新定义4 以概率知识为背景的新定义解答题(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

新定义4 以概率知识为背景的新定义解答题 【题型解读】 与概率、统计有关的新定义问题主要有两个类型:(1)以高等数学知识为背景的问题;(2)概率、统计方法的新定义问题.解概率与统计下的新定义问题,就是要细读定义关键词,理解本质特征,适时转化为“熟悉”问题. 类型一　概率、统计方法的新定义问题 【例1】条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来,随着人们对随机现象的不断观察和研究,条件概率和条件期望已经被广泛地运用到日常生产生活中.定义:设X,Y是离散型随机变量,则X在给定事件Y=y条件下的期望为E(X|Y=y)=xi·P(X=xi|Y=y)=xi·,其中{x1,x2,…,xn}为X的所有可能取值集合,P(X=x,Y=y)表示事件“X=x”与事件“Y=y”都发生的概率.某射击手进行射击训练,每次射击击中目标的概率均为p(0<p<1),射击进行到击中目标两次时停止.设ξ表示第一次击中目标时的射击次数,η表示第二次击中目标时的射击次数. (1)求P(ξ=2,η=5),P(η=5); (2)求E(ξ|η=5),E(ξ|η=n)(n≥2). 【解析】(1)由题设,P(ξ=2,η=5)=(1-p)·p·(1-p)·(1-p)·p=(1-p)3p2, P(η=5)=(1-p)3p2=4(1-p)3p2. (2)由题设,E(ξ|η=5)=[xi×]1×+2×+3×+4×=+++1=; 同(1),P(η=n)=(1-p)n-2p2=(n-1)(1-p)n-2p2,P(ξ,η=n)=(1-p)n-2p2, 所以E(ξ|η=n)=[xi×]=++…++1==. 思维升华 1.解决本题的关键:(1)应用独立事件的乘法公式求P(ξ=2,η=5),由ξ∈{1,2,3,4}有四种情况求P(η=5). (2)根据题目中给出的新公式及(1)中求P(ξ|η=5)的结论,进而求出P(η=n),P(ξ,η=n),即可求E(ξ|η=n). 2.解决此类问题,可以类比我们学习过的条件概率和数学期望加以理解,要有目标意识,紧扣题目条件中所给的公式进行计算. 对点训练 　设(X,Y)是二维离散型随机变量,它们的一切可能取值为(xi,yj),其中i=1,2,3,…,n,j=1,2,3,…,m,则称P(X=xi,Y=yj)=pij(pij≥0)为二维随机变量(X,Y)的联合分布列.定义:P(X=xi)=pi·=pij,称(p1·,p2·,…)为(X,Y)关于X的边际分布列,P(Y=yj)=p·j=pij,称(p·1,p·2,…)为(X,Y)关于Y的边际分布列;对于固定的j,称p(i|j)=P(X=xi|Y=yj)=(i=1,2,3,…,n)为给定Y=yj条件下的离散型随机变量X的条件分布列,则二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列与边际分布列如表: (X,Y) y1 y2 … ym Pi· x1 p11 p12 … p1m p1· x2 p21 p22 … p2m p2· … … … … … … xn pn1 pn2 … pnm pn· P·j p·1 p·2 … p·m 1 (1)求证:对于∀j,p(i|j)=1; (2)若(X,Y)的联合分布列与边际分布列如表: (X,Y) 1 2 3 Pi· 1 0.3 0.1 0.1 0.5 2 0.05 0.1 0.15 0.3 3 0.05 0.1 0.05 0.2 P·j 0.4 0.3 0.3 1 求给定X=2条件下Y的条件分布列; (3)把三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.记放入1号盒子的球的个数为X,放入2号盒子的球的个数为Y,则(X,Y)是一个二维离散型随机变量.列出(X,Y)的联合分布列与边际分布列. 【解析】(1)p(i|j)=++…+===1. (2)因为P(X=2)=p2·=0.3,所以用第二行Y=1,2,3的值分别除以0.3, 可得给定X=2条件下Y的条件分布列: Y|(X=2) 1 2 3 P (3)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3,Y的可能取值为0,1,2,3, 设x1=y1=0,x2=y2=1,x3=y3=2,x4=y4=3,由概率的乘法公式知, pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi|Y=yj)·p·j,2≤i+j≤5,p·j=)j-1()4-j,1≤j≤4,P(X=xi|Y=yj)=)i-1()5-j-i=)4-j, 所以pij=)j-1()4-j)4-j,2≤i+j≤5, 当i+j>5时,显然pij=0, 所以(X,Y)的联合分布列与边际分布列如表: (X,Y) 0 1 2 3 Pi· 0 1 0 2 0 0 3 0 0 0 P·j 1 【点睛】本题以二维离散型随机变量为背景,给出相关定义,考查了条件概率、概率的乘法公式等,将新定义翻译成熟悉的知识是解答本题的关键,属于难题. 类型二　极大似然估计问题 【例2】(2024·杭州模拟)在概率统计中,常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和白球,有放回地随机摸球n次,红球出现m次.假设每次摸出红球的概率为p,根据频率估计概率的思想,则每次摸出红球的概率p的估计值为=. (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3,不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取3个球,设摸出的球为红球的次数为Y,则Y~B(3,p).(注Pp(Y=k)表示当每次摸出红球的概率为p时,摸出红球次数为k的概率) ①完成表格: k 0 1 2 3 (Y=k) (Y=k) ②在统计理论中,把使得Pp(Y=k)的取值达到最大时的p,作为p的估计值,记为,请写出的值. (2)把(1)中“使得Pp(Y=k)的取值达到最大时的p作为p的估计值”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计. 具体步骤:先对参数θ构建对数似然函数l(θ),再对其关于参数θ求导,得到似然方程l'(θ)=0,最后求解参数θ的估计值.已知Y~B(n,p)的参数p的对数似然函数为l(p)=Xiln p+(1-Xi)ln(1-p),其中Xi=求参数p的估计值,并且说明频率估计概率的合理性. 【解析】(1)因为Y~B(3,p),所以p的值为或. ①表格如下: k 0 1 2 3 (Y=k) (Y=k) ②由题意知,Pp(Y=k)=pk(1-p)3-k, 当Y=0或1时,参数p=的概率最大;当Y=2或3时,参数p=的概率最大. 所以= (2)对对数似然函数进行求导,l'(p)=Xi-(1-Xi),因此似然方程为Xi-(1-Xi)=0,解上面的方程,得=Xi, 因此,用最大似然估计的参数与用频率估计概率的是一致的,故用频率估计概率是合理的. 思维升华 1.本题的解题路径:(1)①根据二项分布的定义→求出相应的概率,完成表格;②已知条件→Pp(Y=k)=pk(1-p)3-k→p→. (2)l'(p)→与用频率估计概率作比较→作出判断. 2.最大似然估计是一种基于概率理论的方法.用于估计一个概率模型的参数,使得观测到的数据在该模型下出现的概率最大.换句话说,它寻找的是使我们观察到的数据最有可能发生的参数值,解决此类问题一般要利用导数与函数的性质. 【加练备选】 　(2024·长沙模拟)某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染,现有n只白鼠,每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为,被感染的白鼠数用随机变量X表示,假设每只白鼠是否被感染之间相互独立. (1)若P(X=5)=P(X=95),求数学期望E(X); (2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p,现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数θ(0<θ<1)的取值有关.团队A提出函数模型为p=ln(1+θ)-θ2,团队B提出函数模型为p=(1-e-θ).现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组,每组10只,进行实验,随机变量Xi(i=1,2,…,10)表示第i组被感染的白鼠数,将随机变量Xi(i=1,2,…,10)的实验结果xi(i=1,2,…,10)绘制成频率分布图,如图所示. ①试写出事件“X1=x1,X2=x2,…,X10=x10”发生的概率表达式(用p表示,组合数不必计算); ②在统计学中,若参数θ=θ0时使得概率p(X1=x1,X2=x2,…,X10=x10)最大,称θ0是θ的最大似然估计.根据这一原理和团队A,B提出的函数模型,判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计,并求出最大似然估计. 参考数据:ln ≈0.405 5. 【解析】(1)由题意知,随机变量X服从二项分布,即X~B(n,), 由p(X=5)=p(X=95), )5(1-)n-5=)n-5(1-)5 =)95(1-)n-95, 得n=100,所以E(X)=np=50. (2)①记事件T=“X1=x1,X2=x2,…,X10=x10”, 则P(T)=·[p3(1-p)7]2[p4(1-p)6][p6(1-p)4], 所以P(T)=()3()3()2()2p25(1-p)75. ②记g(p)=ln[()3()3()2()2]+25ln p+75ln(1-p), 则g'(p)=-=, 当0<p<时,g'(p)>0,g(p)单调递增; 当<p<1时,g'(p)<0,g(p)单调递减. 故当p=时,g(p)取得最大值. 在团队A提出的函数模型p=ln(1+θ)-θ2(0<θ<1)中, 记函数f1(x)=ln(1+x)-x2(0<x<1), 则f1'(x)=-x=, 当0<x<时,f1'(x)>0,f1(x)单调递増; 当<x<1时,f1'(x)<0,f1(x)单调递减. 当x=时,f1(x)取得最大值ln -<,则θ没有最大似然估计. 在团队B提出的函数模型p=(1-e-θ)中,记函数f2(x)=(1-e-x),可知f(x)单调递增, 令f2(x)=,解得x=ln 2,则团队B可以求出θ的最大似然估计,且θ0=ln 2是θ的最大似然估计. 类型三　信息熵问题 【例3】(2024·锦州模拟)信息论之父香农在1948年发表的论文“通信的数学理论”中指出,任何信息都存在冗余,冗余大小与信息中每个符号(数字、字母或单词)的出现概率或者说不确定性有关,香农借鉴了热力学的概念,把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”,并给出了计算信息熵的数学表达式.设随机变量X所有取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),p1+p2+…+pn=1,定义X的信息熵H(X)=-pilog2pi. (1)当n=1时,求H(X)的值; (2)当n=2时,若p1∈(0,),探究H(X)与p1的关系,并说明理由; (3)若p1=p2=,pk+1=2pk(k=2,3,…,n),求此时的信息熵H(X). 【解析】(1)若n=1,则p1=1, 因此H(X)=-(1×log21)=0. (2)H(X)与p1正相关,理由如下: 当n=2时,p1∈(0,),则p1+p2=1,H(X)=-p1log2p1-(1-p1)log2(1-p1), 令t=p1,则f(t)=-tlog2t-(1-t)log2(1-t),其中t∈(0,),所以>2,-1>1, 则f'(t)=-log2t+log2(1-t)=log2(-1)>0, 所以函数f(t)在(0,)上单调递增, 所以H(X)与p1正相关. (3)因为p1=p2=,pk+1=2pk(k=2,3,…,n),所以pk=p2·2k-2==(k=2,3,…,n), 故pklog2pk=log2=-,而p1log2p1=log2=-, 于是H(X)=+pklog2pk=+++…++, 整理得H(X)=-++++…++, 令Sn=++…++,则Sn=++…++, 两式相减得Sn=++…+-=1-, 因此,Sn=2-,所以H(X)=-+Sn=-+2-=2-. 思维升华 1.解决本题的关键:(1)利用新定义,直接求解;(2)判断函数的单调性,利用单调性求解;(3)将问题转化为数列问题,利用错位相减法求和. 2.信息熵可以理解为某种特定信息出现的概率,解题的关键是紧扣定义,恰当地利用相关概率公式计算. 对点训练 　在信息论中,熵是接收的每条消息中包含的信息的平均量,又被称为信息熵、信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数,设随机变量X的所有取值为1,2,3,…,n(n∈N*),P(X=i)=pi,定义信息熵:H(X)=Hn(p1,p2,…,pn)=-pilog2pi,pi=1,i=1,2,…,n. (1)若n=2,且p1=p2,求随机变量X的信息熵; (2)若p1=+,p2=,pk+1=2pk,k=2,3,…,n,求随机变量X的信息熵; (3)设X和Y是两个独立的随机变量,求证:H(XY)=H(X)+H(Y). 【解析】(1)若n=2,则随机变量X的取值为1或2, 又p1+p2=1,故p1=p2=, H(X)=-pilog2pi=-(p1log2p1+p2log2p2)=-(log2+log2)=1, 所以随机变量X的信息熵为1. (2)由题意,当k≥2时, pk=2k-2p2==, pklog2pk=log2=-, 而p1log2p1=(+)log2(+), H(X)=-pilog2pi=-(+)log2(+)-pilog2pi=-(+)log2(+)+++…+, 令Sn=+…++,则Sn=+…++,两式相减得Sn=-+++…+=(++…+)--=-, 所以Sn=-, 则H(X)=-(+)log2(+)+-. (3)由题意,H(X)=Hn(p1,p2,…,pn) =-pilog2pi, H(Y)=Hm(q1,q2,…,qm)=-qjlog2qj, 而且pi=1,qj=1,piqj=1, 所以H(XY)=Hmn(p1q1,p1q2,…,p1qm,p2q1,…,p2qm,…,pnq1,…,pnqm) =-piqjlog2(piqj)=-piqj(log2pi+log2qj) =-piqjlog2pi-piqjlog2qj =-qj(pilog2pi)-pi(qjlog2qj) =-pilog2pi-qjlog2qj =Hn(p1,p2,…,pn)+Hm(q1,q2,…,qm)=H(X)+H(Y). - 9 - 学科网（北京）股份有限公司 $