第二章 第4讲 函数的对称性（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

第4讲　函数的对称性 ◆课标要求 1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题． 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． (2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a，0)． 2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称． 3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　) (2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称．(　　) (3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(　　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)＝2＋的对称中心为________． 解析：函数y＝的对称中心为(0，0)，把其图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到f(x)＝2＋的图象，故f(x)的对称中心为(1，2)． 答案：(1，2) 3．已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝________． 解析：法一：由y＝f(x＋2)－3是奇函数， 所以f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3. 令x＝2，得f(0)－3＝－f(4)＋3， 故f(0)＝4. 法二：由y＝f(x＋2)－3是奇函数， 得f(x)关于(2，3)对称，故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4. 答案：4 4．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________． 解析：∵f(x)为偶函数， ∴f(－1)＝f(1)， 由f(x)的图象关于x＝2对称， 可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5. 答案：5 　函数的对称性 例1　(2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3， 证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形． 证明：法一：∵f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3，x∈(0，2)， ∴f(x＋1)＝ln ＋ax＋a＋bx3，x∈(－1，1)． 令g(x)＝f(x＋1)－a＝ln ＋ax＋bx3，x∈(－1，1)，则g(－x)＝ln －ax－bx3＝－ln －ax－bx3＝－g(x)， ∴g(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，其图象关于坐标原点O对称． 又f(x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移a个单位长度得到，∴曲线y＝f(x)是中心对称图形． 法二：f(2－x)＝ln ＋a(2－x)＋b(1－x)3＝－ln －ax－b(x－1)3＋2a ＝－f(x)＋2a， 故曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称． 反思感悟　(1)函数y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)，或f(2a＋x)＝f(－x)． (2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(2a－x)＋f(x)＝2b，或f(a－x)＋f(a＋x)＝2b. (3)函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． 对称的充要条件 教材溯源(人教A版必修第一册P87习题3.2第13题)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数． (1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论． 由本题可以得到两个结论： 结论1：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数； 结论2：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是f(x＋a)是偶函数． 训练　函数f(x)＝ex-2－e2-x的图象关于(　　) A．点(－2，0)对称 B．直线x＝－2对称 C．点(2，0)对称 D．直线x＝2对称 解析：C　法一：因为f(x)＋f(4－x)＝(ex-2－e2-x)＋(e2-x－ex-2)＝0，所以f(x)关于点(2，0)对称，故选C. 法二：f(x)向左平移2个单位得g(x)＝ex－e－x，又g(x)＝－g(－x)，所以g(x)是奇函数，关于点(0，0)对称，所以f(x)关于点(2，0)对称，故选C. 跟踪训练1　(2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝ln (1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由． 解：假设存在a，b， 使得曲线y＝f关于直线x＝b对称． 令g(x)＝f＝(x＋a)ln ＝(x＋a)ln ， 因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称， 所以g(x)＝g(2b－x)， 即(x＋a)ln ＝(2b－x＋a)ln ＝(x－2b－a)ln ， 于是得 当a＝时， g(x)＝ln ， g(－1－x)＝ln ＝ln ＝ln ＝ln ＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意．故存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称，且a＝. 　对称性与周期性 例2　(多选)(2025·河北保定检测)已知f(x＋1)是奇函数，f(x)的图象关于直线x＝－1对称，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是周期为4的周期函数 B．f(x－5)为偶函数 C．f(x)的图象关于点(－3，0)对称 D．f(5)＝0 解析：BCD　对于A，由题知f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(－x)＋f(2＋x)＝0，① 因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(－x)＝f(－2＋x)，② 将②代入①可得f(－2＋x)＋f(2＋x)＝0，再将x换为2＋x代入上式得 f(x)＋f(x＋4)＝0，③ 再将x换为x＋4代入③式有f(x＋4)＋f(x＋8)＝0，④ 由④－③可得f(x)＝f(x＋8)， 所以f(x)是周期为8的周期函数(另解：由f(x)的图象关于点(1，0)对称，且关于直线x＝－1对称，则f(x)的周期T＝4|－1－1|＝8)，同时，由③知f(x＋4)＝－f(x)，故选项A错误； 对于B，因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称且周期为8，所以f(－x－5)＝f(3＋x)＝f(x－5)，所以f(x－5)为偶函数，故选项B正确； 对于C，由f(－x＋1)＝－f(x＋1)及f(x)的周期为8，可知f(－x－3)＝－f(x＋5)＝－f(x－3)，所以f(x)的图象关于点(－3，0)对称，故选项C正确； 对于D，因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，取x＝0可得f(1)＝0，所以f(5)＝f(－3)＝f(1)＝0，故选项D正确． 反思感悟　(1)若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，x＝b，则其周期为T＝2|b－a|. (2)若函数y＝f(x)的对称中心为(a，0)，(b，0)，则其周期为T＝2|b－a|. (3)若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，对称中心为(b，0)，则其周期为T＝4|b－a|. 跟踪训练2　(2025·海南海口摸底)已知函数f(x)的定义域为R，f为偶函数，f(2－x)＋f(x)＝0，f＝－，则f＝(　　) A．　　　　　 B． C．0 D．－ 解析：A　因为f为偶函数，所以＝f，所以f(－x＋2)＝f(x－1)，因为f(2－x)＋f(x)＝0，所以f(x－1)＋f(x)＝0，即f(x)＝－f(x－1)，所以f(x－1)＝－f(x－2)，故f(x)＝f(x－2)，故函数f(x)的一个周期为2，故f＝＝f.由f(x－1)＋f(x)＝0，令x＝f＋f＝0， 因为f＝－，所以f＝， 故f＝f＝. 　对称性、周期性与单调性 例3　(多选)(2025·江西上饶六校第一次联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，且f(x)在[－1，0]上单调递增，则(　　) A．f(x)的图象关于(1，0)中心对称 B．f(x)是周期函数 C．f(x)在[1，2]上单调递减 D． 解析：BC　因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)． 因为f(x)＝f(2－x)，所以－f(－x)＝f(2－x)，则－f(x)＝f(x＋2)，即－f(x＋2)＝f(x＋4)， 则f(x)＝f(x＋4)，故f(x)是以4为周期的周期函数． 因为f(x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称． (若函数f(x)满足f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称) 因为f(x)是R上的奇函数，且在[－1，0]上单调递增，所以f(x)在[0，1]上单调递增， (奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同) 又f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(x)在[1，2]上单调递减，f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，故f(1)＋f(3)＝0.易知f(0)＝0，则f(4)＝0， 由f(x)＝f(2－x)得f(2)＝f(0)＝0. 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， 则＝f(0)＋f(1)＋…＋f(2024)＝f(0)＋506(f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4))＝0. 综上可知，B、C正确，A、D错误． 反思感悟　函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 跟踪训练3　已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)，且f(x)在(－1，1)上单调递增，则(　　) A．f(－5.3)<f(5.5)<f(2) B．f(－5.3)<f(2)<f(5.5) C．f(2)<f(－5.3)<f(5.5) D．f(5.5)<f(2)<f(－5.3) 解析：B　根据题意，函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝f(x)，则有f(2－x)＝－f(－x)， 变形可得f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝f(x)， 即函数f(x)是周期为4的周期函数， 易得f(x)的对称轴为直线x＝1， 因为f(x)在(－1，1)上单调递增， 所以f(x)在(1，3)上单调递减，f(5.5)＝ f(1.5)，f(－5.3)＝f(2.7－8)＝f(2.7)， 因为1<1.5<2<2.7<3， 所以f(1.5)>f(2)>f(2.7)， 即f(－5.3)<f(2)<f(5.5)． 抽象函数的性质 解决抽象函数问题的常用方法： 法一(通法)： (1)赋值，特殊值代入求值，如令x＝0，1，2，3，…. (2)通过函数式得到抽象函数的性质： ①通过f(x1)－f(x2)的变换判断单调性； ②令式子中出现f(x)和f(－x)，判断函数的奇偶性； ③替换x为x＋T确定是否具有周期性． 法二(模型化)： 结合具体函数，使得抽象函数具体化，常见的有： (1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)——y＝kx； (2)f(x＋y)＝f(x)f(y)——y＝ax(a>0且a≠1)； (3)f(xy)＝f(x)＋f(y)——y＝logax(a>0且a≠1)； (4)f(xy)＝f(x)f(y)——y＝xn(n为常数)； (5)f(x＋y)＝——y＝tan x； (6)f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)——y＝cos ωx. 注意转化与化归策略、迭代策略、数形结合策略等的运用． 训练　(2022·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则＝(　　) A．－3　　　　　　　 B．－2 C．0 D．1 解析：A　法一：令x＝1，y＝0，得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，所以f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x－1)，即f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋3)＝f(x＋6)，即f(x)是周期为6的周期函数．因为f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(18)]＋[f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)]＝f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－3.故选A. 法二：取f(x)＝2cos x符合条件，则T＝6，计算可得f(2)＝－1，f(3)＝－2，f(4)＝－1，f(5)＝1，f(6)＝2，所以＝1－1－2－1＋1＋2＝0，所以＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A. 限时规范训练(十)　函数的对称性 (建议用时：45分钟　分值：99分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(　　) A．(－1，2)　　　　　　 B．(1，2) C．(－1，－2) D．(－2，1) 解析：A　函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2)． 2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝(　　) A．1 B．2 C．0 D．－2 解析：B　函数y＝2|x|的图象关于y轴对称， 将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x-2|的图象， 所以函数y＝2|x-2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2. 3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2－x)＋f(x)＝，则f(2027)＝(　　) A．－ B． C．0 D．1 解析：B　由题意知f(x)的图象关于点对称，即f(1)＝.因为f(－x)＝f(x)，所以f(2－x)＋f(－x)＝，即f(2＋x)＋f(x)＝.又f(2－x)＋f(x)＝，所以f(2＋x)－f(2－x)＝0，即f(2＋x)＝f(2－x)＝f(x－2)，所以f(x)＝f(x＋4)，故f(x)的周期为4，则f(2027)＝f(507×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝.故选B. 4．(多选)设函数f(x)＝2x-1＋21-x，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)为奇函数 C．f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．f(x)的图象关于点(1，0)对称 解析：ABD　∵f(x)＝2x-1＋21-x， ∴f(2－x)＝2(2-x)-1＋21-(2-x)＝21-x＋2x-1＝f(x)， 即f(x)＝f(2－x)， 即f(x)的图象关于直线x＝1对称， 故C正确，A、D错误； ∵f(－1)≠－f(1)， ∴f(x)不是奇函数，故B错误． 5．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(　　) A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2) C．(e，e3) D．(e，＋∞) 解析：C　因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3.故选C. 6．(多选)(2025·安徽部分示范高中联考)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，其中f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，g(x)的图象关于直线x＝2对称，f(x)－g(2＋x)＝4，g(2)＝3，则(　　) A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(2024)＝7 C．g(2024)＝－1 D． 解析：BD　由题意知f(x)－4＝g(2＋x)，g(2＋x)＝g(2－x)， 所以f(x)－4＝f(－x)－4， 所以f(x)＝f(－x)，所以A错误； 由f(0)＝4＋g(2)＝7，因为f(x)的图象关于点(1，1)中心对称， 所以f(1)＝1，f(x＋2)＋f(－x)＝2， 所以f(x＋4)＋f(－x－2)＝2， 又因为f(x＋2)＝f(－x－2)， 所以f(x＋4)＝f(－x)＝f(x)， 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2024)＝f(0)＝7，所以B正确； 由g(2024)＝f(2022)－4＝f(2)－4＝2－f(0)－4＝2－7－4＝－9，所以C错误； 因为f(1)＝1，f(2)＝2－f(0)＝2－7＝－5，f(3)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(4)＝f(0)＝7， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，所以＝2024，所以D正确． 7．与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________． 解析：f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是f(2－x)＝e2-x，即y＝e2-x. 答案：y＝e2-x 8．(2025·江苏七市联考)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝________． ①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2. 解析：由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin x. 答案：2sin x(答案不唯一) 9．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝x2，则f(2025)＝________． 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，则f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝1. 答案：1 10．(13分)(2025·河北邢台检测)已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x. (1)判断并证明函数f(x)的对称性； (2)求f(x)的单调区间． 解：(1)f(x)的图象关于直线x＝2对称． 证明：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x) ＝log2|x|＋x2－4， f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝ log2|x|＋x2－4， 所以f(2＋x)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称． (2)设y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x， 当x>2时，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x也单调递增， 故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增． 又f(x)的图象关于直线x＝2对称， 故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)． 11．(13分)已知定义域为I＝(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)满足对任意x1，x2∈I都有f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)． (1)求证：f(x)是奇函数； (2)设g(x)＝，且当x>1时，g(x)<0，求不等式g(x－2)>g(x)的解集． 解：(1)证明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝0， 令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝－f(1)＝0， 令x1＝x，x2＝－1， 得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)∵f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)， ∴， ∴g(x1x2)＝g(x1)＋g(x2)， 设x1>x2>0，则>1，所以g<0. ∵g(x1)＝g＝g(x2)＋g， ∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数． ∵g(－x)＝＝g(x)， ∴g(x)是偶函数，∴g(|x－2|)>g(|x|)， ∴解得1<x<2或x>2， ∴不等式g(x－2)>g(x)的解集为{x|1<x<2，或x>2}． B级　能力提升练 12．(2025·浙江绍兴诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(a－x)，则对所有这样的函数f(x)，由下列条件一定能得到f(1)＝f(3)＝f(9)的是(　　) A．a＝2 B．a＝3 C．a＝4 D．a＝5 解析：C　由题意知f(－x)＝－f(x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(x＋a)＝f(x＋2a)，所以f(x)是以2a为周期的奇函数，且直线x＝是f(x)图象的一条对称轴．当a＝2时，f(1)＝－f(1＋2)＝－f(3)，f(1)＝f(1＋2×4)＝f(9)，不符合题意；当a＝3时，f(1)＝f(1＋6n)且n∈Z，不符合题意；当a＝4时，f(1)＝f(4－1)＝f(3)，f(1)＝f(1＋8)＝f(9)，故f(1)＝f(3)＝f(9)；当a＝5时，f(1)＝f(1＋10n)且n∈Z，不符合题意．故选C. 13．(多选)(2025·辽宁大连质检)若定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2，0)对称，且g(x)＝f(x)＋1，则下列结论一定成立的是(　　) A．g(2)＝1 B．g(0)＝1 C．不等式f(x＋1)＞f(1－2x)的解集为(－∞，0) D．g(－1)＋g(2)＜2 解析：BCD　∵定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2，0)对称， 将y＝f(x－2)的图象向左平移2个单位长度即可得到函数y＝f(x)的图象， ∴函数y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，即f(x)为奇函数，∴f(0)＝0， ∵g(x)＝f(x)＋1，∴g(0)＝f(0)＋1， ∴g(0)＝1，故B选项正确； ∵y＝f(x－2)为减函数， ∴f(x)为减函数， ∴g(x)＝f(x)＋1为减函数， 又g(0)＝1，则g(2)≠1，故A选项错误； ∵f(x＋1)＞f(1－2x)， 且f(x)为减函数， ∴x＋1＜1－2x，解得x＜0， 故C选项正确； g(－1)＋g(2)＝f(－1)＋f(2)＋2＝－f(1)＋f(2)＋2， ∵f(1)＞f(2)， ∴g(－1)＋g(2)＜2，故D选项正确． 14．(15分)已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求a的值，解关于x的不等式f(x)>； (2)求函数g(x)＝图象的对称中心． 解：(1)对任意的x∈R，2x＋2－x>0， 故函数f(x)的定义域为R， 又因为函数f(x)＝为奇函数，则f(0)＝＝0，解得a＝1， 所以f(x)＝，下面验证函数f(x)＝为奇函数， f(－x)＝＝－f(x)，故函数f(x)＝为奇函数， 由f(x)＝>，得2·4x>4，即22x+1>22， 所以2x＋1>2，解得x>， 因此不等式f(x)>的解集为. (2)g(x)＝， 则g(－x)＝， 所以g(x)＋g(－x)＝＝2， 因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0，1)． 学科网（北京）股份有限公司 $