第一章 第6讲 一元二次方程、不等式（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

第6讲　一元二次方程、不等式 ◆课标要求 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)、不等式ax2＋bx＋c>(<)0(a>0)的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. (3)<a(a≠0)⇔－a<0(a≠0)． 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 2．绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为.(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为R.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．不等式3x2－7x≤10的解集为________． 解析：由3x2－7x≤10得 3x2－7x－10＝(3x－10)(x＋1)≤0， 解得－1≤x≤. 答案： 3．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为________． 解析：因为2x2＋kx－m<0的解集为 (t，－1)(t<－1)， 所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，所以k＋m＝2. 答案：2 4．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：∀x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0，解得1≤a≤3. 答案：[1，3] 　一元二次不等式的解法 考向1　不含参数不等式的解法 例1　(多选)下列选项中，正确的是(　　) A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“<0”的充分不必要条件 解析：ABD　因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，故A正确； 因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误； 由<0，可得－4<x<5，因此，“<0”的充分不必要条件，故D正确． 考向2　含参数不等式的解法 例2　已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8. (1)若不等式f(x)<0的解集为{x<x<4}，求a的值； (2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集． 解：(1)法一：由于不等式ax2＋(2－4a)x－8<0的解集为{x<x<4}． 所以x1＝－，x2＝4是方程ax2＋(2－4a)x－8＝0两根，且a>0. 故－＝×4，得a＝3. 法二：不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，可化为(ax＋2)(x－4)<0. 因为f(x)<0的解集是{x<x<4}， 所以a>0且－，解得a＝3. (2)不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，因为a<0，所以不等式可化为(x－4)<0， 当4<－，即－<a<0时，原不等式的解集为； 当4＝－，即a＝－，原不等式的解集为∅； 当4>－，即a<－时，原不等式的解集为. 综上所述，当－<a<0时，原不等式的解集为； 当a＝－时，原不等式的解集为∅； 当a<－时，原不等式的解集为. 反思感悟　(1)已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负． (2)对含参数的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： ①根据二次项系数为正、负及零进行分类． ②根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． ③有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 跟踪训练1　(1)(2025·河南部分名校模拟)某同学解关于x的不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)时，因弄错了常数c的符号，解得其解集为(－∞，－3)∪(－2，＋∞)，则不等式bx2＋cx＋a>0的解集为(　　) A． B．(－∞，－1)∪ C． D．∪(1，＋∞) 解析：C　由题意可知a<0，且－3＋(－2)＝－，－3×(－2)＝－，所以b＝5a，c＝－6a，所以bx2＋cx＋a>0可化为5x2－6x＋1<0，即(5x－1)(x－1)<0，解得<x<1.故选C. (2)(2025·山东青岛模拟)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)． 解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－. 当a>0时，原不等式的解集为∪； 当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a<0时，原不等式的解集为∪. 　一元二次不等式恒成立问题 考向1　在R上的恒成立问题 例3　不等式(a＋1)x2－(a＋1)x－1＜0对一切实数x恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(1，5)　　　　　 B．(－5，－1) C．(－5，－1] D．(－3，－1] 解析：C　当a＋1＝0，即a＝－1时，(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0可化为－1<0，不等式－1<0恒成立；当a＋1≠0，即a≠－1时，因为(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0对一切实数x恒成立，所以解得－5<a<－1.综上所述，－5<a≤－1.故选C. 考向2　在给定区间上的恒成立问题 例4　(2025·山西吕梁模拟)已知关于x的不等式x2－(a＋4)x＋2a＋5≥0在(－∞，2)上恒成立，则a的最小值为________． 解析：由不等式x2－(a＋4)x＋2a＋5≥0在(－∞，2)上恒成立得(2－x)a≥－x2＋4x－5在(－∞，2)上恒成立， 因为2－x>0，所以a≥＝－(2－x)－在(－∞，2)上恒成立， 又(2－x)＋＝2，所以－≤－2，当且仅当2－x＝，即x＝1时，等号成立． 所以a≥－2，故a的最小值为－2. 答案：－2 考向3　给定参数范围的恒成立问题 例5　(2025·江苏宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A．[－1，3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：D　不等式x2＋px>4x＋p－3 可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0， 由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)， 令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)， 可得 解得x<－1或x>3. 反思感悟　求解不等式恒成立问题的常用方法 (1)不等式解集法 不等式f(x)≥0在集合A中恒成立等价于集合A是不等式f(x)≥0的解集B的子集，通过求不等式的解集，并研究集合间的关系可以求出参数的取值范围． (2)分离参数法 若不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立，将f(x，λ)≥0转化为λ≥g(x)或λ≤g(x)(x∈D)恒成立，进而转化为λ≥g(x)max或λ≤g(x)min，求g(x)(x∈D)的最值即可． (3)主参换位法 变换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．一般地，条件给出谁的范围，就看成有关谁的函数，利用函数单调性求解． (4)数形结合法 结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系(相对于x轴)求解． 此外，若涉及的不等式能转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题． 跟踪训练2　已知关于x的不等式2x－1>m(x2－1)． (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围； (3)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围． 解：(1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)<0， 当m＝0时，－2x＋1<0不恒成立； 当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立， 则需m<0且Δ＝4－4m(1－m)<0，无解， 所以不存在实数m，使不等式恒成立． (2)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)， 当m∈[－2，2]时，f(m)<0恒成立． 而f(m)在m∈[－2，2]时表示线段，故f(x)<0在[－2，2]上恒成立⇔ 即 由①得<x<. 由②得x<或x>. 取交集，得<x<. 故实数x的取值范围是{x<x<}． (3)因为x>1，所以m<. 设2x－1＝t(t>1)，x2－1＝， 所以m<. 设g(t)＝t－＋2，t∈(1，＋∞)， 显然g(t)在(1，＋∞)上为增函数． 当t→＋∞时，t－＋2→＋∞，→0，所以m≤0. 故m的取值范围是{m|m≤0}． 限时规范训练　一元二次方程、不等式 (建议用时：45分钟　分值：95分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．不等式－x2＋3x＋10>0的解集为(　　) A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞) C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞) 解析：A　由－x2＋3x＋10>0得x2－3x－10<0，解得－2<x<5. 2．若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a<2}　　 B．{a|－1<a≤2} C．{a|－1<a<2} D．{a|－1≤a≤2} 解析：B　当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2. 综上，－1<a≤2， 故实数a的取值范围为{a|－1<a≤2}． 3．若对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．[4，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，4] D．(－∞，2] 解析：A　法一：因为对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，所以对任意的x∈[－1，0]，m≥2x2－4x－2恒成立，设y＝2x2－4x－2＝2(x－1)2－4，x∈[－1，0]，则m≥ymax.易知y＝2(x－1)2－4在[－1，0]上单调递减，所以ymax＝2×(－1－1)2－4＝4，所以m≥4，所以实数m的取值范围是[4，＋∞)，故选A. 法二：设f(x)＝－2x2＋4x＋2＋m，易知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，结合题意可得，即 解得m≥4，故选A. 4．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)，则不等式bx2＋ax－c≤0的解集是(　　) A．[－1，2] B．(－∞，－1]∪[2，＋∞) C．[－2，1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：A　由题意可知，ax2＋bx＋c＝0的两个实数根是－1和2，且a<0， 则解得 bx2＋ax－c≤0可化为－ax2＋ax＋2a≤0， 即x2－x－2≤0， 解得－1≤x≤2， 所以不等式的解集是[－1，2]. 5．(多选)(2025·浙江绍兴质量调研)已知a∈R，关于x的不等式(ax－2)(x＋2)>0的解集可能是(　　) A．{x或x<－2} B．{x|x>－2} C．{x} D．{x<x<－2} 解析：ACD　当a＝0时，(ax－2)(x＋2)＝－2(x＋2)>0，解得x<－2； 当a>0时，(ax－2)(x＋2)＝a(x＋2)>0，解得x>或x<－2，故A正确． 当a<0时，(ax－2)(x＋2)＝a(x＋2)>0， 若＝－2，则a＝－1，则解集为空集； 若<－2，则－1<a<0，则不等式的解集为{x<x<－2}，故D正确． 若>－2，解得a<－1，则不等式的解集为{x}，故C正确．故选A、C、D. 6．已知二次函数y＝x2＋mx－1，若对任意x∈[m，m＋1]，都有y<0成立，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：D　根据题意可得 解得－<m<0.故选D. 7．不等式>x的解集是________． 解析：不等式>x化为以下两个不等式组或 解即 解得x<－1， 解即 解得1<x<5， 所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1，5)． 答案：(－∞，－1)∪(1，5) 8．(2025·江苏盐城一中期末)关于x的不等式ax2－2x＋1≤0在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是________． 解析：由不等式ax2－2x＋1≤0以及x∈(0，2]可得a≤.依题意可知要使不等式ax2－2x＋1≤0在(0，2]上有解，只需a≤max，x∈(0，2]即可， 令y＝，x∈(0，2]， 又y＝＝－2＋1， 由x∈(0，2]可得∈， 利用二次函数的性质可知ymax＝－(1－1)2＋1＝1，即可得a≤1， 即实数a的取值范围是(－∞，1]. 答案：(－∞，1] 9．已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为________． 解析：把不等式的左端看成关于a的函数， 记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 则由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6>0， 且f(1)＝x2－3x＋2>0， 解不等式组得x<1或x>3. 答案：(－∞，1)∪(3，＋∞) 10．(13分)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6. (1)解关于a的不等式f(1)>0； (2)若不等式f(x)>b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值． 解：(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6 ＝－a2＋6a＋3>0， 解得3－2<a<3＋2. ∴不等式的解集为{a<a<3＋2}． (2)∵f(x)>b的解集为(－1，3)， ∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3， ∴解得 故a的值为3±，b的值为－3. 11．(13分)设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围； (2)若对于x∈[1，3]，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)依题意知，mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0恒成立； 若m≠0，则∴－4<m<0. ∴实数m的取值范围是(－4，0]. (2)法一：当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立． 当m≠0时，该函数图象的对称轴是直线x＝， ∴f(x)＝mx2－mx－1在x∈[1，3]上是单调函数， 当m>0时，f(x)在[1，3]上单调递增，要使f(x)<0在x∈[1，3]上恒成立，只需f(3)<0， 则9m－3m－1<0，得m<，即0<m<. 当m<0时，f(x)在[1，3]上单调递减，要使f(x)<0在x∈[1，3]上恒成立，只需f(1)<0. 此时f(1)＝－1<0，显然成立． 综上所述，实数m的取值范围是. 法二：f(x)＝m(x2－x)－1，x∈[1，3]. ①当x＝1时，f(1)＝－1<0恒成立， 则m∈R. ②当x≠1时，即x∈(1，3]时，x2－x>0. 所以要使f(x)<0恒成立，只需m<恒成立．设t＝x2－x， 又t＝x2－x＝2－在(1，3]上单调递增． ∴0<t≤6，则，∴m<. 综合①②知，实数m的取值范围是. B级　能力提升练 12．已知当x∈(－1，5]时，>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(5，＋∞) D．[5，＋∞) 解析：C　法一：因为x∈(－1，5]，所以x＋1>0，又>0恒成立，所以a－x>0对任意x∈(－1，5]恒成立，从而a>xmax(x∈(－1，5])，即a>5，故选C. 法二：>0等价于(a－x)(1＋x)>0，所以问题可转化为当x∈(－1，5]时，(x－a)(x＋1)<0恒成立，从而a>5，所以选C. 13．(2025·湖南长沙模拟)已知在(－∞，1]上单调递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是(　　) A． B． C．[2，3] D．[1，2] 解析：B　由于f(x)＝x2－2tx＋1图象的对称轴为x＝t， 又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数， 所以t≥1. 则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1， f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1， 要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]， 都有|f(x1)－f(x2)|≤2， 只需1－(－t2＋1)≤2，解得－. 又t≥1，所以1≤t≤. 14．(13分)解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a∈R)． 解：原不等式可化为(ax－1)(x－2)<0. ①当a>0时，原不等式可化为a(x－2)<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)<0. 因为方程(x－2)＝0的两个根分别是2，，所以当0<a<时，2<，则原不等式的解集是{x}；当a＝时，原不等式的解集是∅； 当a>时，<2，则原不等式的解集是{x<x<2}． ②当a＝0时，原不等式为－(x－2)<0，解得x>2， 即原不等式的解集是{x|x>2}． ③当a<0时，原不等式可化为a(x－2)<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)>0，由于<2.故原不等式的解集是{x或x>2}． 综上所述，当a<0时，不等式的解集为{x或x>2}； 当a＝0时，不等式的解集为{x时，不等式的解集为{x； 当a＝时，不等式的解集为∅；当a>时，不等式的解集为{x<x<2}． 学科网（北京）股份有限公司 $