第一章 第5讲 基本不等式的应用（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

第5讲　基本不等式的应用 ◆课标要求 1．会求解与基本不等式有关的恒成立问题.2.能够利用基本不等式解决实际应用问题． 　利用基本不等式求参数值或取值范围 例1　(1)已知x>0，y>0，且，若x＋2＋y>m2＋5m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－4，6)　　　　 B．(－1，6) C．(－4，2) D．(－6，1) 解析：D　由题意，x＋2＋y＝[(x＋2)＋y]×＝＝6，当且仅当，即x＝1，y＝3时等号成立， 所以m2＋5m<6，即m2＋5m－6<0， 解得－6<m<1. (2)已知a>0，若关于x的不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：C　因为x>－1，x＋1>0，所以x＋－1，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，等号成立，所以x＋有最小值为 因为不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立， 所以2－1≥3，解得a≥4，所以a的最小值为4，故选C. 反思感悟　(1)解与基本不等式有关的恒成立问题，一般都要转化为利用基本式求最值解决． (2)利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围． 跟踪训练1　(1)对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为(　　) A．{m|－2<m<2}　　 B．{m|m>2} C．{m|m>－2} D．{m|m≤－2} 解析：C　因为对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立， 即mx<x2＋1对任意的x∈(－∞，0)恒成立，即m>对任意的x∈(－∞，0)恒成立， 因为x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，所以x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立，所以m>－2. (2)若不等式恒成立，则实数m的最大值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．9 解析：D　由题意≥m恒成立，即5＋≥m恒成立． 又5＋＝9，当且仅当a＝b时等号成立，故实数m的最大值为9. 　基本不等式的实际应用 例2　沈阳某火车站准备在某仓库处，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3 m，底面积为12 m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m(2≤x≤4)． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 解：(1)设甲工程队的总造价为y元，依题意，左右两面墙的长度均为xm(2≤x≤4)，则屋子前面新建墙体长为 m，则 y＝3＋7200， 即y＝900＋7200≥900×2＋7200＝14400， 当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元． (2)由题意可知，当900＋7200>对任意的x∈[2，4]恒成立， 即>，所以>a， 即a<min， ＋6≥ 2＋6＝12， 当x＋1＝，x∈[2，4]，即x＝2时，的最小值为12，即0<a<12，所以a的取值范围是(0，12)． 反思感悟　利用基本不等式解决实际问题的思路 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为关于自变量的函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式或函数的性质求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 跟踪训练2　甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时(为保证质量要求1≤x≤10)的速度匀速生产，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克． (1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数； (2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少． 解：(1)由题意得k＋9＝10，解得k＝1，因为生产m千克该产品需要的时间是，所以y＝＝m，1≤x≤10. (2)由(1)知，生产1000千克该产品消耗的A材料为y＝1000≥1000×2＝6000(千克)． 当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立， 故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少，最少为6000千克． 限时规范训练　基本不等式的应用 (建议用时：45分钟　分值：96分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为(　　) A．8　　　　　 B．8＋4 C．8＋8 D．16＋8 解析：C　设三角形的两条直角边长为a，b，可得ab＝32， 三角形的周长为a＋b＋，当且仅当a＝b＝4时等号成立． 2．若a>1，b>1，且a≠b，则a2＋b2，2ab，a＋b，的最大值是(　　) A．a2＋b2 B．2ab C．a＋b D．2 解析：A　因为a>1，b>1，所以a2＋b2>a＋b，根据基本不等式可知a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，因为a≠b，所以a2＋b2>2ab，同理a＋b>2， 综上所述，上述四个式子中的最大值为a2＋b2. 3．已知x>0，y>0，且＝1，若2x＋y<m2－8m有解，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)∪(9，＋∞) B．(－∞，－1)∪[9，＋∞) C．(－9，－1) D．[－9，1] 解析：A　因为x>0，y>0，且＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)＝5＋＝9，当且仅当，且＝1，即x＝y＝3时等号成立，此时2x＋y取得最小值9， 若2x＋y<m2－8m有解，则9<m2－8m，解得m>9或m<－1， 即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 4．某品牌最新款手机发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　) A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥ 解析：B　依题意，80(1＋a)(1＋b)＝80(1＋x)2，而a>0，b>0，x>0，因此1＋x＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以x≤. 5．若对于任意的x>0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[5，＋∞) B．(5，＋∞) C．(－∞，5] D．(－∞，5) 解析：C　令f(x)＝，由题意可得a≤f(x)min，f(x)＝x＋＋3＝5， 当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，a≤f(x)min＝5，所以实数a的取值范围为(－∞，5]. 6．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＋b＝6，c＝4，则此三角形面积的最大值为(　　) A． B．2 C．3 D．4 解析：B　由题意，得p＝5，S＝， 当且仅当a＝b＝3时，等号成立，∴此三角形面积的最大值为2. 7．某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围成一个18平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图，则至少需要________米栅栏． 解析：设矩形植物种植园的长、宽分别为a，b，所以其面积S＝ab＝18， 则周长L＝a＋2b≥2＝12，当且仅当“a＝2b＝6”时等号成立，故至少需要12米栅栏． 答案：12 8．已知二次函数f(x)＝ax2－2x＋2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点，则的最小值为________． 解析：依题意，二次函数f(x)＝ax2－2x＋2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点， 令ax2－2x＋2b＝0，所以Δ＝2－4a·2b＝0，所以ab＝1， 因为a>0，所以b>0，所以，当且仅当， 即a＝时，等号成立． 答案：2 9．某公司需建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为________元． 解析：设房屋底面一边长为x(x>0)m，则另一边长为 m， 所以房屋的总造价为y＝3x×1200＋3××800×2＋5800， 因为x>0， 所以y≥2＋5800＝57600＋5800＝63400， 当且仅当3x×1200＝3××800×2，即x＝8时等号成立． 答案：63400 10．(13分)已知x>0，y>0，且x＋y＝2. (1)求的最小值； (2)若4x＋y－mxy≥0恒成立，求m的最大值． 解：(1)因为x>0，y>0，且x＋y＝2，所以1＝(x＋y)， 所以(x＋y)＝＝8， 当且仅当，即x＝时等号成立，所以的最小值为8. (2)因为4x＋y－mxy≥0(x>0，y>0)恒成立，所以m≤恒成立， 因为1＝(x＋y)，x>0，y>0，所以 (x＋y)＝＝，当且仅当，即x＝时等号成立． 所以的最小值为，所以m≤，所以m的最大值为. 11．(13分)如图所示，某社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100 m2的成轴对称的“⊥”形地域．计划在正方形MNGH上建一座花坛，造价为2100元/m2；在两个相同的矩形AHMD和NCBG上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；在两个三角形DEM和CFN上铺草坪，造价为40元/m2.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)． (1)设AH长为y(单位：m)，写出y关于x的函数解析式； (2)当x为何值时，S最小？并求出这个最小值． 解：(1)由题意得4xy＋x2＝100， 解得y＝， 由x>0，y>0，得0<x<10，所以y＝(0<x<10)． (2)由题意得AH＝(0<x<10)， 所以S＝2100x2＋2x××210＋2×2×40 ＝2000x2＋＋9500＝20000＋9500＝29500， 当且仅当2000x2＝，即x＝时等号成立， 所以当x＝时，S最小，且S最小＝29500元． B级　能力提升练 12．设a>0，b>1，若a＋b＝2，且不等式>m2＋8m恒成立，则m的取值范围是________． 解析：因为a>0，b>1，a＋b＝2，所以a＋(b－1)＝1， 则＝·[a＋(b－1)]＝5＋＝9， 当且仅当时，即a＝时等号成立，所以9>m2＋8m，解得－9<m<1. 答案：(－9，1) 13．已知A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(a<b)}中有且仅有一个元素，则M＝的最小值为________． 解析：由于A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(a<b)}中有且仅有一个元素， 所以b>a>0，Δ＝b2－4ac＝0， 即b2＝4ac. 所以M＝ ＝， 设t＝－1>0，所以＝t＋1， 所以M＝ ＝t＋＋5. 当且仅当t＝时，等号成立． 所以M的最小值为2＋5. 答案：2＋5 14．(15分)第19届亚运会于2023年9月在浙江杭州举办，某公益团队联系组委会举办了一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合此活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格． (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？ 解：(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)， 供货单价为50＋＝52(元)，总利润为5×(100－52)＝240(万元)． 所以能获得的总利润为240万元． (2)每套会徽及吉祥物售价为x元时，销售量为(15－0.1x)万套，供货单价为元， 单套利润为x－50－， 因为15－0.1x>0，所以0<x<150，所以单套利润为 y＝x－50－＝－＋100≤100－2＝80， 当且仅当150－x＝10，即x＝140时等号成立． 所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元． 学科网（北京）股份有限公司 $