第10章 第64节 二项分布与超几何分布(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

第64节　二项分布与超几何分布 考试要求 考题分析 1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布. 2.理解两点分布和超几何分布的意义,并能进行简单的应用. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 T21 - 2024年 - - 【主干梳理　基础落实】 【知识梳理】 一、二项分布 1.伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 2.二项分布 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)= pk(1-p,k=0,1,2,…,n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p). 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p). (2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p). 二、超几何分布 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. [注意点] 超几何分布与二项分布的关系 　若将超几何分布的概率模型改成:若有N件产品,其中M件是次品,有放回地任意抽取n件,则其中恰有的次品件数X是服从二项分布的. 【常用结论】 1.当X~B(n,p)时,P(X=k)的最大值: 若(n+1)p是正整数,则k=(n+1)p或k=(n+1)p-1时,P(X=k)取得最大值; 若(n+1)p不是正整数,则k=[(n+1)p](不大于(n+1)p的最大整数)时,P(X=k)取得最大值. 2.超几何分布有时也记为X~H(n,M,N),其均值E(X)=,方差D(X)=(1-) (1-). 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3 1,4 2 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布. (　　) (2)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立. (　　) (3)超几何分布与二项分布的期望值相同. (　　) (4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中a=p,b=1-p. (　　) 【解析】(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2.一班级共有50个学生,其中女生有10个,现在学校开展志愿者活动,需要安排20个学生,现在根据学号随机从本班选取20个学生,选到的女生可能有X个,则E(X)= (　　)　　　　 　　　　　　　　　　 A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】选A.由题意,E(X)==4. 3.(选择性必修第三册P77·练习T2变式)接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施.根据试验数据,人在接种某种病毒疫苗后,有80%的可能不会感染这种病毒,若有4人接种了这种疫苗,则最多1人被感染的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.由题得最多1人被感染的概率为 )4+)1×()3==. 4.某市政道路两旁需要进行绿化,计划从甲、乙、丙三种树木中选择一种进行栽种,通过民意调查,赞成栽种乙树木的概率为.若从该地市民中随机选取4人进行访谈,则至少有3人建议栽种乙树木的概率为________.  【解析】设建议栽种乙树木的人数为随机变量X, 由题意可知X~B(4,), 所以至少有3人建议栽种乙树木的概率 P=)3·+)4=+=. 答案: 【考点探究　核心突破】 考点一　n重伯努利试验及其概率 【例1】(1)机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查,随机抽查的200个机械元件情况如表: 使用时 间/天 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60 个数 10 40 80 50 20 若以频率估计概率,现从该批次机械元件中随机抽取3个,则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为 (　　)　　　　 　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 【解析】选D.由题意可知,该批次每个机械元件使用寿命在30天以上的概率为,因此,从该批次机械元件中随机抽取3个,至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为P=×()2×+×()3=. 　(2)一袋中装有5个白球,3个红球,则从袋中往外取球,每次取出一个,记下球的颜色,然后放回,直到红球出现10次停止,用X表示取球的次数,则P(X=12)=_________________(填表达式).  【解析】一次取球取到红球的概率为,取到白球的概率为,前11次取球是11次独立重复试验,“取到红球”的事件发生9次,其概率是×()9×()2.第12次取到红球的概率是,由相互独立事件同时发生的概率乘法公式,得P(X=12)=×()9×()2×=×()2×()10. 答案:×()2×()10 思维升华 n重伯努利试验概率求解的策略 　(1)先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验,判断时注意各次试验之间是否相互独立,并且每次试验的结果是否只有两种,在任何一次试验中,某一事件发生的概率是否都相等,全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解. (2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式. 对点训练 　(2023·衡水模拟)一个口袋内有n个大小相同的球,其中3个红球和个白球,已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p,6p∈N,若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球),在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于,则n=___________.  【解析】因为4次取球中恰好2次取到红球的概率大于,所以p2>,所以p2>,因为p>0,所以p>, 所以<p<,所以2<6p<4,又因为6p∈N,所以6p=3,所以p=.又因为从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p=,所以=,解得n=6. 答案:6 考点二　二项分布 角度1　二项分布的性质 【例2】(1)已知随机变量ξ~B(12,p),且E(2ξ-3)=5,则D(3ξ)= (　　) A. B.8 C.12 D.24 【解析】选D.因为E(2ξ-3)=2E(ξ)-3=2×12p-3=5,所以p=,故D(3ξ)=32D(ξ)=9×12××(1-)=24. 　(2)在一次国际大型体育运动会上,某运动员报名参加了其中3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中,每个项目能打破世界纪录的概率都是,那么在本次运动会上, ①求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率; ②若该运动员能打破世界纪录的项目数为X,求X的分布列及均值. 【解析】①依题意知,该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件,并且每个事件发生的概率相同.设“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件A,则有P(A)=)2(1-)+)3=. ②由①可知X~B(3,), 则P(X=0)=(1-)3=, P(X=1)=(1-)2=, P(X=2)=)2(1-)=, P(X=3)=)3=,所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以均值E(X)=3×=2. 思维升华 二项分布问题的解题关键 定型 ①在每一次试验中,事件发生的概率相同. ②各次试验中的事件是相互独立的. ③在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生. 定参 确定二项分布中的两个参数n和p,即试验发生的次数和试验中事件发生的概率. [提醒]下列问题能转化为二项分布. (1)条件不变,重复进行试验,一般取球后再放回; (2)该地区人数多或不知总体,从中抽取几个; (3)某产品服从正态分布,若干个产品服从二项分布; (4)用频率表示概率,有时转化为二项分布. 对点训练 1.(2024·长沙模拟)若X~B(100,),则当k=0,1,2,…,100时 (　　) A.P(X=k)≤P(X=50) B.P(X=k)≤P(X=32) C.P(X=k)≤P(X=33) D.P(X=k)≤P(X=49) 【解析】选C.由题意,得 即化简得≤k≤,因为k为整数,可得k=33,所以P(X=k)≤P(X=33). 2.(2025·兰州模拟)某地区教研部门开展高三教师座谈会,每名教师被抽到发言的概率均为p,且是否被抽到发言相互独立,已知某校共有8名教师参加座谈会,记X为该校教师中被抽到发言的人数,若D(X)=,且E(X)>4,则E(X)=________.  【解析】由题意得,每名教师被抽到发言的概率均为p,且是否被抽到发言相互独立, 所以随机变量X~B(8,p), 因为D(X)=,所以8p(1-p)=, 解得p=或p=, 又因为E(X)>4,所以E(X)=8p>4,所以p=, 所以E(X)=8×=. 答案: 角度2　二项分布的期望 【例3】(2024·厦门模拟)西梅以“梅”为名,实际上不是梅子,而是李子,其中文正规名叫“欧洲李”.每批西梅进入市场之前,都会对其进行检测,现随机抽取了10箱西梅,其中有4箱测定为一等品. (1)现从这10箱西梅中任取3箱,求恰好有1箱是一等品的概率; (2)以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况,若从这一批西梅中随机抽取3箱,记X为抽到一等品的箱数,求X的分布列和期望. 【解析】(1)设“抽取的3箱西梅中恰好有1箱是一等品”为事件A1,则P(A1)==,因此,从这10箱西梅中任取3箱,恰好有1箱是一等品的概率为. (2)由题意可知,从这10箱西梅中随机抽取1箱,恰好是一等品的概率为=,由题可知X的所有可能取值为0,1,2,3,X~B(3,),所以P(X=0)=××=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=××=,所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=0×+1×+2×+3×=(或E(X)=3×=). 思维升华 二项分布满足的条件 (1)在每次试验中,事件发生的概率都是相同的(题目中有“将频率视为概率”时,事件发生的概率就是相同的); (2)各次试验中的事件是相互独立的; (3)每次试验只有两种结果; (4)随机变量是n重伯努利试验中事件发生的次数. 对点训练 　(2024·常德模拟)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件,其中有A,B,C三款软件投入使用,经一学年使用后,团队调查了这个专业大一四个班的使用情况,从各班抽取的样本人数如表: 班级 一 二 三 四 人数 3 2 3 4 (1)从这12人中随机抽取2人,求这2人恰好来自同一班级的概率; (2)从这12名学生中,指定甲、乙、丙三人为代表,已知他们下午自习时间每人选择一款软件,其中选A,B两款软件学习的概率都是,且他们选择A,B,C任一款软件都是相互独立的,设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望. 【解析】(1)从这12人中随机抽取2人,共有=66种可能情况, 记“这2人恰好来自同一班级”为事件A,则事件A包含的可能情况有+++=3+1+3+6=13(种),所以P(A)=. (2)由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3,因为选A,B两款软件学习的概率都是,且他们选择A,B,C任一款软件都是相互独立的,所以他们选择C款软件学习的概率是1--=,所以ξ~B(3,), 所以P(ξ=0)=)0()3=, P(ξ=1)=)1()2==, P(ξ=2)=)2()1==,P(ξ=3)= )3()0=,所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)=3×=2. 【加练备选】 　某工厂车间有6台相同型号的机器,各台机器相互独立工作,工作时发生故障的概率都是,且一台机器的故障能由一个维修工处理.已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工,现有两种配备方案,方案一:由甲、乙、丙三人维护,每人负责2台机器;方案二:由甲、乙两人共同维护6台机器. (1)对于方案一,设X为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数,求X的分布列与均值E(X); (2)在两种方案下,分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率,并以此为依据来判断哪种方案能使工厂的生产效率更高. 【解析】(1)由题意可知,X~B(2,), 则P(X=0)=()2=,P(X=1)=××=,P(X=2)=()2=, 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)=2×=. (2)对于方案一:“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中,至少有一人负责的2台机器同时发生故障”. 其概率为P1=1-[1-P(X=2)]3=1-(1-)3=. 对于方案二:机器发生故障时不能及时维修的概率为P2=1-()6-·×()5-·()2×()4=1-=,所以P2<P1,即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修,使得工厂的生产效率更高. 考点三　超几何分布 【例4】如图,某城市有南、北两条城市主干道,在出行高峰期,北干道有N1,N2,N3,N4四个交通易堵塞路段,它们被堵塞的概率都是,南干道有S1,S2两个交通易堵塞路段,它们被堵塞的概率分别为,.某人在高峰期驾车从城西开往城东,假设以上各路段是否被堵塞互不影响. (1)求北干道的N1,N2,N3,N4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率; (2)若南干道被堵塞路段的个数为X,求X的分布列及数学期望E(X); (3)若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准,则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条?请说明理由. 【解析】(1)记北干道的N1,N2,N3,N4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞为事件A,则P(A)=1-=1-=. (2)由题意可知X的可能取值为0,1,2, P(X=0)= (1-)×(1-)=, P(X=1)=×(1-)+(1-)×=, P(X=2)=×=, 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=. (3)设北干道被堵塞路段的个数为Y, 则Y~B(4,),所以E(Y)=4×=,因为E(X)<E(Y),所以高峰期选择南干道较好. 思维升华 决策问题的解题策略 　(1)在实际问题中,已知两个随机变量ξ1,ξ2,当E(ξ1)=E(ξ2)或E(ξ1)与E(ξ2)较为接近时,就需要用D(ξ1)与D(ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度. (2)一般地,将期望最大(或最小)的方案作为最优方案,若各方案的期望相同,则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案. 对点训练 　为宣传航空知识,某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目作答.假设在8道备选题中,小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响,小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成. (1)求小明至少正确完成其中3道题的概率; (2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数,求X的分布列及数学期望; (3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛,请你根据所学概率知识,判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好,并说明理由. 【解析】(1)记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A,则P(A)=)3×+)4=. (2)X的可能取值为2,3,4. P(X=2)===, P(X=3)===, P(X=4)===, X的分布列为 X 2 3 4 P 数学期望E(X)=2×+3×+4×=3. (3)由(1)知,小明进入决赛的概率为P(A)=,记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B,则P(B)=+=.因为P(B)>P(A),故小宇进决赛的可能性更大,所以应选择小宇去参加市级比赛. 【加练备选】 　(一题多法)某地区拟建立一个艺术博物馆,采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司,经过层层筛选,甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题,已知这6个招标问题中,甲公司可正确回答其中4道题目,而乙公司能正确回答每道题目的概率均为,甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立、互不影响的. (1)求甲、乙两家公司共答对2道题的概率; (2)设甲公司答对题数为随机变量X,求X的分布列、数学期望和方差; (3)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 【解析】(1)设事件A为“甲、乙两家公司共答对2道题”,由题意可知,所求概率P(A)=× )1(1-)2+×(1-)3=. (2)X的可能取值为1,2,3,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==, 则X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)=1×+2×+3×=2, D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=. (3)法一:设乙公司答对题数为Y,则Y的可能取值为0,1,2,3. P(Y=0)=()3=, P(Y=1)=××()2=, P(Y=2)=×()2×=, P(Y=3)=()3=, 则Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 所以E(Y)=0×+1×+2×+3×=2, D(Y)=(0-2)2×+(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=, 所以E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), 所以甲公司竞标成功的可能性更大. 法二:由题知:Y~B(3,), 所以E(Y)=3×=2,D(Y)=3××=, 所以E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), 所以甲公司竞标成功的可能性更大. - 15 - 学科网（北京）股份有限公司 $