第一章 第4讲 基本不等式（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

第4讲　基本不等式 ◆课标要求 1．了解基本不等式的证明过程．2.能用基本不等式解决简单的最值问题． 1．基本不等式 (a>0，b>0)，等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2． (2)已知x，y都是正数，如果x＋y的和等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值． 　利用基本不等式求最值要注意： (1)满足“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错． (2)一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致(等号同时成立). 1．≥2(a，b同号且不为0)，当且仅当a＝b时取等号． 2．ab≤2≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)不等式a2＋b2≥2ab与≥ 成立的条件是相同的．(　　) (2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　) (4)“x>0且y>0”是“≥2”的充要条件.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知a>0，b>0且2a＋5b＝10，则ab的最大值为(　　) A．2　　　　　 B．5 C． D． 解析：D　因为2a＋5b＝10≥2，所以ab≤，当且仅当a＝，b＝1时，等号成立． 所以ab的最大值为. 3．已知x>－1，则x＋的最小值为________． 解析：x＋＝(x＋1)＋－1 ≥2－1＝2－1＝1， 当且仅当x＋1＝，即x＝0时等号成立． 答案：1 4．设a>0，b>0，2a＋b＝1，则的最小值为________． 解析：因为a>0，b>0，2a＋b＝1，所以＝(2a＋b)＝6＋. 当且仅当，即a＝时等号成立． 答案：6＋4 　直接法求最值 例1　(1)(2025·湖北武汉期末)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则(　　) A．ab≥　　　　　 B．ab> C．0<ab≤ D．0<ab< 解析：C　因为a>0，b>0，a＋2b＝1≥当且仅当a＝2b时，等号成立，所以，0<ab≤.故选C. (2)(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝ C．y＝2x＋22-x D．y＝ln x＋ 解析：C　对于A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3， (难点突破：利用配方法或二次函数的图象与性质，均可顺利求解最值问题) 所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以选项A不符合题意． 对于B，法一：因为y＝＝4，所以y≥4，当且仅当|sin x|＝＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知 |sin x|＝2不可能成立， (易错提醒：利用基本不等式求最值时，必须关注其中的“等号”能否取到) 因此可知y>4，所以选项B不符合题意． 法二：设|sin x|＝t，则t∈(0，1]，根据函数y＝t＋在(0，1]上单调递减可得ymin＝1＋＝5，所以选项B不符合题意． (难点突破：“换元”，构造函数，灵活运用对勾函数的单调性) 对于C，因为y＝2x＋22-x≥2＝4，当且仅当2x＝22-x，即x＝2－x，即x＝1时不等式等号成立， (归纳总结：利用基本不等式求最值时，必须给出“取等号”的具体条件) 所以ymin＝4，所以选项C符合题意． 对于D，当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋<0， (易错提醒：利用基本不等式求“和”的最小值时，必须满足各项均为正数) 所以选项D不符合题意． (注意：当x>1时，因为ln x>0，所以y＝ln x＋＝4，当且仅当ln x＝，即ln x＝2，x＝e2时不等式等号成立，所以此时ymin＝4.据此可知，只有限制x>1，选项D才是符合题意的) 综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数．故选C. 反思感悟　在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．基本不等式具有“积式”与“和式”的互化功能，为了达到求最值的目的，有时需多次使用基本不等式，但不要忽视每次取等号的条件应是相同的． 跟踪训练1　(1)(－6<a<3)的最大值为________． 解析：∵－6<a<3，∴3－a>0，a＋6>0，， 当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时等号成立． 答案： (2)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________． 解析：∵ab>0， ∴ ≥2 ≥2＝4. 当且仅当时， 即a2＝时等号成立． 答案：4 　配凑法求最值 例2　(多选)下列说法正确的有(　　) A．若x<，则2x＋的最大值为－1 B．若x>－2，则≥4 C．若0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为9 D．若x<1，则的最大值为－5 解析：ABD　对于A，因为x<，所以2x－1<0，1－2x>0，所以2x＋＝(2x－1)＋＋1＝－＋1≤ －2＋1＝－1(当且仅当x＝0时等号成立)，此时2x＋有最大值－1，故A正确；对于B，因为x>－2，所以x＋2>0，所以＝4，当且仅当，即x＝2时等号成立，故B正确；对于C，y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·2＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时等号成立，所以当x＝时，ymax＝，故C错误；对于D，＝－＋1≤－2＋1＝－5.当且仅当－(x－1)＝－，即x＝－2时，等号成立，故D正确．故选A、B、D. 反思感悟　配凑法的运用技巧 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x＋(a>0)，的形式等)，然后利用基本不等式求解最值．拆项、添项应注意检验应用基本不等式的前提条件． 跟踪训练2　(1)已知x＞2，则＋x的最小值是________． 解析：由x>2知x－2>0，则＋(x－2)＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝x－2，即x＝4时等号成立，所以＋x的最小值是6. 答案：6 (2)设0<x<，则y＝x的最大值为________． 解析：因为0<x<， 所以y＝·(2x)，当且仅当4x2＝1－4x2，即x＝时等号成立． 答案： 　常数代换法求最值 例3　(1)若a>0，b>0，3a＋2b＝6，则的最小值为(　　) A．6　　　　　　　 B．5 C．4 D．3 解析：C　因为a>0，b>0，3a＋2b＝6，所以(3a＋2b)＝＝4，当且仅当3a＝2b＝3时，等号成立，即的最小值为4. (2)已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为(　　) A．16 B．8＋4 C．12 D．6＋4 解析：A　由题意可知＝1， ∴2x＋y＝(2x＋y) ＝＋8＝16， 当且仅当，即x＝4，y＝8时，等号成立，则2x＋y的最小值为16. 反思感悟　常值代换法：当式子中含有两个变量，且条件和所求的式子分别为整式和分式时，当整式或分式有一个为定值时，即①已知a>0，b>0，x>0，y>0，若ax＋by＝1，则有＝(ax＋by)＝a＋b＋＝2(当且仅当时等号成立)．②已知a>0，b>0，x>0，y>0，若＝1，则有x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＝2(当且仅当时等号成立)． 由上可知，构造(ax＋by)(a，b，m，n为常数)的结构，利用(ax＋by)＝am＋bn＋(当且仅当时等号成立)求解最值是非常奏效的． 跟踪训练3　(1)(2025·湖南师范大学附属中学期末)已知正数x，y满足20x＋21y＝xy，则的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：C　由20x＋21y＝xy，左右两边同时除以xy，得＝1，所以＝＝2＋＝2＋2＝4，当且仅当且＝1，即x＝42，y＝40时，等号成立．故选C. (2)(2025·重庆巴蜀中学适应性考试)已知正实数a，b满足＝1，则a＋2b的最小值为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 解析：B　∵正实数a，b满足＝1，∴a＋2b＝a＋b＋b＋1－1＝(a＋b＋b＋1)－1＝5＋－1＝8，当且仅当a＋b＝2(b＋1)，即a＝4，b＝2时等号成立．故选B. 　消元法求最值 例4　若正数x，y满足x2＋xy－3＝0，则4x＋y的最小值是(　　) A．3 B．6 C．2 D．4 解析：B　因为正数x，y满足x2＋xy－3＝0，所以y＝－x，由y>0，得－x>0，因为x>0，所以3－x2>0，即0<x<.所以4x＋y＝3x＋＝6，当且仅当3x＝，即x＝1时等号成立．故选B. 反思感悟　当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值． 跟踪训练4　设正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则的最大值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：D　z＝x2＋y2－xy，则＝1，当且仅当x＝y时，等号成立，故的最大值为1. 基本不等式链 若a>0，b>0，则≤ ≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立．其中和 分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数，叫做算术平均数，叫做几何平均数．此不等式等号成立的条件都是a＝b，这个大小关系常应用于不等式求最值、求参数或恒成立问题的求解．要根据题目需要选择合适的形式． 训练　(多选)设a>0，b>0，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A．ab的最大值为 B．a2＋b2的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 解析：ABC　法一：对于A，因为a>0，b>0，a＋b＝1，则ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确； 对于B，因为2≤，故a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，即a2＋b2的最小值为，故B正确； 对于C，＝(a＋b)＝5＋＝9，当且仅当且a＋b＝1，即b＝时等号成立，所以的最小值为9，故C正确； 对于D，2＝1＋2＝2，故，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以的最大值为，故D错误．故选A、B、C. 法二：对于A，由，故ab≤， 当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确； 对于B，由≤ ，故 ， 即a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B正确； 对于C，＝(a＋b) ＝5＋＝9， 当且仅当a＝时等号成立，故C正确； 对于D，由≤ 得 ≤ ，即， 当且仅当a＝b＝时等号成立，故D不正确． 限时规范训练　基本不等式 (建议用时：45分钟　分值：83分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．已知a>0，b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A．　 B．4　 C．　 D．2 解析：D　由题意得4＝2a＋b≥2， 即2≥ ，两边平方得4≥2ab， ∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立， ∴ab的最大值为2. 2．已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为(　　) A．36 B．25 C．16 D．9 解析：B　法一：由x＋y＝7，得(x＋1)＋(y＋2)＝10，则(1＋x)(2＋y)≤＝25，当且仅当1＋x＝2＋y，即x＝4，y＝3时等号成立，所以(1＋x)·(2＋y)的最大值为25.故选B. 法二：因为x＋y＝7，所以y＝7－x，因为x>0，y>0，所以0<x<7，则(1＋x)(2＋y)＝(1＋x)(9－x)＝－x2＋8x＋9＝－(x－4)2＋25≤25，所以当x＝4，y＝3时，(1＋x)(2＋y)取得最大值25.故选B. 3．已知x>2，y＝4x＋，则y的最小值为(　　) A．8 B．10 C．12 D．14 解析：C　∵x>2，∴y＝4x＋＝4(x－2)＋＋8＝12，当且仅当4(x－2)＝，即x＝时等号成立．故选C. 4．(2025·河南开封模拟)若log2a＋log2b＝3，则a＋b的最小值为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 解析：B　因为log2a＋log2b＝log2ab＝3，所以ab＝8且a>0，b>0，所以a＋b≥2且仅当a＝b＝2时，等号成立，故a＋b的最小值为4.故选B. 5．(2025·山东聊城期中)已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，则3x＋9y的最小值为(　　) A．2 B．3 C．3 D．2 解析：A　因为x>0，y>0，且x＋2y＝1，所以3x＋9y≥2，当且仅当即时等号成立，所以3x＋9y的最小值为2.故选A. 6．(2025·河南部分重点中学质量检测)已知a>0，b>0，则a＋2b＋的最小值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：D　由于a>0，b>0，所以a＋2b＋1>0，由a＋2b＋＝(a＋2b＋1)＋－1＝3， 当且仅当a＋2b＝1时等号成立，可得a＋2b＋的最小值为3. 7．(2025·甘肃武威阶段考)若a>0，b>0，且a＋2b＝ab，则2a＋b的最小值为(　　) A．6 B．9 C．4 D．8 解析：B　法一：由a＋2b＝ab得b＝，因为a>0，b>0，所以a>2，2a＋b＝2a＋＝2(a－2)＋＋5＝9，当且仅当a－2＝，即a＝b＝3时，等号成立，所以2a＋b的最小值为9. 法二：因为a>0，b>0，且a＋2b＝ab，所以＝1， 因为2a＋b＝(2a＋b)＝5＋＝9，当且仅当，即a＝b＝3时，等号成立，所以2a＋b的最小值为9.故选B. 8．(2025·江西南昌部分学校联考)若－1<a<2，则的最小值是(　　) A．9 B．6 C．3 D．1 解析：C　因为－1<a<2，所以a＋1>0，2－a>0，(1＋a)＋(2－a)＝3，所以(1＋a＋2－a)＝＝3，当且仅当，即a＝0时等号成立，所以的最小值是3.故选C. 9．(多选)(2025·广东深圳质量监测)下列命题中是真命题的有(　　) A．∀x>0，x＋≥2 B．∃x<0，x＋>－2 C．∀x>0， D．∃x<0， 解析：AD　对于A，利用基本不等式可得∀x>0，x＋＝2， 当且仅当x＝1时，等号成立，故A正确； 对于B，对于∀x<0，－x>0，x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，故命题∃x<0，x＋>－2为假命题，故B错误； 对于C，易知对于∀x>0，，当且仅当x＝1时，等号成立，故C错误； 对于D，易知当x＝－1时，，即∃x<0，，故D正确． 10．(多选)(2025·安徽名校联考)已知实数a，b满足a>b>0且a＋b＝2，则下列结论中正确的有(　　) A．a2＋b2>2 B．≥9 C．ln a＋ln b>0 D．a＋>b＋ 解析：AB　对于A，因为a>b>0且a＋b＝2，由基本不等式a2＋b2>2ab，得a2＋b2＝>(a2＋b2＋2ab)＝(a＋b)2＝2(或由不等式>2直接得到)，故A正确； 对于B，(a＋b)＝＝9，当且仅当，即a＝时等号成立，故B正确； 对于C，ln a＋ln b＝ln (ab)<ln 2＝ln 1＝0，故C错误； 对于D，因为ab<2＝1，所以0<ab<1，所以－＝(a－b)＋＝(a－b)＝<0，故D错误．故选A、B. 11．(多选)(2025·重庆调研)已知x>0，y>0，且x＋y＋xy－3＝0，则下列结论正确的是(　　) A．xy的取值范围是(0，9] B．x＋y的取值范围是[2，3) C．x＋2y的最小值是4－3 D．x＋4y的最小值是3 解析：BC　对于A，因为x>0，y>0，x＋y＋xy－3＝0，所以3－xy＝x＋y≥2，所以0< ≤1，即0<xy≤1，当且仅当x＝y时等号成立，故A不正确． 对于B，由x＋y＋xy－3＝0，得3－(x＋y)＝xy≤2，当且仅当x＝y时取等号，即(x＋y)2＋4(x＋y)－12≥0，结合x>0，y>0，得x＋y≥2.又3－(x＋y)＝xy>0，所以x＋y<3，即2≤x＋y<3，故B正确． 对于C，由x＋y＋xy－3＝0，得x＝，所以x＋2y＝－1＋＋2(y＋1)－3≥ －3，当且仅当＝2(y＋1)，即y＝－1时等号成立，故C正确． 对于D，由C选项知x＝－1＋，则x＋4y＝－1＋＋4(y＋1)－5≥＝3，当且仅当＝4(y＋1)，即y＝0或y＝－2时等号成立，而y>0，故不能取等号，所以x＋4y>3，故D不正确．综上所述，选B、C. 12．已知正数x，y满足x＋＝2，则的最小值是________． 解析：因为x，y为正数，由基本不等式可得2＝x＋，所以， 当且仅当即当x＝4y＝1时，等号成立，故的最小值为. 答案： 13．函数y＝(x>－1)的最小值为________． 解析：因为y＝－2(x>－1)， 所以y≥2－2＝0， 当且仅当x＝0时，等号成立． 所以y＝(x>－1)的最小值为0. 答案：0 14．(2025·河北张家口期中)已知a>0，b>0，且有a2＋4ab＝，则a＋2b的最小值为________． 解析：(a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2＝＝16，当且仅当＝4b2，即b＝时等号成立，由于a>0，b>0，所以a＋2b≥4，所以a＋2b的最小值为4. 答案：4 B级　能力提升练 15．(2025·安徽宣城期末)已知x＋y＝1，且x>0，y>0，则的最小值是(　　) A．　 B．　 C．1　 D． 解析：B　由x＋y＝1得＝1，于是＝＝， 又x>0，y>0，所以>0，>0， 因此，当且仅当，即时等号成立．故的最小值为. 16．若ab>0，则下列不等式不一定成立的是(　　) A．a2＋b2≥2ab B．a2＋b2≥－2ab C．≥ D．≥2 解析：C　由重要不等式可得，a2＋b2≥2|ab|≥±2ab，故A，B选项中的不等式均一定能成立．当a<0，b<0时，<0<，故C选项中的不等式不一定成立．当ab>0时，则>0，>0，由基本不等式，得＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，故D选项中的不等式一定能成立．故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $