第一章 第3讲 等式性质与不等式性质（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习资料围绕等式性质与不等式性质核心考点，依据课标要求构建知识体系，梳理等式基本性质、不等式性质及比较大小方法的内在逻辑。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破性质应用难点，形成系统复习路径。 资料采用分层练习设计和典例驱动策略，如在比较大小专题中，通过作差法引导学生用数学眼光观察数量关系，结合反思感悟总结解题通法，培养数学思维。设置基础落实与能力提升分层训练，配合真题变式，保障复习效果，助力教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

第3讲　等式性质与不等式性质 ◆课标要求 1．掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 1．等式的基本性质 性质(1)　如果a＝b，那么b＝a； 性质(2)　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质(3)　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质(4)　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质(5)　如果a＝b，c≠0，那么． 2．两个实数比较大小的基本事实 3．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<； (2)a<0<b⇒<； (3)a>b>0，0<c<d⇒>. 2．有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)； (2)>；<(b－m>0)． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　) (2)a＝b⇔ac＝bc.(　　) (3)若>1，则a>b.(　　) (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b>0，则a2>b2 C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a<b<0，则> 解析：ABD　C项中，若a＝－2，b＝－1，则a2>ab>b2，故C错误；其余都正确． 3．设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________． 解析：M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0.故M>N. 答案：M>N 4．已知2<a<3，－2<b<－1，则2a－b的取值范围是________. 解析：由2<a<3，－2<b<－1得4<2a<6，1<－b<2，两式相加得5<2a－b<8. 答案：(5，8) 　比较两个数(式)的大小 例1　(1)(2025·广东韶关质量检测)若a＝，则(　　) A．a>c>b　　　　　 B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a 解析：A　因为a－c＝>0，所以a>c. c－b＝， 因为2－2＝4>0， 且2>0，2>0，所以2>所以c－b>0，所以c>b.综上知，a>c>b.故选A. (2)P＝a2＋a＋1，Q＝(a∈R)，则P，Q的大小关系为________． 解析：因为P＝a2＋a＋1＝2＋>0，a2－a＋1＝2＋>0，则Q>0. 由＝(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋a2＋1≥1，所以P≥Q. 答案：P≥Q 反思感悟　比较两个数(式)大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 跟踪训练1　(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为(　　) A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 解析：A　因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b， 所以(a－b)2>0，即M>N. (2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________． 解析：＝π－e， 又0<<1，0<π－e<1， 所以π－e<1，即<1， 即eπ·πe<ee·ππ. 答案：eπ·πe<ee·ππ 　不等式的基本性质 例2　(1)已知a，b，c为实数，则下列结论正确的是(　　) A．若>，则a>b B．若a>b，则ac2>bc2 C．若<，则ac<bc D．若a<b，则a2<b2 解析：C　对于A，若>，当c<0时，根据不等式的性质得a<b，故A错误；对于B，若a>b，则当c＝0时，ac2＝bc2，所以ac2>bc2不成立，故B错误；对于C，若<，则c≠0，又c2>0，不等式两边同时乘c2，得ac<bc，故C正确；对于D，若a<b<0，则a2>b2，故D错误． (2)(多选)(2025·河北邢台模拟)已知实数a，b，c满足0<a<b<c，则(　　) A．> B．lg >0 C．> D．> 解析：BCD　因为0<a<b<c，所以c－a>b－a>0，则<，故A错误；又>1，所以lg >0，故B正确；因为0<a<b<c，所以0<a(c－a)<b(c－a)，则>，故C正确；因为>0，所以>，故D正确．故选B、C、D. 反思感悟　判断不等式是否成立的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性判断． 跟踪训练2　(1)(多选)(人教A版必修第一册P42练习第2题变式)下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b，则a2>b2 B．若a<b<0，则a2>ab>b2 C．若a>b，c>d，则a－d>b－c D．若a>b，则< 解析：BC　对于A，若a>b，则a2>b2不一定成立，如当a＝2，b＝－3时，满足a>b，但此时a2<b2，故A错误；对于B，若a<b<0，则a－b<0，故a2－ab＝a(a－b)>0，ab－b2＝b(a－b)>0，所以a2>ab>b2，故B正确；对于C，由c>d得－d>－c，又a>b，所以a－d>b－c，故C正确；对于D，由a>b无法确定a，b的正负情况，所以的正负情况无法确定，故与的大小关系无法确定，故D错误．故选B、C. (2)(多选)(人教A版必修第一册P43习题2.1第8题变式)已知b>a>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．b2>a2 B．ab>a2 C．－<－ D．－1>0 解析：ABD　因为b>a>0，所以b2>a2，ab>a·a＝a2，A、B正确；由b>a>0可知<，两边同乘以－1，得－>－，C错误；由b>a>0，得>1，则－1>0，D正确．故选A、B、D. 　不等式性质的应用 例3　(2025·陕西西安模拟)已知－1<a<5，－3<b<1，则以下结论错误的是(　　) A．－15<ab<5 B．－4<a＋b<6 C．－2<a－b<8 D．当b≠0时，－<<5 解析：D　由题知－1<a<5，因为－3<b<1，所以－1<－b<3， 对于A，若则－15<ab<3，若则ab＝0，若则－1<ab<5，综上可得－15<ab<5，故A正确；对于B，－4＝－3－1<a＋b<1＋5＝6，故B正确；对于C，－2＝－1－1<a－b<3＋5＝8，故C正确；对于D，当a＝4，b＝时，＝8，故D错误．故选D. 反思感悟　(1)利用不等式性质求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． (2)解题时应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围． 跟踪训练3　(1)已知6<a<60，15<b<18，则下列结论正确的是(　　) A．<< B．21<a＋2b<78 C．－12<a－b<45 D．<<5 解析：C　∵15<b<18，∴<<，又6<a<60，∴<<4，∴A错误；∵6<a<60，15<b<18，∴36<a＋2b<96，∴B错误；∵15<b<18，∴－18<－b<－15，又6<a<60，∴－12<a－b<45，∴C正确；∵＋1，由A选项知，<<4，∴<<5，D错误．故选C. (2)已知(x－1)2＞4，则的取值范围是________． 解析：因为(x－1)2＞4，所以x－1＞2或x－1＜－2，即x＞3或x＜－1.当x＞3时，0＜＜，所以∈；当x＜－1时，－1＜＜0，所以∈(1，2)． 故的取值范围是(1，2)∪. 答案：(1，2)∪ 典例　(2024·九省联考)以max M表示数集M中最大的数．设0<a<b<c<1，已知b≥2a或a＋b≤1，则max{b－a，c－b，1－c}的最小值为________． 解析：设那么 ①若b≥2a，则1－y－z≥2(1－x－y－z)， 从而2x＋y＋z≥1， 记m＝max{b－a，c－b，1－c}，从而 所以4m≥2x＋y＋z≥1，解得m≥. ②若a＋b≤1，则1－x－y－z＋1－y－z≤1， 从而x＋2y＋2z≥1， 记m＝max{b－a，c－b，1－c}，从而 所以5m≥x＋2y＋2z≥1，解得m≥. 综上，m≥，即max{b－a，c－b，1－c}的最小值为. 答案： 风向解读　本题注重对思维品质的考查，由于目标函数变量较多，采用换元法令使命题简洁易懂，原命题等价于求M＝max{x，y，z}的最小值．依据约束条件，分为两个子命题探究，突显了新高考改革的命题特点和趋势． 限时规范训练　等式性质与不等式性质 (建议用时：45分钟　分值：83分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．已知a>0，b>0，M＝，则M与N的大小关系为(　　) A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定 解析：B　M2－N2＝(a＋b)－＝－2<0，∴M<N. 2．已知a，b为非零实数，且a>b，则下列结论正确的是(　　) A．a2>b2　　　　　 B．> C．> D．> 解析：D　对于A，若0>a>b，则a2<b2，故A错误；对于B，若a>b>0，则<，故B错误；对于C，若a>b>0，则ab>0，a2>b2，不等式两边同时除以ab，得>，故C错误；对于D，a>b且a，b为非零实数，则>0，即>，故D正确． 3．(2025·河南安阳期中)若a>b>0>c，则(　　) A．(a－b)c>0 B．> C．a－b>a－c D．< 解析：B　对于A，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，则(a－b)c＝－1<0，故A错误；对于B，由a>b>0得<，又c<0，所以>，故B正确；对于C，当a＝2，b＝1，c＝－1时，a－b＝1，a－c＝3，故C错误；对于D，当b＋c＝0时，没有意义，故D错误．故选B. 4．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是(　　) A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2π C．－2π<α－β<0 D．{0} 解析：C　∵－π<β<π，∴－π<－β<π， 又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π， 又α<β，∴α－β<0， ∴－2π<α－β<0. 5．(2025·江苏扬州高邮调研)设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是(　　) A．ac2>bc2 B．> C．a2>ab>b2 D．> 解析：C　A选项，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，A错误；B选项，，因为a>b>0，所以b－a<0，则<0，故<，B错误；C选项，a>b>0，对a>b两边同乘以a得a2>ab，对a>b两边同乘以b得ab>b2，故a2>ab>b2，C正确；D选项，因为a>b>0，所以ab>0，对a>b两边同除以ab得>，D错误．故选C. 6．已知a，b，c∈R，且满足a－b＝x2＋y2－x＋1，a－2b＋c＝x＋2y－2，则(　　) A．b>c>a B．c>b>a C．c>a>b D．a>b>c 解析：D　因为a－b＝x2＋y2－x＋1＝2＋y2＋>0，所以a>b， 由a－b＝x2＋y2－x＋1，　① a－2b＋c＝x＋2y－2，　② ①－②得b－c＝x2－2x＋y2－2y＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0，所以b>c，故a>b>c. 7．已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为(　　) A．(1，3) B． C． D． 解析：A　因为－3<a<－2，所以a2∈(4，9)， 而3<b<4，即<<， 故的取值范围为(1，3)． 8．若c>b>a>0，则(　　) A．abbc>acbb B．2ln b<ln a＋ln c C．a－>b－ D．logac>logbc 解析：A　对于A，由于＝ab－cbc－b＝b－c>1，所以abbc>acbb成立，故A正确； 对于B，2ln b＝ln b2，ln a＋ln c＝ln ac，b2与ac大小不能确定，故B错误； 对于C，由于a－－＝(a－b)<0，故C错误；对于D，令c＝1，则logac＝logbc＝0，故D错误． 9．(多选)如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列结论一定正确的是(　　) A．ab＞ac B．cb2＜ab2 C．c(b－a)＞0 D．ac(a－c)＜0 解析：ACD　由c＜b＜a，且ac＜0，得a＞0，c＜0.对于A，由c＜b，a＞0得ac＜ab，故A正确．对于B，取c＝－1，b＝0，a＝1，显然B不一定正确．对于C，b－a＜0，c＜0，故c(b－a)＞0，故C正确．对于D，ac＜0，a－c＞0，故ac(a－c)＜0，故D正确．故选A、C、D. 10．(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是(　　) A．a2>b2＋1 B．2a>2b+1 C．a2>4b D．>b＋1 解析：ABC　对于非零实数a，b满足a>|b|＋1，则a2>(|b|＋1)2， 即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立； 因为a>|b|＋1≥b＋1⇒2a>2b+1，故B一定成立； 又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|， 结合a2＞b2＋2|b|＋1， 所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立； 令a＝5，b＝3，满足a>|b|＋1， 此时＝<b＋1＝4，故D不一定成立． 11．(多选)(2025·江苏南通部分学校联考)已知b g糖水中含有a g糖(其中b>a>0)，若再添加m(m>0)g糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了．根据这个事实，下列不等式一定成立的有(　　) A．< B．< C．(a＋2m)(b＋m)<(a＋m)(b＋2m) D．若b>1，则< 解析：ABD　对于A，由题意可知<，A正确；对于B，易知m<2m，所以<，B正确；对于C，<，即(a＋m)(b＋2m)<(a＋2m)(b＋m)，C错误；对于D，若b>1，则3b－1>2，则<<，D正确．故选A、B、D. 12．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a2>b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________． 解析：令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2>b2>c2，此时a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命题． 答案：－3，－1，0(答案不唯一) 13．若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________． 解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4， 又1<α<3，∴2<2α<6，∴2<2α＋|β|<10. 答案：(2，10) 14．若P＝(a≥0)，则P，Q的大小关系为________．(用“<”“≤”或“＝”连接) 解析：依题意可知，P>0，Q>0，a≥0， P2＝2a＋7＋2所以P2<Q2，所以P<Q. 答案：P<Q B级　能力提升练 15．已知a－b∈[5，27]，a＋b∈[6，30]，则7a－5b的取值范围是(　　) A．[－24，192] B．[－24，252] C．[36，252] D．[36，192] 解析：D　设7a－5b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b， 所以解得 所以7a－5b＝6(a－b)＋(a＋b)． 又a－b∈[5，27]，a＋b∈[6，30]，所以7a－5b＝6(a－b)＋(a＋b)∈[36，192].故选D. 16．如果x<0，0<y<1，那么的大小关系是________． 解析：法一：因为三个式子的值很明显都是负数，且＝y∈(0，1)，所以>； 同理＝y∈(0，1)，所以>. 综上，<<. 法二：因为>0，所以>；因为>0，所以>，所以>>. 答案：>> 学科网（北京）股份有限公司 $