第二章 第1讲 函数的概念及其表示（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

第1讲　函数的概念及其表示 ◆课标要求 1．了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用． 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的三要素：定义域、值域、对应关系． (3)同一个函数 前提条件：①定义域相同；②对应关系相同． 结论：这两个函数为同一个函数． (4)函数的表示法 函数的常用表示方法有解析法、列表法和图象法． 2．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．注意以下几类函数的定义域： (1)分式型函数，定义域为分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，定义域为被开方式非负的实数集合． (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}． (5)正切函数y＝tan x的定义域为 {x，k∈Z}． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　) (3)若A＝B＝R，f：x→y＝log2x，其对应是从A到B的函数(　　) (4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(人教A版必修第一册P66例3变式)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　) A．y＝ 　　　　 B．u＝ C．y＝ D．m＝ 解析：B　函数y＝2与函数m＝和y＝x的定义域不同，不是同一个函数，函数y＝＝|x|与y＝x的对应关系不同，也不是同一个函数．u＝＝v(v∈R)与函数y＝x(x∈R)对应关系相同，定义域也相同．故选B. 3．已知f(x)＝x＋3＋，若f(a)＝，则a＝________． 解析：f(a)＝a＋3＋， 解得a＝1或－. 答案：1或－ 4．函数f(x)＝的定义域为________． 解析：由得－1≤x≤3且x≠2. 故f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，3]. 答案：[－1，2)∪(2，3] 　函数的概念 例1　(1)(多选)已知集合M＝{x|－2≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，下列能表示从集合M到集合N的函数关系的是(　　) 解析：BD　对于A，显然当x∈(0，2]时，在集合N中，没有与之对应的实数，故不能表示从集合M到集合N的函数关系，不符合题意；对于B，对任意x∈[－2，2]，在集合N中，都有唯一的实数与之对应，故能表示从集合M到集合N的函数关系，符合题意；对于C，显然当x＝0时，在集合N中有两个数与之对应，故不能表示从集合M到集合N的函数关系，不符合题意；对于D，对任意x∈[－2，2]，在集合N中，都有唯一的实数与之对应，故能表示从集合M到集合N的函数关系，符合题意．故选B、D. (2)(人教A版必修第一册P66例3变式)下列各组函数中，表示同一个函数的一组是(　　) A．f(x)＝1，g(x)＝x0 B．f(x)＝，g(x)＝x C．f(x)＝，g(x)＝ D．f(x)＝与g(x)＝ 解析：D　对于A，f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，两个函数的定义域不同，故二者不是同一个函数；对于B，f(x)＝与g(x)＝x的对应关系不同，故二者不是同一个函数；对于C，f(x)的定义域是[1，＋∞)，g(x)的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，两个函数的定义域不同，故二者不是同一个函数；对于D，g(x)＝＝|x|＝与f(x)＝的定义域和对应关系都相同，故二者是同一个函数．故选D. 反思感悟　函数概念的判定方法 (1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，但B中有可能存在与A中元素不对应的元素． (2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同． 跟踪训练1　(1)(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的为(　　) A．A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x| B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2 C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ D．A＝{－1，1}，B＝{0}，f：x→y＝0 解析：BD　对于A，A中有元素0，在对应关系下y＝0，不在集合B中，不是函数； 对于B，符合函数的定义，是从A到B的函数； 对于C，A中元素x＜0时，B中没有元素与之对应，不是函数； 对于D，A中任意元素，在对应关系下y＝0，在集合B中，是从A到B的函数．故选B、D. (2)已知函数y＝f(x)如下表所示，则f[f(4)]＝________，f(x)的值域是________． x 0＜x＜2 2≤x＜4 4≤x＜6 6≤x≤8 f(x) 1 2 3 4 解析：由表知，f(4)＝3，∴f[f(4)]＝f(3)＝2.易知f(x)的值域为{1，2，3，4}． 答案：2　{1，2，3，4} 　函数的定义域 例2　(1)(人教A版必修第一册P65例2变式)函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(－∞，－1]∪(1，3] B．(1，3] C．[－1，1)∪(1，2) D．[－1，1)∪(1，3] 解析：C　要使函数解析式有意义，需满足即得－1≤x＜1或1＜x＜2.所以函数f(x)的定义域为[－1，1)∪(1，2)．故选C. (2)已知函数y＝f(x)的定义域是[－2，3]，则函数y＝f(2x－1)的定义域是(　　) A．[－5，5]　　　　　 B． C．[－2，3] D． 解析：B　函数y＝f(x)的定义域是[－2，3]，则－2≤2x－1≤3，解得－≤x≤2，所以函数y＝f(2x－1)的定义域是.故选B. 反思感悟　函数定义域的求解方法 (1)求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义． (2)求抽象函数定义域的方法： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 跟踪训练2　(1)函数f(x)＝的定义域是(　　) A．[1，4] B．[1，4) C．[1，＋∞) D．[2，4) 解析：B　由题意知，函数f(x)＝有意义，需满足解得1≤x＜4，故f(x)＝的定义域为[1，4)，故选B. (2)(2025·广东惠州质量检测)若函数f(x)＝的定义域为[3，＋∞)，则实数a＝________，实数b的取值范围为________． 解析：因为函数f(x)＝的定义域为所以而函数f(x)＝的定义域为[3，＋∞)，所以－a＝3，b＜3，即a＝－3，实数b的取值范围为(－∞，3)． 答案：－3　(－∞，3) 　函数的解析式 例3　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 解：(1)(换元法) 设1－sin x＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t， ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (2)(配凑法) ∵f＝x2＋＝2－2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)(待定系数法) ∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)． ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (4)(解方程组法) ∵2f(x)＋f(－x)＝3x，　① ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，　② 由①②解得f(x)＝3x. 反思感悟　函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式． (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 跟踪训练3　(1)若f＝，则f(x)＝______． 解析：f(x)＝(x≠0且x≠1)． 答案：(x≠0且x≠1) (2)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________________． 解析：由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为f(0)＝1，所以c＝1， 所以f(x)＝ax2＋bx＋1， 所以f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x， 从而有解得 所以f(x)＝x2－x＋1. 答案：f(x)＝x2－x＋1 (3)已知f(x)满足f(x)－2f＝2x，则f(x)＝________． 解析：∵f(x)－2f＝2x，① 以代替①中的x，得f－2f(x)＝，② ①＋②×2得－3f(x)＝2x＋， ∴f(x)＝－. 答案：－ 　分段函数 考向1　求分段函数的函数值 例4　(2025·安徽合肥六校联考)设f(x)＝则f(9)＝(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 解析：C　f(9)＝f[f(9＋7)]＝f[f(16)]＝f(16－2)＝f(14)＝14－2＝12.故选C. 考向2　分段函数与方程、不等式 例5　(1)(2025·山东济宁模拟)已知a∈R，函数f(x)＝＝2，则a＝________． 解析：因为＞2，所以f＝log2(5－3)＝1≤2，所以f＝f(1)＝3＋a＝2，解得a＝－1. 答案：－1 (2)(2025·八省联考，8)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2.若当x＞2时，f(x)＞0，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．[－2，1] C．[－1，2] D．[－1，＋∞) 解析：B　f(x)＝x|x－a|－2a2＝ 当x＜a时，f(x)＝－x2＋ax－2a2≤0恒成立，又当x＞2时，f(x)＞0，故a≤2； 当x≥a时，f(x)＝(x－2a)(x＋a)， 若a＝0，f(x)＝x2符合题意； 若a＜0，则f(x)在(a，－a)上小于零，(－a，＋∞)上大于零，所以－a≤2，即a≥－2； 若a＞0，则f(x)在(a，2a)上小于零，(2a，＋∞)上大于零，所以2a≤2，即a≤1. 综上，a∈[－2，1].故选B. 反思感悟　分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 跟踪训练4　(1)(2025·浙江宁波名校联考)设f(x)＝若f(m)＝f(m＋1)，则＝(　　) A．14 B．16 C．2 D．6 解析：A　f(x)的定义域为(0，＋∞)，则解得m＞0.若m≥1，则m＋1≥2＞1，可得2(m－1)＝2m－2≠2m，不合题意；若0＜m＜1，则m＋1＞1，可得＝2m，解得m＝.综上所述，m＝.所以f＝f(8)＝2×7＝14.故选A. (2)已知函数f(x)＝则满足f(x)＋f(x＋1)＞1的x的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B． C．(0，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：B　当即x＞1时，ln x＋1＞1，所以当x＞1时，f(x)＋f(x＋1)＞1恒成立；当即x≤0时，f(x)＋f(x＋1)＝2x＋1＋2x＋3＞1，解得－＜x≤0；当0＜x≤1时，因为1＜x＋1≤2，所以f(x)＋f(x＋1)＝2(x＋1)＋ln (x＋1)＞1恒成立．综上所述，满足f(x)＋f(x＋1)＞1的x的取值范围是，故选B. 典例　(多选)(2025·广东东莞联考)给定数集A＝R，B＝(0，＋∞)，x，y满足方程2x－y＝0，下列对应关系f为函数的是(　　) A．f：A→B，y＝f(x) B．f：B→A，y＝f(x) C．f：A→B，x＝f(y) D．f：B→A，x＝f(y) 解析：ABD　对于y＝f(x)＝2x，∀x∈A，均有唯一确定的f(x)，且f(x)∈(0，＋∞)＝B与之对应，符合函数定义，故选项A符合题意； 对于y＝f(x)＝2x，∀x∈B，均有唯一确定的f(x)，且f(x)∈(1，＋∞)⊆A，符合函数定义，故选项B符合题意； 对于x＝f(y)＝log2y，取y＝1∈A，但x＝0∉B，不符合函数定义，故选项C不符合题意； 对于x＝f(y)＝log2y，∀y∈B，均有唯一确定的f(y)，且f(y)∈R＝A，符合函数定义，故选项D符合题意．故选A、B、D. 风向解读　本题考查函数的定义，需要学生对函数定义中的几个关键点深刻理解，才能将正确选项全部选出，如：C选项考查A中的每一个元素在B中都有唯一确定元素与之对应，体现新高考对基础概念深入考查的特点和趋势． 限时规范训练(七)　函数的概念及其表示 (建议用时：45分钟　分值：99分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．(多选)(2025·云南大理期中)下面两个函数是相同函数的有(　　) A．f(x)＝x－1与g(x)＝ B．f(x)＝与g(x)＝ C．f(x)＝x0与g(x)＝1 D．f(x)＝x＋2与g(x)＝＋2 解析：BD　对于A，f(x)＝x－1的定义域为R，g(x)＝x≠－1}，两函数定义域不同，所以不是相同函数，故A错误； 对于B，f(x)＝＝1(x＞0)，g(x)＝＝1(x＞0)，两函数的定义域和对应关系相同，所以为相同函数，故B正确； 对于C，f(x)＝x0，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)与g(x)＝1，x∈R的定义域不同，所以不是相同函数，故C错误； 对于D，f(x)，g(x)的定义域为R，g(x)＝＋2＝x＋2，f(x)与g(x)的对应关系相同，所以两函数是相同函数，故D正确． 2．(多选)下列函数图象中，可以表示y是x的函数的图象是(　　) 解析：ACD　对于B，对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象；对于A、C、D，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象．故选A、C、D. 3．已知一次函数f(x)满足：f[f(x)－2x]＝3，则f(1)＝(　　) A．1　 　 B．2　 　　 C．3　 　 D．5 解析：C　设f(x)＝kx＋b(k≠0)， ∴f[f(x)－2x]＝f(kx＋b－2x)＝k(kx＋b－2x)＋b＝(k2－2k)x＋kb＋b＝3， ∴解得k＝2，b＝1， ∴f(x)＝2x＋1，∴f(1)＝3. 4．若函数f(x)的定义域为(－2，4)，则f(x)可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝lg (x＋2) D．f(x)＝ 解析：C　要使f(x)＝有意义，则x2－2x－8≠0，即x≠－2且x≠4，A错误；要使f(x)＝有意义，则解得－2≤x＜4，B错误；要使f(x)＝lg (x＋2)＝有意义，则解得－2＜x＜4，C正确；要使f(x)＝有意义，则解得x∈(－2，－1)∪(－1，4)，D错误． 5．(2025·内蒙古包头调研)设函数f(x)＝则满足f(2x)＞f(x＋1)的x的取值范围是(　　) A．(－1，0) B．(1，＋∞) C．(0，1) D．(－1，1) 解析：B　通解：当x≤－1时，x＋1≤0，2x≤－2，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，则f(2x)＞f(x＋1)不成立； 当－1＜x≤0时，x＋1＞0，2x≤0，f(x＋1)＝3x+1，f(2x)＝1， 由f(2x)＞f(x＋1)，得3x+1＜1＝30，则x＜－1，与－1＜x≤0矛盾，舍去； 当x＞0时，x＋1＞1，2x＞0，f(x＋1)＝3x+1，f(2x)＝32x， 由f(2x)＞f(x＋1)，得32x＞3x+1，则2x＞x＋1，得x＞1. 综上，满足f(2x)＞f(x＋1)的x的取值范围是(1，＋∞)．故选B. 快解：画出f(x)的大致图象，如图所示． 若f(2x)＞f(x＋1)，则2x＞0>x＋1或2x＞x＋1＞0，解得x＞1.故选B. 6．(2025·山东潍坊模拟)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有(　　) A．f(|x|)＝x3 B．f(sin x)＝x2 C．f(x2＋2x)＝|x| D．f(|x|)＝x2＋1 解析：D　对于A，当x＝1时，f(|1|)＝f(1)＝1；当x＝－1时，f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义(一个自变量的值只有唯一一个函数值与之对应)，A错误． 对于B，令x＝0，则f(sin x)＝f(0)＝0， 令x＝π，则f(sin π)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误． 对于C，令x＝0，则f(0)＝0，令x＝－2，则f(0)＝f((－2)2＋2×(－2))＝2，不符合函数定义，C错误． 对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，则|x|≥0，则存在x≥0时，f(x)＝x2＋1， 符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确．故选D. 7．(2025·天星教育原创)已知函数f(x)＝则f[f(－1)]＝________． 解析：因为f(－1)＝cos (－π)＝-1＝e，所以f[f(－1)]＝f(e)＝2ln ＝－2. 答案：－2 8．已知函数f(x)＝若f(a)＝1，则a＝________． 解析：当a＞0时，log2a＝1，解得a＝2； 当a≤0时，2a＝1，解得a＝0.所以a＝0或2. 答案：0或2 9．(2025·河南商丘联考)若函数f(2x)的定义域为[－1，1]，则函数h(x)＝f(x)＋f(x－1)的定义域为________． 解析：因为函数f(2x)的定义域为[－1，1]，所以≤2x≤2，所以函数f(x)的定义域为.对于函数h(x)，有所以≤x≤2，所以函数h(x)的定义域为. 答案： 10．(13分)根据下列条件，求函数的解析式： (1)已知f＝x＋2； (2)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1； (3)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)． 解：(1)法一(换元法)：设t＝＋1，t≥1，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二(配凑法)：∵x＋2＝2＋2＋1－1＝2－1， ∴f＝2－1，即f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)用－x替换x，得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，与原式2f(x)－f(－x)＝3x＋1联立，消去f(－x)，得f(x)＝x＋1. (3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y＝(－y)2＋(－y)＋1，所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1. 11．(13分)已知函数f(x)＝1＋(－2＜x≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的值域． 解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1； 当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋＝1－x， 所以f(x)＝ (2)由(1)得f(x)＝由此画出f(x)的图象如图所示： 由图象知，f(x)的值域为[1，3)． B级　能力提升练 12．(多选)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于f(x)，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的值域为[0，1] B．f(x)的定义域为R C．∀x∈R，f(f(x))＝1 D．f(x)为偶函数 解析：BCD　因为函数 f(x)＝所以函数的定义域为R，值域为{0，1}，故A错误，B正确； 因为f(x)＝0或f(x)＝1，且0与1均为有理数，所以f(f(x))＝f(0)＝1或f(f(x))＝f(1)＝1，故C正确； 因为函数f(－x)＝ ＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故D正确． 13．已知函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是______；若函数f(x)的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是________． 解析：若函数f(x)的定义域为R， 则有m>0且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0， 解得m≥， 所以m的取值范围是. 当m＝0时，f(x)＝，值域是[0，＋∞)，满足条件； 令g(x)＝mx2－(m－2)x＋m－1， g(x)≥0， 当m<0时，g(x)的图象开口向下，故f(x)的值域不会是[0，＋∞)，不满足条件； 当m>0时，g(x)的图象开口向上， 只需mx2－(m－2)x＋m－1＝0中的Δ≥0， 即(m－2)2－4m(m－1)≥0， 解得－， 又m>0，所以0<m≤， 综上，0≤m≤， 所以实数m的取值范围是. 答案： 14．(15分)已知函数f(x)＝. (1)求f＋f(3)，f＋f(2)的值； (2)探索f(x)＋f； (3)利用(2)的结论求表达式：f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2025)＋f(2026)的值． 解：(1)已知函数f(x)＝， ∴f＋f(3)＝＝1，f＋f(2)＝＝1. (2)由f(x)＝，得f＝， ∴f(x)＋f＝1. (3)由(2)知f(x)＋f＝1，f(1)＝， ∴f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2025)＋f(2026)＝2025＋f(1)＝2025×1＋. 学科网（北京）股份有限公司 $