第一章 第1讲 集合（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

第1讲　集合 ◆课标要求 1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与给定子集的补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实 数 集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． (3)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 运算 表示 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A， 或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A， 且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U， 且x∉A} ∁UA 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)， ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}.(　　) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(　　) (3)直线y＝x＋3与y＝6－2x的交点构成的集合是{(1，4)}．(　　) (4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩(∁UB)＝________． 解析：易知∁UB＝{2，4，6}，故A∩(∁UB)＝{2，4}． 答案：{2，4} 3．集合A＝{x|2≤x＜14}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝________． 解析：∵B＝{x|x≥3}，∴A∪B＝{x|x≥2}． 答案：{x|x≥2} 4．已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________． 解析：由图可知a≥2，a的取值范围为[2，＋∞). 答案：[2，＋∞) 　集合的概念 例1　(1)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2025＋b2026的值为(　　) A．－1　　 B．0　　　 C．1　　 D．±1 解析：A　由集合相等可知0∈{a，，1}且a≠0，则＝0，所以b＝0，所以a2＝1，解得a＝1或a＝－1.根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，所以a2025＋b2026＝＋02026＝－1.故选A. (2)(2025·江苏南京模拟)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为________． 解析：当x＝1时，y＝1，2，4，x－y＝0，－1，－3，不符合(x－y)∈A，舍去；当x＝2时，y＝1，2，4，x－y＝1，0，－2，则x＝2，y＝1；当x＝4时，y＝1，2，4，x－y＝3，2，0，则x＝4，y＝2.故B＝{(x，y)|(2，1)，(4，2)}，共2个元素． 答案：2 反思感悟　(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 跟踪训练1　(1)(多选)(人教A版必修第一册P9习题1.2第1题变式)下列结论错误的是(　　) A．{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{x|x＝t2＋1，t∈R} B．{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R} C．∅＝{0} D．集合{a，b}的真子集为{a}，{b} 解析：BCD　对于A，B，{y|y＝x2＋1，x∈R}＝[1，＋∞)，{x|x＝t2＋1，t∈R}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}表示函数y＝x2＋1图象上的点的集合，所以A正确，B错误；对于C，∅{0}，所以C错误；对于D，集合{a，b}的真子集为∅，{a}，{b}，所以D错误．故选B、C、D. (易错：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集) (2)(2025·北京西城区模拟)已知集合A＝{x||x－1|<3}，B＝{x|x2－3x－10<0}，若a∉A，且a∈B，则a的取值范围是(　　) A．(－2，4)　　　　　 B．(4，5) C．[4，5] D．[4，5) 解析：D　由|x－1|<3，可得－3<x－1<3，即－2<x<4，所以A＝{x|－2<x<4}． 由x2－3x－10<0，可得(x－5)(x＋2)<0，即－2<x<5，所以B＝{x|－2<x<5}．若a∉A，且a∈B，则有a∈∁BA＝[4，5)． 　集合间的基本关系 例2　(1)已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋2，k∈Z}，则(　　) A．AB B．AB C．A＝B D．A⊆B 解析：C　集合A表示所有的偶数集，而集合B也表示所有的偶数集，故A＝B. (2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B⊆A时，实数m的取值范围是________． 解析：A＝{x|－2≤x≤1}， 若x∈Z，则A＝{－2，－1，0，1}， 故集合A的真子集有24－1＝15(个)． 由B⊆A，得 ①若B＝∅，则2m＋1＜m－1，即m＜－2； ②若B≠∅，则 解得－1≤m≤0. 综上，实数m的取值范围是(－∞，－2)∪[－1，0]. 答案：15　(－∞，－2)∪[－1，0] 反思感悟　(1)判定两集合关系的方法 ①化简集合，从表达式中寻找两集合的关系． ②用列举法、图示法、数轴表示各个集合，从元素或图形中寻找关系． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围． 注意：①合理利用数轴、Venn图等方式直观分析解决问题．②求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解． 跟踪训练2　(1)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x＝mn，m∈A，n∈A}，则集合B的真子集个数是(　　) A．4 B．7 C．8 D．15 解析：B　法一：由题意得B＝{x|x＝mn，m∈A，n∈A}＝{－1，0，1}， 故集合B的真子集个数为23－1＝7(结论：含有n个元素的集合的真子集个数为2n－1)． 法二(列举法)：由题意得B＝{x|x＝mn，m∈A，n∈A}＝{－1，0，1}，其真子集有∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，共7个． (2)(2025·广东广州模拟)设集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若B⊆A，则a＝(　　) A．2 B．1 C．－2 D．－1 解析：A　因为B⊆A，所以a＋2＝3或a2＝a＋2，解得a＝1或a＝2或a＝－1. 当a＝1时，集合A中的元素不满足元素的互异性，舍去； 当a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，B⊆A，符合题意；当a＝－1时，集合A中的元素不满足元素的互异性，舍去．综上可知，a＝2. 　集合的基本运算 考向1　集合的运算 例3　(1)(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x|－1≤x＜4}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1≤x＜1} B．{x|x＞－3} C．{x|－3＜x＜4} D．{x|x＜4} 解析：C　由集合的并运算，得M∪N＝{x|－3＜x＜4}． (2)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 解析：D　B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D. (3)(2025·山东德州、烟台模拟)已知集合U＝R，集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，B＝{x|0≤x≤2}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．(－3，0) B．(－1，0) C．(0，1) D．(2，3) 解析：A　由题图可知阴影部分表示的集合为A∩∁UB.解不等式x2＋2x－3<0，得－3<x<1，即A＝(－3，1)，由B＝[0，2]，得∁UB＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以A∩∁UB＝(－3，0)．故选A. 考向2　利用集合的运算求参数的值(范围) 例4　(2025·安徽合肥第一次质量检查)已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是________． 解析：由x2≤4，得－2≤x≤2，所以A＝{x|－2≤x≤2}． 因为A∩B＝∅，所以a＋1<－2或a－1>2，解得a<－3或a>3， 所以a的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－3)∪(3，＋∞) 反思感悟　(1)进行集合运算时， 首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算． (2)数形结合思想的应用 ①离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； ②连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心． 跟踪训练3　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0}　　　　　 B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} 解析：A　通解：因为A＝{x|－5<x3<5}＝{x<x<}，B＝{－3，－1，0，2，3}，所以A∩B＝{－1，0}，故选A. 优解：因为(－3)3＝－27<－5，(－1)3＝－1∈(－5，5)，03＝0∈(－5，5)，23＝8>5，33＝27>5，所以－1∈A，0∈A，－3∉A，2∉A，3∉A，所以A∩B＝{－1，0}，故选A. (2)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)＜0}，B＝{x|x＞a}，若A∪B＝{x|x＞1}，则a的取值范围是(　　) A．[1，4) B．(1，4) C．[4，＋∞) D．(4，＋∞) 解析：A　由题意可得A＝{x|1＜x＜4}． 因为A∪B＝{x|x＞1}， 所以1≤a＜4. 　集合的新定义问题 例5　(多选)(2025·河南开封联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝{－2，0，，1}，B＝{x|(ax－1)(x＋a)＝0}，若A与B构成“全食”或“偏食”，则实数a的取值可以是(　　) A．－2　　　　　　 B．－ C．0 D．1 解析：BCD　当a＝0时，B＝{x|(ax－1)(x＋a)＝0}＝{0}， 当a≠0时，B＝{x|(ax－1)(x＋a)＝0}＝{－a，}． 对于A，若a＝－2，则B＝{2，－}，此时A∩B＝∅，不满足题意；对于B，若a＝－，则B＝{－2，}，此时B⊆A，满足题意； 对于C，若a＝0，则B＝{0}，此时B⊆A，满足题意； 对于D，若a＝1，则B＝{－1，1}，此时A∩B＝{1}≠∅，满足题意．故选B、C、D. 反思感悟　解以集合为背景的新定义问题的策略 (1)准确转化．解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆． (2)方法选取．对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解． 跟踪训练4　(2025·广东珠海调研)若集合A＝{x|3x2－8x－3≤0}，B＝{x|x>1}，定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B}，则A－B＝(　　) A． B． C． D．(1，3] 解析：C　由3x2－8x－3≤0得－≤x≤3，则A＝，又A－B＝{x|x∈A且x∉B}，则A－B＝.故选C. 典例　(2025·山东菏泽质检)已知关于x的不等式ax－1>0的解集为M，若2∈M且1∉M，则实数a的取值范围是________． 解析：因为2∈M，所以2适合不等式，即2a－1>0，解得a>.因为1∉M，所以1不适合不等式，即a－1≤0，解得a≤1.综上，a∈. 答案： 风向解读　本题难度低，计算量小，但是考查形式与常见的集合考查形式不一样，学生很容易陷入思维定式，不能深刻理解本题为元素与集合关系的考查，导致无法作答，复习过程中应从各种角度加强对基础概念的理解． 限时规范训练　集合 (建议用时：45分钟　分值：84分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．(2024·全国甲卷)若集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1，3，4}　　　　　 B．{2，3，4} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4，9} 解析：C　因为B＝{x|x＋1∈A}，分别令x＋1＝1，x＋1＝2，x＋1＝3，x＋1＝4，x＋1＝5，x＋1＝9，得x＝0，1，2，3，4，8，所以B＝{0，1，2，3，4，8}，于是A∩B＝{1，2，3，4}，故选C. 2．已知集合A＝{(x，y)|xy＝8，x∈N，y∈N}，则集合A中的元素个数为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 解析：B　由题知A＝{(1，8)，(2，4)，(4，2)，(8，1)}，共4个元素． 3．(人教A版必修第一册P35复习参考题第8题变式)若集合M＝{(x，y)|y＝1}，集合N＝{(x，y)|x＝0}，则M∩N＝(　　) A．{0，1} B．{(0，1)} C．{(1，0)} D．{(0，1)，(1，0)} 解析：B　集合M表示纵坐标为1的点集，集合N表示横坐标为0的点集，所以M∩N＝{(0，1)}，故选B. 4．设集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，若4∈A，则a的值为(　　) A．－1，2 B．－3 C．－1，－3，2 D．－3，2 解析：D　由题意知a2－a＋2＝4或1－a＝4.当a2－a＋2＝4时，a＝－1或a＝2；当1－a＝4时，a＝－3. 当a＝－1时，集合A中的元素不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去；当a＝2时，A＝{2，4，－1}, 满足集合中元素的互异性，故a＝2满足要求；当a＝－3时，A＝{2，14，4}，满足集合中元素的互异性，故a＝－3满足要求．综上可知，a＝2或a＝－3. 5．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|－1<x<5，x∈N}，则满足AC⊆B的集合C的个数为(　　) A．8 B．7 C．4 D．3 解析：B　A＝{1，2}，B＝{0，1，2，3，4}，又AC⊆B，所以1，2∈C，所以集合C的个数等于集合{0，3，4}的非空子集个数，故集合C的个数为23－1＝7. 6．已知集合A＝{x|ln (x－1)≥0}，集合B＝{x|x2－3x<0}，则A∪B＝(　　) A．(0，2] B．[2，3) C．(0，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：C　由ln (x－1)≥0得x－1≥1，即x≥2，则A＝{x|x≥2}，由x2－3x<0得0<x<3，则B＝{x|0<x<3}，所以A∪B＝(0，＋∞)． 7．设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|x≥1}，则(∁UA)∩B＝(　　) A．{x|1≤x≤2} B．{x|1<x≤2} C．{x|x>2} D．{x|1≤x<2} 解析：A　由x2－x－2＝(x－2)(x＋1)>0得x>2或x<－1，则A＝{x|x>2或x<－1}，则∁UA＝{x|－1≤x≤2}，又B＝{x|x≥1}，所以(∁UA)∩B＝{x|1≤x≤2}．故选A. 8．设M＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，N＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则(　　) A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅ 解析：A　因为M＝{x|x＝4k－3，k∈Z}＝{x|x＝2(2k－1)－1，k∈Z}，N＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，所以M⊆N.故选A. 9．(多选)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|1<2x<4}，则(　　) A．A∪B＝R B．A∩B＝∅ C．∁UA⊆B D．B⊆∁UA 解析：BD　集合A＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x>4或x<－1}，集合B＝{x|1<2x<4}＝{x|0<x<2}，所以 A∪B＝{x|x>4或0<x<2或x<－1}，故A错误；A∩B＝∅，故B正确；∁UA＝{x|－1≤x≤4}，所以B⊆∁UA，故C错误，D正确．故选B、D. 10．(多选)已知集合A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m的值可能为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：AD　因为A∪B＝A，所以B⊆A. 因为A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}， 所以m2＝m或m＝3， 解得m＝0或m＝1或m＝3. 当m＝0时，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，符合题意； 当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意； 当m＝3时，A＝{1，3，9}，B＝{1，3}，符合题意． 综上，m＝0或3. 11．(多选)已知集合A，B均为R上的子集，若A∩B＝∅，则(　　) A．A⊆∁RB B．∁RA⊆B C．A∪B＝R D．(∁RA)∪(∁RB)＝R 解析：AD　如图所示，根据Venn图可得A⊆∁RB，B⊆∁RA，(A∪B)⊆R，(∁RA)∪(∁RB)＝∁R(A∩B)＝R，故选A、D. 12．高三某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是________． 解析：由题意画出Venn图，如图所示， 由Venn图知，参加比赛的人数为26， 所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29. 答案：29 13．(2025·河北沧州质量监测)已知全集U＝R，集合A＝{x≥0}，集合B＝{x||x|>2}，则A∩(∁UB)＝________． 解析：≥0等价于≤0，转化为解得－5<x≤，则A＝>2得x>2或x<－2，则∁UB＝[－2，2]，所以A∩(∁UB)＝. 答案： 14．(2025·江苏南通适应性调研)定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B所有元素之和为________． 解析：当x＝0时，y＝2，3，对应的z＝0；当x＝1时，y＝2，3，对应的z＝6，12，即集合A⊙B＝{0，6，12}， 故集合A⊙B的所有元素之和为18. 答案：18 B级　能力提升练 15．(多选)(2025·浙江绍兴适应性考试)已知集合A＝{x|x2＋mx≤0}，B＝{－，m－1}，且A∩B有4个子集，则实数m的取值可能为(　　) A． B． C．1 D． 解析：ABC　由A∩B有4个子集得A∩B中有两个元素，所以B⊆A，所以 解得≤m≤1，故选A、B、C. 16．(2025·湖南九校联盟联考)对于非空集合P，定义函数fP(x)＝已知集合A＝{x|0<x<1}，B＝{x|t<x<2t}．若存在x∈R，使得fA(x)＋fB(x)>0，则实数t的取值范围为________． 解析：由题意知fA(x)＋fB(x)可取±2，0，若fA(x)＋fB(x)>0，则fA(x)＋fB(x)＝2，即集合A∩B≠∅，即解得0<t<1.即实数t的取值范围是(0，1)． 答案：(0，1) 学科网（北京）股份有限公司 $