第一章 第2讲 常用逻辑用语（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

第2讲　常用逻辑用语 ◆课标要求 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.　　 1．充分条件与必要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qD⇏p p是q的必要不充分条件 pD⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pD⇏q且qD⇏p 　充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． ①若p是q的充分条件，则A⊆B； ②若p是q的充分不必要条件，则AB； ③若p是q的必要不充分条件，则BA； ④若p是q的充要条件，则A＝B. 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 意义 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 1．A是B的充分不必要条件⇔¬B是¬A的充分不必要条件． 2．命题p与p的否定的真假性相反． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题．(　　) (2)存在x∈R，x2－x＋1≤0.(　　) (3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　　) (4)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　) 答案：(1)×　(2)× 　(3)√　(4)√ 2．命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不一定成立． 3．命题“有一个偶数是素数”的否定是________． 答案：任意一个偶数都不是素数 4．使－2＜x＜2成立的一个充分条件是________．(答案不唯一，写出一个即可) 解析：只要是{x|－2＜x＜2}的一个子集都是使－2＜x＜2成立的充分条件，如－2＜x＜2，或0＜x＜2等． 答案：0＜x＜2(答案不唯一) 　充分条件与必要条件的判断 例1　(1)(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件．故选C. (2)已知p：∀x∈R，mx2－2mx＋1>0，q：指数函数f(x)＝mx(m>0，且m≠1)为减函数，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　当m＝0时，1>0成立； 当m≠0时，可得解得0<m<1. 由p得出P＝{m|0≤m<1}，由q得出Q＝{m|0<m<1}，QP，故p是q的必要不充分条件． (3)(多选)(2025·广东湛江联考)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　) A．a＝－1　　　　　　 B．a＝b C．b＝1 D．ab＝1 解析：AC　由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1.故选A、C. 反思感悟　充分、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． 跟踪训练1　(1)已知x，y∈R，则“x>0”是“|x|＋|y|>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　当x>0时，可知|x|>0，结合|y|≥0可得|x|＋|y|>0，充分性成立；当|x|＋|y|>0时，可能x＝－1，y∈R，不能得出x>0，必要性不成立．因此“x>0”是“|x|＋|y|>0”的充分不必要条件． (2)数学中有一类数字被称为水仙花数，水仙花数是指一个三位数，它的每一个数字的3次幂之和等于它本身，例如：33＋73＋03＝370.设集合U＝{153，155，212，371}，A＝{x|x是水仙花数，x∈U}，B＝{x|x＝3k，x∈U，k∈Z}，则“x∈A”是“x∈B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　因为153＝13＋53＋33，371＝33＋73＋13，则集合A＝{153，371}，而集合B＝{153}，故“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件． 　充分条件与必要条件的应用 例2　(2024·四川甘孜州一模)设p：log2(x－1)<m，q：>1.若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] 解析：A　由log2(x－1)<m，得0<x－1<2m，即1<x<2m＋1. 由>1，得0<x<2. 若p是q的充分不必要条件，则2m＋1≤2，解得m≤0.故选A. 反思感悟　根据充分条件与必要条件求参数取值范围的注意点： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 跟踪训练2　若“x2－5x＋4<0”是“a－1<x<a＋1”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|2<a<3} B．{a|2≤a≤3} C．{a|－2<a≤3} D．{a|－2≤a≤3} 解析：B　由x2－5x＋4<0，解得1<x<4. 因为“x2－5x＋4<0”是“a－1<x<a＋1”的必要不充分条件， 所以(a－1，a＋1)是(1，4)的真子集， 所以(等号不同时成立) 解得2≤a≤3. 经验证，端点值满足条件，故实数a的取值范围为{a|2≤a≤3}． 　全称量词与存在量词 考向1　含量词命题的否定及真假判断 例3　(1)(2025·湖南邵阳第一次联考)命题“∃x∈R，x2－4x＋6<0”的否定为(　　) A．∃x∈R，x2－4x＋6>0 B．∃x∈R，x2－4x＋6≤0 C．∀x∈R，x2－4x＋6<0 D．∀x∈R，x2－4x＋6≥0 解析：D　“∃x∈R，x2－4x＋6<0”的否定为“∀x∈R，x2－4x＋6≥0”．故选D. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 解析：B　通解：因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以¬p为真命题．因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题．故选B. 优解：在命题p中，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以命题p为假命题，¬p为真命题．在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题．故选B. 考向2　含量词命题的应用 例4　若命题“∃x∈[－1，3]，x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 解析：A　由题意，原命题可转化为∃x∈[－1，3]，a≥x2－2x，令h(x)＝x2－2x，x∈[－1，3]，则问题等价于a≥h(x)min， 易知函数h(x)＝x2－2x在[－1，1)上单调递减，在(1，3]上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝1－2＝－1，所以a≥－1. 所以实数a可取的最小整数值是－1.故选A. 反思感悟　含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． 跟踪训练3　(1)(2025·河南开封模拟)若命题p：∀x∈R，ex≥x＋1，则¬p是(　　) A．∀x∈R，ex≤x＋1 B．∀x∈R，ex＜x＋1 C．∃x∈R，ex≤x＋1 D．∃x∈R，ex＜x＋1 解析：D　∀x∈R，ex≥x＋1的否定是∃x∈R，ex＜x＋1.故选D. (2)若命题“∀x∈[a－1，a]，x>－a”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D． 解析：D　根据题意得a－1>－a，则有a>.故选D. (3)(2025·江西九江十校联考)下列命题的否定是真命题的为(　　) A．任意两个等边三角形都相似 B．∃x∈R，x2－x＋1＝0 C．存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直 D．∀x∈R，x＋|x|≥0 解析：B　对于A，任意两个等边三角形都相似是真命题，所以其否定是假命题，故A错误； 对于B，x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＜0，所以方程无解，所以该命题是假命题，其否定是真命题，故B正确； 对于C，存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直，是真命题，其否定是假命题，故C错误； 对于D，∀x∈R，x＋|x|≥0是真命题，其否定是假命题，故D错误． 限时规范训练　常用逻辑用语 (建议用时：45分钟　分值：88分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　) A．有些三角形不是等腰三角形 B．有些三角形可能是等腰三角形 C．所有三角形都不是等腰三角形 D．所有三角形是等腰三角形 解析：C　命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则¬p是“所有三角形都不是等腰三角形”． 2．(多选)关于命题p：“∃x∈N，6x2－7x＋2≤0”，下列说法正确的是(　　) A．该命题是全称量词命题，且为真命题 B．该命题是存在量词命题，且为假命题 C．¬p：∀x∈N，6x2－7x＋2>0 D．¬p：∀x∉N，6x2－7x＋2>0 解析：BC　命题p为存在量词命题，由6x2－7x＋2≤0，得，所以p为假命题．¬p：∀x∈N，6x2－7x＋2>0.故选B、C. 3．已知x∈R，则“x＜－1”是“x2＞1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　解不等式x2＞1，可得x＞1或x＜－1，则由充分必要条件的判定可知“x＜－1”是“x2＞1”的充分不必要条件．故选A. 4．若a，b∈R，则“a3＞b3”是“a2＞b2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：D　不妨取a＝－1，b＝－2，满足a3＞b3，但是a2＞b2不成立，所以由“a3＞b3”推不出“a2＞b2”，取a＝－2，b＝1，满足a2＞b2，但是a3＞b3不成立，所以由“a2＞b2”推不出“a3＞b3”．所以“a3＞b3”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．故选D. 5．不等式2x2－5x－3＜0成立的一个必要不充分条件是(　　) A．－3＜x＜　　　　　　 B．－＜x＜3 C．－1＜x＜3 D．＜x＜3 解析：C　由2x2－5x－3＜0，解得－＜x＜3， 观察四个选项可知是(－1，3)的真子集，故“－1＜x＜3”是“不等式2x2－5x－3＜0”成立的一个必要不充分条件．故选C. 6．祖暅原理“幂势既同，则积不容异”，说的是两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．设A，B为两个同高的几何体，现有p：A，B的体积相等；q：A，B在等高处的截面积恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　A，B为两个同高的几何体，由祖暅原理知若在等高处的截面积恒相等，则这两个几何体的体积相等，所以q⇒p； 取两个相同的圆台，一个正置，一个倒置，此时两个几何体同高且体积相等，但在等高处的截面积不恒相等，所以p⇒/ q．所以p是q的必要不充分条件．故选B. 7．命题“∀x∈(1，＋∞)，x2＋x>2”的否定是________． 答案：∃x∈(1，＋∞)，x2＋x≤2 8．(2025·辽宁沈阳质量监测)“sin x＝1”的一个充分不必要条件是________． 解析：当x＝时，sin x＝1，由sin x＝1可得x＝＋2kπ，k∈Z，故“sin x＝1”的一个充分不必要条件是“x＝”． 答案：x＝(答案不唯一) 9．已知“a≤x≤a2＋1”是“－2≤x≤5”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 解析：设A＝{x|a≤x≤a2＋1}，B＝[－2，5]. 依题设，AB， 则且等号不同时成立． 解得，－2<a≤2. 答案：(－2，2] 10．(13分)若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围． 解：若x>0，由＝1， 若x<0，由＝－1， 若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax， 则实数a的取值范围是{a|－1<a<1}． 11．(13分)已知集合P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．是否存在实数m，使得x∈P是x∈S的________条件？若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 请从如下三个条件中选择一个条件补充到上面的横线上，并作答． ①充分不必要；②必要不充分；③充要． 解：若选择①，即x∈P是x∈S的充分不必要条件，则1－m≤1＋m且(两个等号不同时成立)，解得m≥3， 故实数m的取值范围是{m|m≥3}． 若选择②，即x∈P是x∈S的必要不充分条件． 当S＝∅时，1－m>1＋m，解得m<0. 当S≠∅时，1－m≤1＋m且(两个等号不同时成立)，解得m＝0. 综上，实数m的取值范围是{m|m≤0}． 若选择③，即x∈P是x∈S的充要条件， 则P＝S，即此方程组无解， 所以不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件． B级　能力提升练 12．对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　令x＝1.8，y＝0.9，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y〉，可知充分性不成立．当〈x〉＝〈y〉时，设〈x〉＝x＋m，〈y〉＝y＋n，m，n∈[0，1)，则|x－y|＝|n－m|<1，可知必要性成立，所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件． 13．(多选)若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　) A．(－∞，－5) B．(－3，－1] C．(3，＋∞) D．[0，3] 解析：AB　∵∃x∈M，x>3为假命题， ∴∀x∈M，x≤3为真命题， 可得M⊆(－∞，3]， 又∀x∈M，|x|>x为真命题， 可得M⊆(－∞，0)，∴M⊆(－∞，0)．故选AB. 14．已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，0≤x≤2}，B＝{x|x＋m2≥2}，p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________________． 解析：由y＝x2－x＋1＝2＋， 0≤x≤2，得≤y≤2，∴A＝. 又由题意知A⊆B， ∴2－m2≤，∴m2≥. ∴m≥或m≤－. 答案：∪ 学科网（北京）股份有限公司 $