，e－y＝1010，则＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ln 2. 答案：ln 2 B级　能力提升练 15．放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为M0，质量M与时间t(单位：天)的函数关系为M＝，若锶89的质量从M0衰减至M0所经过的时间分别为t1，t2，t3，则(　　) A．t3＝2t1＋t2 B．t3＝t1＋t2 C．t2＝2t1＋t3 D．t3＝2t1－t2 解析：A　由题意可得 则 即因为log212＝log2(3×22)＝log23＋2，所以t3＝2t1＋t2.故选A. 16．(2025·辽宁辽阳模拟)若x2－x＝1，则log(x2－x＋1)＝________，log2(x3－2x2＋5)＝________． 解析：因为x2－x＝1，所以＝＝＝－2， x3－2x2＋5＝x(x2－x)－x2＋5＝x－x2＋5＝5－(x2－x)＝5－1＝4，故log2(x3－2x2＋5)＝log24＝2. 答案：－2　2 学科网（北京）股份有限公司 $