江苏省南通市如皋市2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学模拟试卷

江苏省南通市如皋市2025-2026学年八年级（上）第一次月考 数学 试卷 一选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛下列新能源汽车品牌标志图，不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，点，，在同一直线上，≌，若，，则等于(    ) A. B. C. D. 3.已知图中的两个三角形全等，则的度数是(    ) A. B. C. D. 以上都有可能 4.如图，在▱中，，相交于点，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. ≌ 5.下列命题中，是假命题的是(    ) A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 一个直角三角形必能分成一个等腰三角形和一个等边三角形 C. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D. 在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 6.如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接与线段相交于点，过点作交于点若，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图所示，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在等腰直角三角形中，，，点，，，其中，则，之间的数量关系是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，的坐标分别为，，点从点出发沿向点运动，连接交于点当恰好为中点时，则长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，是等边三角形，，分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点，是上一点，且，交于点下列结论：；；；其中正确的个数是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，共22分。 11.已知点，则它关于轴的对称点的坐标是      ． 12.如图，已知≌，点的对应点为点，点的对应点为点若，，则的长为______． 13.如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为      ． 14.如图，和都是等边三角形，且点在边上，若，，则的长度为      ． 15.如图，是等边内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，则      ． 16.如图，已知，点，分别为，上的点，，点，分别为，上的动点，则的最小值是      ，当取得最小值时，的度数是      ． 三、解答题：本题共9小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． 画出向右平移个单位得到的，并写出点的坐标； 画出关于轴对称的，并求出的面积． 18.本小题分 如图，点，，，在同一条直线上，，，求证：． 19.本小题分 已知，如图，，，是的平分线，求证：． 20.本小题分 如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点． 如图，若，求的度数． 如图，过点作，，垂足分别为，，若，，求的长． 21.本小题分如图，，，． 求证：； 若，的面积等于，，求的面积． 22.本小题分已知：如图，． 求作：射线，使，且点在直线的下方． 作法：在射线上取一点，过点作射线的垂线，与射线相交于点； 在的延长线上取一点，使； 以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点； 作射线． 所以射线即为所求作的射线． 使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹； 完成下面的证明． 证明：连接，． ，， ______填推理的依据 ______． ， ． 在和中， ≌______填推理的依据 ______． ， 即． 23.本小题分 如图，已知和都是等边三角形． 观察发现如图，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为          ；          ． 如图，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． 深入探究 如图，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点． 中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 连接，求证：平分． 24.本小题分 如图，直线交轴于点，交轴于点，且，满足． 如图，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； 如图，在的条件下，连接，求证：； 如图，若为的中点，为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？若发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 25.本小题分 问题背景： 如图，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． 实践应用：如图，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． 拓展延伸：如图，在等边三角形中，若为高上一点，，求的最小值． 拓展延伸：如图，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市如皋市2025-2026学年八年级（上）第一次月考 数学试卷 一选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛下列新能源汽车品牌标志图，不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：选项A、、的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 选项C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：． 根据轴对称图形的定义，逐项分析即可判断． 本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 2.如图，点，，在同一直线上，≌，若，，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：≌，， ，全等三角形对应边相等， ， ， 即等于， 故选：． 根据全等三角形的性质得出，再由线段和差即可求解． 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 3.已知图中的两个三角形全等，则的度数是(    ) A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】A  【解析】解：全等三角形的性质可知：是边长为的边的一个邻角， ； 故选：． 根据全等三角形的性质进行判断即可． 本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等解答． 4.如图，在▱中，，相交于点，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. ≌ 【答案】D  【解析】解：四边形是平行四边形， ，，，故A、B正确； ，故C正确； 无法证明≌，故D错误； 故选：． 根据平行四边形的性质逐一判断即可． 本题考查了平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答． 5.下列命题中，是假命题的是(    ) A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 一个直角三角形必能分成一个等腰三角形和一个等边三角形 C. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D. 在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 【答案】B  【解析】解：直角三角形的两个锐角互余，此项正确； B.一个直角三角形不一定能分成一个等腰三角形和一个等边三角形，此项错误； C.线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，此项正确； D.在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，此项正确； 故选：． 根据所学的数学知识，理解判定解答即可． 本题考查了命题的判定，正确判定命题是解题的关键． 6.如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接与线段相交于点，过点作交于点若，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，，， ，， 根据作图以点为圆心，适当长为半径画弧，交于，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点， 可知：是的角平分线， ， ， ，， ，， ， ， ， 故选：． 由含度直角三角形的性质可得出，，根据作图可知：是的角平分线，可得出，根据平行线的性质得出，，进一步得出，，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 本题主要考查了含度直角三角形的性质，角平分线的作图以及定义，平行线的性质以及等角对等边的性质．掌握这些性质是解题的关键． 7.如图所示，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：在中，，， ， 由作图可知为的中垂线， ， ， ， 故选：． 根据内角和定理求得，由垂线段直平分线性质知，则，从而得出答案． 本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 8.如图，在等腰直角三角形中，，，点，，，其中，则，之间的数量关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：过点作轴，轴，则：， ，，， ，，，， ，， 在与中， ， ≌， ， ， ； 故选：． 过点作轴，轴，证明≌，得到，即可得出结论，判断即可． 本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明≌解答． 9.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，的坐标分别为，，点从点出发沿向点运动，连接交于点当恰好为中点时，则长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：如图，过点作交于点， ，的坐标分别为，， ，， ， 点是的中点，， 点是的中点， ， 是的中位线， ， ， ， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， 又是等边三角形，边长， ， ， ， 即：． 故选：． 根据平面直角坐标系中，两点坐标，得到，的长度，结合是的中点，得到是的中位线，类似得到是的中位线，从而得到，，得到，求出长，从而得到的长． 本题考查了平面直角坐标系的点坐标的应用，涉及到三角形中位线性质的应用，解题的关键是熟练运用中位线的性质． 10.如图，是等边三角形，，分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点，是上一点，且，交于点下列结论：；；；其中正确的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ；故正确． ， ，即， ， ， ；故正确． 如图，作的平分线交于点， 则， ， ， ， 即， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ≌， ， ， ；故正确． ≌， ，，， 由得，， ， ， ， ， ， ， ，故错误． 故正确的有，个， 故选：． 利用证明≌，可得，，再结合等边三角形的性质即可判断正确； 由，可得，即，即可判断正确； 作的平分线交于点，可证得是等边三角形，得出，利用证明≌，即可判断结论正确； 延长至，使，连接、，可证得≌，≌，推出与在同一条直线上，进而证得，，即可判断结论错误． 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，共22分。 11.已知点，则它关于轴的对称点的坐标是      ． 【答案】  【解析】解：点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12.如图，已知≌，点的对应点为点，点的对应点为点若，，则的长为______． 【答案】  【解析】解：≌已知， 根据全等三角形的性质可得，， ，即， ，， ， ． 即的长为， 故答案为：． 根据全等三角形的性质可得，从而得到，即可求解． 本题主要考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握． 13.如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为      ． 【答案】  【解析】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，平分， ，， ， ， ． 故答案为：． 由等边三角形的性质得到，，，由含度角的直角三角形的性质得到，，由即可求出，得到． 本题考查等边三角形的性质，含度角的直角三角形，关键是由含度角的直角三角形的性质得到，． 14.如图，和都是等边三角形，且点在边上，若，，则的长度为      ． 【答案】  【解析】解：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ≌， ， ， ， 是等边三角形， ， 中，，， ， 故答案为：． 利用等边三角形的性质和角判定，再利用等腰三角形三线合一的性质得出，最后利用直角三角形的性质即可得解． 此题主要考查等边三角形、等腰三角形以及直角三角形的性质，熟练掌握，即可解题． 15.如图，是等边内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，则      ． 【答案】  【解析】解：是等边三角形， ，， 又， ， ≌， ． 如图，连接，则是等边三角形， ， ， 在中，， 是直角三角形，． ， 故答案为：． 证明≌，得，即可说明可以由绕点逆时针旋转得到，可知是等边三角形，则，由勾股定理逆定理可判断是直角三角形，得，则可得． 本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 16.如图，已知，点，分别为，上的点，，点，分别为，上的动点，则的最小值是      ，当取得最小值时，的度数是      ． 【答案】   【解析】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，， ， 的最小值为的长． ，，，， ，， ， 为等边三角形， ， 即的值最小为； 当取得最小值时，， 由作图知：， ， 故答案为：，． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果；先求出的度数，即可求出取得最小值时，的度数． 本题考查轴对称最短路线问题，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． 画出向右平移个单位得到的，并写出点的坐标； 画出关于轴对称的，并求出的面积． 【答案】如图，即为所求，点的坐标；   如图，即为所求，面积为  【解析】如图，即为所求，点的坐标； 如图，即为所求我，的面积． 利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； 利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． 本题考查作图平移变换，轴对称变换，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 18.本小题分 如图，点，，，在同一条直线上，，，求证：． 【答案】证明：， ， 即， 在和中， ， ≌， ．  【解析】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明≌是解题的关键． 利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解． 19.本小题分 已知，如图，，，是的平分线，求证：． 【答案】证明：是的平分线， ． 在和中， ， ≌， ． 在和中， ， ≌， ．  【解析】由是的平分线就可以得出，就可以得出≌，就可以得出，进而可以得出≌，就可以得出结论． 本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 20.本小题分 如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点． 如图，若，求的度数． 如图，过点作，，垂足分别为，，若，，求的长． 【答案】；     【解析】，， ， ， ， ， ； 连接，作于， 平分，，，由角平分线的性质可得：， 同理可得：， ， 在和中， ， ≌， ， 同理可得：， ． 根据角平分线的性质结合三角形的外角可得，代入计算即可； 连接，作于，根据角平分线的性质可得，再证明≌，得到，同理得到，最后根据求解即可． 本题考查角平分线的定义及性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 21.本小题分 如图，，，． 求证：； 若，的面积等于，，求的面积． 【答案】， ， ． 在和中， ， ≌， ；     【解析】证明：， ， ． 在和中， ， ≌， ． 解：由题意可得：． ，，， ． ≌， ， ， ． 根据题意可知，再根据即可证明≌，即可解答． 根据题意得出，，再由三角形全等得到，即可解答． 本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键． 22.本小题分 已知：如图，． 求作：射线，使，且点在直线的下方． 作法：在射线上取一点，过点作射线的垂线，与射线相交于点； 在的延长线上取一点，使； 以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点； 作射线． 所以射线即为所求作的射线． 使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹； 完成下面的证明． 证明：连接，． ，， ______填推理的依据 ______． ， ． 在和中， ≌______填推理的依据 ______． ， 即． 【答案】解：解：图形如图所示： 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等                                  【解析】见答案； 证明：连接，． ，， 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等， ． ， ． 在和中， ， ≌， ． ， 即． 故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，，，，． 根据要求作出图形； 证明≌，推出，可得结论． 本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题． 23.本小题分 如图，已知和都是等边三角形． 观察发现如图，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为          ；          ． 如图，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． 深入探究 如图，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点． 中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 连接，求证：平分． 【答案】(1)AE＝BD ;60°  (2)FH// BE． 证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝60°，∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，∴BCD＝∠ACE．  在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴∠CAE＝∠CBD．  在△CAH和△CBF中，∴△CAH≌CBF(ASA)，∴CH＝CF．  又∵∠FCH＝60°，∴△CFH为等边三角形，∴∠CHF＝60°，∴∠DCE＝∠CHF，∴FH// BE．   (3)成立．证明：如图，设BD与AC交于点O．∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，  即∠BCD＝∠ACE．  在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴BD＝AE，∠CBD＝∠CAE．∵∠APB＝180°-∠CAE-∠AOP，∠ACB＝180°-∠CBD-∠BOC，∠AOP＝∠BOC，∴∠APB＝∠ACB＝60°．   (4)证明：连接CP，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M，N，如图．  由（3）得△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，S△BCD＝S△ACE，∴，∴CM＝CN，∴PC平分∠BPE．  【解析】 略  略  略  略 24.本小题分 如图，直线交轴于点，交轴于点，且，满足． 如图，若的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标； 如图，在的条件下，连接，求证：； 如图，若为的中点，为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？若发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)解：则OA＝OB＝4．  证明△OAP≌△OBC(ASA)，∴OP＝OC＝1，则P(0，-1)；  (2)过O分别做OM⊥CB于点M，ON⊥HA于点N，  证明：∴△COM≌△PON(AAS)，∴OM＝ON，HO平分∠CHA，∴；  (3)S△BDM-S△ADN的值不发生改变．S△BDM-S△ADN＝4．  连接OD，则OD⊥AB，证明△ODM≌△ADN(ASA)，∴S△ODM＝S△ADN，  S△BDM-S△ADN＝S△BDM-S△ODM  ＝S△BOD   ＝4．  【解析】 略  略  略 25.本小题分 问题背景： 如图，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． 实践应用：如图，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． 拓展延伸：如图，在等边三角形中，若为高上一点，，求的最小值． 拓展延伸：如图，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 【答案】(1)∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，∴点B，C关于AD对称，∠ABC＝60°，∴PB＝PC，∴EC就是BP＋PE的最小值．∵在等边三角形ABC中，E是AB的中点，∴CE⊥AB，∴CE＝AD＝3，∴BP＋PE的最小值为3．  (2)∵CE为等边三角形ABC的高，∴CE平分∠ACB，BP＝AP，∴，∴，∴，故其最小值为3．  (3)如图，分别作点P关于OA，OB的对称点E，D，连接ED，分别交OA，OB于点Q，R，连接OE，OD．∵点P关于OA的对称点为E，∴PQ＝EQ，OP＝OE，∠EOA＝∠POA．∵点P关于OB的对称点为D，∴PR＝DR，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OE＝OD＝OP，∠EOD＝∠EOA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△EOD是等边三角形，∴ED＝OE＝OD．∴OP＝ED．∵△PQR周长的最小值为PQ＋QR＋PR＝EQ＋QR＋RD＝ED，∴OP＝5．   【解析】 见答案  见答案  见答案 第1页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $