第二章 第5讲 二次函数与幂函数（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

第5讲　二次函数与幂函数 ◆课标要求 1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 　幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，则一定交于坐标原点． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)． (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． 3．二次函数的图象与性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 定义域 R 值域 单调性 在上单调递增； 在上单调递减 在上单调递增； 在上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 1．一般地，对于幂函数f(x)＝(m∈Z，n∈N*，m与n互质)，当m为偶数时，f(x)为偶函数；当m，n均为奇数时，f(x)为奇函数；当n为偶数时，f(x)为非奇非偶函数． 2．幂函数的图象：在第一象限内，在直线x＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝是幂函数．(　　) (2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增．(　　) (3)当n是偶数时，幂函数y＝(m，n∈Z，且m是奇数)是偶函数．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是(　　) A．64　　　　　 B．4 C． D． 解析：D　设f(x)＝xα，由f(2)＝2α＝，得α＝－1，则f(x)＝x-1，故f(4)＝4-1＝. 3．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2] B．[－6，1] C．[0，2] D．[0，1] 解析：A　函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减， ∴f(x)max＝f(1)＝2， f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6， 即f(x)的值域为[－6，2]. 4．已知a＝，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系为________． 解析：由幂函数、指数函数的单调性知0.30.4＜0.30.3，0.40.3＞0.30.3，即c＜b＜a. 答案：c＜b＜a 　幂函数的图象与性质 例1　(1)(2025·山东青岛莱西期中)如图所示是函数y＝(m，n∈N*且互质)的图象，则(　　) A．m，n是奇数，且<1 B．m是偶数，n是奇数，且<1 C．m是偶数，n是奇数，且>1 D．m是奇数，n是偶数，且>1 解析：B　由题中图象可知y＝为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，结合题图在(0，＋∞)上的增长趋势可知，∈(0，1)且m为偶数，又m，n∈N*且互质，故n是奇数．故选B. (2)若a＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　　　 B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析：D　因为y＝在第一象限内是增函数， 所以a＝＞b＝， 因为y＝x是减函数， 所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c. 反思感悟　(1)幂函数y＝xα(α∈R)只有一个参数α，因此只需一个条件可确定解析式． (2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 跟踪训练1　(1)(2025·湖北宜昌联考)已知幂函数f(x)＝xm2＋2m－3(m∈Z)是偶函数，且f(x)在(－∞，0)上单调递增，则m＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．3 解析：B　因为函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m2＋2m－3<0，即(m－1)(m＋3)<0，解得－3<m<1，又因为m∈Z，所以m＝－2或m＝－1或m＝0.当m＝0或m＝－2时，f(x)＝x-3，此时f(x)为奇函数，不满足题意；当m＝－1时，f(x)＝x-4，此时f(x)为偶函数，满足题意，所以m＝－1.故选B. (2)(2025·四川南充二诊)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝x3 D．y＝ 解析：D　对于A，函数y＝的定义域为[0，＋∞)，显然不符合题意，故A错误；对于B，函数y＝的定义域为(0，＋∞)，显然不符合题意，故B错误；对于C，函数y＝x3的定义域为R，又y＝x3为奇函数，且在(0，＋∞)上函数y＝x3的图象下凸递增，故不符合题意，故C错误；对于D，函数y＝的定义域为R，又y＝为奇函数，且在(0，＋∞)上函数y＝的图象上凸递增，故D正确． 　二次函数的解析式 例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 解：法一(利用“一般式”)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用“顶点式”)： 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为x＝， 所以m＝. 又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8， 所以f(x)＝a2＋8. 因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1， 解得a＝－4， 所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用“零点式”)： 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8. 解得a＝－4. 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 反思感悟　求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 跟踪训练2　已知二次函数f(x)的图象过点(0，3)，对称轴为直线x＝2，且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________． 解析：依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0，3)， 得f(0)＝3， 所以4a＋h＝3，即h＝3－4a， 所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a， 令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0， 所以ax2－4ax＋3＝0， 设方程的两根为x1，x2， 则x1＋x2＝4，x1x2＝， 所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－， 所以16－＝10，解得a＝1， 所以f(x)＝x2－4x＋3. 答案：f(x)＝x2－4x＋3 　二次函数的图象与性质 考向1　二次函数的图象 例3　(多选)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0 C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0 解析：ACD　由二次函数的图象开口向下知a<0，对称轴为x＝－＝1，即2a＋b＝0， 故b>0. 又因为f(0)＝c>0，所以abc<0. f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.综上可知，A、C、D正确． 考向2　二次函数的单调性与最值 例4　(2025·福建福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； (2)若a＞0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 解：(1)当a＞0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足≥2，a＞0，解得0＜a≤. 当a＜0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝＜0， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足a＜0， 综上，a的取值范围是(－∞，0)∪. (2)①当0＜＜1，即a＞时，f(x)在区间[1，2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2. ②当1≤≤2，即时， f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时g(a)＝f＝2a－－1. ③当＞2，即0＜a＜时，f(x)在区间[1，2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3， 综上所述，g(a)＝ 反思感悟　(1)分析二次函数图象问题要抓住三点：一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象，反之，也能从图象中得到以上信息． (2)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 跟踪训练3　(1)(2025·福建厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　) 解析：C　若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D； 对于B，由直线可知a＞0，b＞0，从而＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，排除B.故选C. (2)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值． 解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1. 当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数， 所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1； 当t＜1＜t＋1，即0＜t＜1时，函数图象如图②所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1； ①　　　　　　　②　　 　　　　③ 当t≥1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数， 所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2. 综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1， 当0＜t＜1时，f(x)min＝1， 当t≥1时，f(x)min＝t2－2t＋2. 几类特殊函数 类型一　对勾函数、飘带函数 1．对勾函数y＝ax＋(a＞0，b＞0) (1)性质 ①奇偶性：奇函数． ②单调性： 单调递增区间：； 单调递减区间：. ③渐近线：y＝ax和x＝0. (2)图象 2．飘带函数y＝ax－(a＞0，b＞0) (1)性质 ①奇偶性：奇函数． ②单调性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增． ③渐近线：x＝0. (2)图象 训练1　(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　) A．当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．当a＞0时，f(x)的值域为R 解析：BCD　当a＞0时，f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．则f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→0＋时，f(x)→－∞，故f(x)的值域为R，故A错误，D正确； 当a＝－4时，f(x)＝x＋为对勾函数，其单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，故B正确； 当x＞0时，x＋＝4(当且仅当x＝2时等号成立)， 当x＜0时，x＋＝－ ≤－2＝－4(当且仅当x＝－2时等号成立)． 故f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)， 故C正确．故选B、C、D. 类型二　高斯函数、狄利克雷函数、最值函数 1．高斯函数y＝[x] (1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如：[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数． (2)性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性． (3)图象 2．狄利克雷函数D(x)＝的性质 (1)定义域：R；值域：{0，1}． (2)奇偶性：偶函数． (3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期． (4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在． 3．最值函数的概念 设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样的，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数． 训练2　(1)(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝，函数g(x)＝[f(x)]，则下列命题中为真命题的是(　　) A．g(x)图象关于x＝0对称 B．f(x)是奇函数 C．f(x)在R上是增函数 D．g(x)的值域是{－1，0，1} 解析：BC　根据题意，知f(x)＝. ∵g(1)＝[f(1)]＝＝0， g(－1)＝[f(－1)]＝＝－1， ∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)， ∴函数y＝g(x)既不是奇函数也不是偶函数，不关于直线x＝0对称，A错误； y＝f(x)的定义域为R， ∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，B正确； 任取x1＞x2，则 f(x1)－f(x2)＝＝， ∵x1＞x2，则，即＞0， ∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)＝在R上是增函数，C正确； ∵ex＞0，∴1＋ex＞1， ∴0＜＜1，则－＜＜， 即－＜f(x)＜，∴g(x)＝[f(x)]的值域为{－1，0}，D错误．故选B、C. (2)(多选)(2025·山东济南质检)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的图象是两条直线 B．f(f(x))＝1 C．f＞f(1) D．∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x) 解析：BD　对于A，函数y＝f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，A错误； 对于B，当x为有理数时，f(x)＝1， 所以f(f(x))＝f(1)＝1， 当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，B正确； 对于C，f＝0，f(1)＝1， 所以f(1)＞f，C错误； 对于D，由题意，函数定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数， 若x是有理数，则x＋T也是有理数； 若x是无理数，则x＋T也是无理数； 所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对∀x∈R恒成立， 故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)， 所以∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)， D正确．故选B、D. (3)若函数f(x)＝(x，t∈R)的最大值记为g(t)，则函数g(t)的最小值为________． 解析：设u＝sin x＋ ＝(sin x＋3)＋－3， 由3＋sin x∈[2，4]，故u∈， 原题可化为φ(u)＝|u＋t|的最大值记为g(t)， 于是g(t)＝ max ＝max，g(t)的图象如图所示， 由得 即g(t)的最小值为. 答案： 类型三　一次分式函数 1．定义：我们把形如y＝(a≠0，ad≠bc)的函数称为一次分式函数． 2．图象 　 3．性质 (1)定义域：；值域：； (2)对称中心：； (3)渐近线方程：x＝－和y＝； (4)单调性：当ad＞bc时，函数在区间和分别单调递减；当ad＜bc时，函数在区间和分别单调递增． 训练3　已知函数f(x)＝，其中a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值； (2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)f(x)＝， 所以f(x)的对称中心为点(－1，a)， 与P(－1，3)比较得a＝3. (2)由f(x)＝知直线x＝－1为f(x)的一条渐近线，又由一次分式函数的性质知，当且仅当1×(2－a)＞1×a， 即a＜1时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减， 故a的取值范围是(－∞，1)． 限时规范训练(十一)　二次函数与幂函数 (建议用时：45分钟　分值：98分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．(2025·广东东莞联考)若幂函数f(x)＝(2m2－3m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，则m＝(　　) A．2　　　　　　 B． C．－ D．－2 解析：C　由幂函数的定义可知，2m2－3m－1＝1，即2m2－3m－2＝0，解得m＝2或m＝－. 当m＝2时，f(x)＝x2，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当m＝－时，f(x)＝，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故m＝－.故选C. 2．已知幂函数f(x)的图象经过点，则函数g(x)＝(x－6)f(x)在区间上的最大值是(　　) A．－2 B．－3 C．－4 D．－5 解析：D　设幂函数f(x)＝xα，α∈R，因为其图象过点，所以＝2α，解得α＝－1，则f(x)＝x-1＝，则函数g(x)＝(x－6)f(x)＝.因为函数y＝－在上单调递增，所以g(x)在上单调递增，则当x∈时，g(x)max＝g(1)＝－5.故选D. 3．(2025·河北保定检测)已知a＝，则(　　) A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解析：A　由题意得b＝＝a， a＝＜4＜5＝＝c， 所以b＜a＜c. 4．若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m< C．－1<m<0<n< D．－1<n<0<m<1 解析：D　对于幂函数y＝xα(α∈R)，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且当0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2-1<2n，则－1<n<0.综上可知，－1<n<0<m<1，故选D. 5．(多选)(人教A版必修第一册P100复习参考题第5，8题变式)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(16，4)，则下列说法正确的有(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．当x>1时，f(x)>1 D．当0<x1<x2时，<f 解析：BCD　因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点(16，4)，所以16α＝4，则α＝，所以f(x)＝，其定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以该函数不是偶函数，故A错误；又>0，所以f(x)是增函数，故B正确；当x>1时，f(x)>f(1)＝1，故C正确；当0<x1<x2时，因为，f＝， 所以2－2＝ ＝＝－2<0， 所以<故D正确．故选B、C、D. 6．(多选)设abc＜0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 解析：AB　A中，a＜0，b＜0，c＜0， ∴abc＜0，符合题意； B中，a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，符合题意； C中，a＞0，b＞0，c＞0， ∴abc＞0，不符合题意； D中，a＞0，b＜0，c＜0， ∴abc＞0，不符合题意． 7．若f(x)＝，则不等式f(x)＞f(8x－16)的解集是________． 解析：因为f(x)＝在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f(x)＞f(8x－16)， 所以即2≤x＜， 所以不等式的解集为. 答案： 8．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象经过点(1，13)，且函数y＝f是偶函数，则函数f(x)的解析式为________． 解析：∵y＝f是偶函数，则f＝f，∴f(x)关于x＝－对称，即－，故b＝1，又图象经过点(1，13)， ∴f(1)＝13，可得c＝11. 故f(x)＝x2＋x＋11. 答案：f(x)＝x2＋x＋11 9．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[4，5]上是单调函数，则k的取值范围是________． 解析：因为函数f(x)＝4x2－kx－8的对称轴为直线x＝，且其图象开口向上， 所以≤4或≥5，解得k≤32或k≥40， 所以k的取值范围是(－∞，32]∪[40，＋∞)． 答案：(－∞，32]∪[40，＋∞) 10．(13分)已知幂函数f(x)＝(m2＋4m＋4)xm+2在(0，＋∞)上单调递减． (1)求m的值； (2)若(2a－1)－m<(a＋3)－m，求a的取值范围． 解：(1)由幂函数的定义可得m2＋4m＋4＝1， 即m2＋4m＋3＝0，解得m＝－1或m＝－3. 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以m＋2<0，即m<－2， 则m＝－3. (2)设g(x)＝x3，则g(x)是增函数． 由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m， 即(2a－1)3<(a＋3)3， 则2a－1<a＋3，解得a<4， 即a的取值范围为(－∞，4)． 11．(13分)已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)若函数f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值． 解：f(x)＝x2＋(2a－1)x－3图象的对称轴为x＝－. (1)若f(x)在(－1，2)上不单调， 则－1＜－＜2，解得－＜a＜. (2)由于区间[－1，3]的中点为x＝1， ①当－≤1，即a≥－时， f(x)max＝f(3)＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； ②当－＞1，即a＜－时， f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意． 综上可知，a＝－或a＝－1. B级　能力提升练 12．已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0＜m＜1)与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则ma＋mb等于(　　) A．　　 B．1　　 C．　　 D．2 解析：B　由题意，|AB|＝|(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|ma－mb|，根据图象可知b＞1＞a＞0，当0＜m＜1时，(m2)a＞(m2)b，ma＞mb，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b＝(ma＋mb)·(ma－mb)＝ma－mb，因为ma－mb＞0，所以ma＋mb＝1. 13．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[2，＋∞)，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(x)在[m，n]上的值域为[2，6]，则n－m的最大值为________． 解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，可得函数的对称轴为直线x＝1. 由函数f(x)＝x2＋ax＋b，得－＝1，a＝－2， 所以f(x)＝x2－2x＋b. 因为f(x)的值域为[2，＋∞)， 所以f(1)＝12－2×1＋b＝1－2＋b＝2，可得b＝3， 故f(x)＝x2－2x＋3. 若f(x)在[m，n]上的值域为[2，6]， 令x2－2x＋3＝6，解得x＝3或x＝－1. 所以m最小为－1，n最大为3， 则n－m的最大值为4. 答案：4 14．(15分)已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5. (1)若a＞1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值； (2)若不等式x|f(x)－x2|≤1对x∈恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5的图象的对称轴为x＝a(a＞1)， 所以f(x)在[1，a]上为减函数，所以f(x)的值域为[f(a)，f(1)]. 又已知值域为[1，a]， 所以解得a＝2. (2)由x|f(x)－x2|≤1，得－(*)．令＝t，t∈[2，3]，则(*)可化为－t.记g(t)＝2＋，则g(t)max＝g＝，所以a≥；记h(t)＝2－，则h(t)min＝h(2)＝7，所以a≤7，综上所述，≤a≤7. 所以实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $