精品解析：福建省莆田市涵江区2020-2021学年八年级下学期期中质检数学试题

涵江区2020—2021学年下学期期中质检试卷 八年级数学 （分两卷共6页，三大题，共25小题；满分150分；考试时间120分钟） 注意：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 第Ⅰ卷 选择题 一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分；每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的，答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分． 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 5. 顺次连接四边形ABCD四边中点得到菱形EFGH，则四边形ABCD是( ) A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 6. 如图，中， 平分交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为(12，13)，则点的坐标是( ) A. (0，-5) B. (0，-6) C. (0，-7) D. (0，-8) 9. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5 10. 如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的面积有最小值，那么菱形面积的最大值是（ ） A. 5 B. C. 12 D. 15 第Ⅱ卷 非选择题 二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分，请填在答题卡的相应位置上． 11. 计算：＝_______． 12. 已知是整数，则满足条件的最小正整数n为__________． 13. Rt△ABC中，两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长等于______． 14. 《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB表示竹梢触地处离竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度OA是_____尺． 15. 如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，则的度数为______°． 16. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是______； 三、耐心做一做：本大题共9小题，共86分，请解答在答题卡的相应位置上，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤． 17. 计算. （1）； （2）. 18. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE （1）求证：△BEC≌△DFA； （2）求证：四边形AECF是平行四边形． 19. 如图，是的角平分线． （1）作线段的垂直平分线，分别交、于点、；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） （2）连接、，四边形是________形．（直接写出答案） 20. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）在网格中画出平行四边形ABCD； （2）线段AC的长为　 　，CD的长为　 　，AD的长为　 　，△ACD为　 　三角形，平行四边形ABCD的面积为　 　． 21. (古希腊的几何学家海伦（约公元50年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是①请你举出一个例子，说明关系式①是正确的． 22. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的B处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 23. 如图，正方形，点为对角线上一个动点．为边上一点，且 （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 24. 观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）__________________；__________________； （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______； （3）利用上述规律计算： 25. 如图1，点在正方形边上，连接，分别过点、作的垂线、，垂足分别为点、． （1）求证：； （2）如图2，连接，作的平分线交于点，交于点， ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 涵江区2020—2021学年下学期期中质检试卷 八年级数学 （分两卷共6页，三大题，共25小题；满分150分；考试时间120分钟） 注意：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 第Ⅰ卷 选择题 一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分；每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的，答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分． 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2. 下列各式计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A选项中，∵不是同类二次根式，不能合并，∴本选项错误； B选项中，∵，∴本选项正确； C选项中，∵，而不是等于，∴本选项错误； D选项中，∵，∴本选项错误； 故选B. 3. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案． 【详解】解：选项A、，可以与合并，不符合题意； 选项B、，可以与合并，不符合题意； 选项C、，不可以与合并，符合题意； 选项D、，可以与合并，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式， 关键是掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式． 4. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 顺次连接四边形ABCD四边中点得到菱形EFGH，则四边形ABCD是( ) A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半、平行四边形的判定和菱形的性质解答． 【详解】解：连接BD， 已知四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点． 在△ABD中，E、H是AB、AD中点， 所以EH∥BD，EH＝BD． 在△BCD中，G、F是DC、BC中点， 所以GF∥BD，GF＝BD， 所以EH＝GF，EH∥GF， 所以四边形EFGH为平行四边形． 又因为EFGH是菱形， 所以EH＝EF， 所以BD=AC， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质、平行四边形的判定、菱形的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 6. 如图，中， 平分交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形和角平分线的性质，通过等量代换得到，从而得到，从而解出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴ ． 7. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了剪纸问题，通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定．根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：设剪口与折痕所成锐角为， 根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，即剪下的四边形是菱形， 菱形只要有一个角是就是正方形， 则展开四边形后的角为：， 所以． 故选：． 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为(12，13)，则点的坐标是( ) A. (0，-5) B. (0，-6) C. (0，-7) D. (0，-8) 【答案】A 【解析】 【分析】根据点A的坐标为(12，13)，可求出菱形的边长及OD的长，然后在Rt△COD中，利用勾股定理求出OC的长，即可求出点C的坐标. 【详解】∵点A的坐标为(12，13)， ∴CD=AD=13，OD=12， ∴OC=, ∴C（0，-5） . 故选：A. 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，图形与坐标，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键. 9. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．首先将原式变形，进而利用乘法公式代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 10. 如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的面积有最小值，那么菱形面积的最大值是（ ） A. 5 B. C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，分析出当菱形面积最大时的图形是解题的关键；由于菱形的高是矩形的宽，即菱形的高一定，当底最大时，菱形的面积最大，即当两矩形对角线重合时面积最大，据此画图，设，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理列方程求，再根据菱形的面积求解即可． 【详解】解：∵菱形的高是矩形的宽，即菱形的高一定， ∴当菱形的底最大时，菱形的面积最大，即当两矩形对角线重合时面积最大， 如图，此时菱形的面积最大， 由题意知：，，， 设， 四边形是菱形， ， ， ， ， 解得， ， 菱形的最大面积为， 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题 二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分，请填在答题卡的相应位置上． 11. 计算：＝_______． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：． 12. 已知是整数，则满足条件的最小正整数n为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可求出答案． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是整数， ∴是一个平方数， ∴最小正整数n为5； 故答案为：5 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 13. Rt△ABC中，两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长等于______． 【答案】6或6.5 【解析】 【详解】试题解析：①12是直角边时，由勾股定理得，斜边=， 斜边上中线长=×13=6.5； ②12是斜边时，斜边上中线长=×12=6. 综上所述，斜边上中线长为6或6.5． 14. 《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB表示竹梢触地处离竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度OA是_____尺． 【答案】4.55 【解析】 【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可. 【详解】设折断处离地面的高度OA是x尺，据题意可得:x2＋32＝ (10－x) 2,解得: x＝4.55, 故答案为4.55. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键. 15. 如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，则的度数为______°． 【答案】75 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应角相等是解题的关键．利用矩形的性质和折叠的性质，先求出的度数，再根据折叠得出，进而求出的度数． 【详解】解：∵ 四边形是矩形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 矩形沿折叠，点落在边上的点处， ∴ ， ∴ ，． 在中，． 故答案为：． 16. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是______； 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示出面积． 根据题意判断出，，分别表示出，，，然后相加化简计算即可． 【详解】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，， ， ， ， ， ， 的值是13． 故答案是13． 三、耐心做一做：本大题共9小题，共86分，请解答在答题卡的相应位置上，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤． 17. 计算. （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）-1． 【解析】 【分析】（1）按顺序先进行二次根式的化简、二次根式的除法运算，然后再进行合并即可； （2）利用平方差公式进行计算即可得. 【详解】（1）原式＝ ； （2）原式＝ ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及平方差公式的运用，熟练掌握二次根式混合运算的运算法则是解题的关键． 18. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE （1）求证：△BEC≌△DFA； （2）求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据E、F分别是边AB、CD的中点，可得出BE=DF，继而利用SAS可判断△BEC≌△DFA. （2）由（1）的结论，可得CE=AF，继而可判断四边形AECF是平行四边形. 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC. 又∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴BE=DF. ∵在△BEC和△DFA中，， ∴△BEC≌△DFA（SAS）. （2）由（1）△BEC≌△DFA， ∴CE=AF， ∵E、F分别是边AB、CD的中点， ∴AE=CF ∴四边形AECF是平行四边形. 【点睛】本题考查三角形全等的证明，矩形的性质和平行四边形的判定. 19. 如图，是的角平分线． （1）作线段的垂直平分线，分别交、于点、；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） （2）连接、，四边形是________形．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）菱形. 【解析】 【分析】（1）线段的垂直平分线过线段的中点，且垂直于该线段. （2）根据是的角平分线，且是的垂直平分线，可知四边形满足菱形的条件. 【详解】（1）如图，直线即为所求作的垂直平分线． （2）根据是的角平分线，且是的垂直平分线，可知四边形的对角线互相垂直，因此为菱形. 【点睛】本题考查垂直平分线的概念和作法，以及菱形的判定定理. 20. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）在网格中画出平行四边形ABCD； （2）线段AC的长为　 　，CD的长为　 　，AD的长为　 　，△ACD为　 　三角形，平行四边形ABCD的面积为　 　． 【答案】（1）见解析 （2） ， ，5，直角，10 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的定义，即可求解； （2）利用勾股定理分别求出AC、CD、AD的长，再利用勾股定理的逆定理，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示：平行四边形ABCD即为所求； 【小问2详解】 解： ， ， ， ∴ ， ∴△ACD是直角三角形， ∴平行四边形ABCD的面积为 ． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21. (古希腊的几何学家海伦（约公元50年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是①请你举出一个例子，说明关系式①是正确的． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据题意可以举出一个例子，用求三角形的面积的方法和海伦公式分别计算出三角形的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：如图 在中，，，，， 则， ∵ = ； ∴关系式是正确的． 22. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的B处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【答案】（1） A城要受台风影响， 理由：过A点向作垂线，垂足为C， 在中，， ∴， 因为， 所以A城要受台风影响； （2）6小时 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，点到直线的距离： （1）过A点向作垂线，垂足为C，根据直角三角形的性质可得的长，即可求解； （2）取上点D，G，使千米，根据等腰三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取上点D，G，使千米， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 在中，千米，千米， 由勾股定理得， 千米， ∴千米， ∴遭受台风影响的时间是：小时． 23. 如图，正方形，点为对角线上一个动点．为边上一点，且 （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ， 在和中，， （）， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， ， ， ； （2）16 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边． （1）连接，根据正方形的性质得到，，进而证明，得到，，根据四边形内角和得到，进而得到，根据等角对等边得到，即可证明； （2）作交于点，交于点，可知四边形为正方形．证明，得到，，进而求出，根据计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，作交于点，交于点，可知四边形为正方形． ， ， ， 又，， （）， ，， ， ． ． ∴ ． 24. 观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）__________________；__________________； （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______； （3）利用上述规律计算： 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）根据已知等式的规律可得答案． 【小问1详解】 解：根据题中规律可得； ． 【小问2详解】 解：根据题中规律可得； 【小问3详解】 解：原式 ． 25. 如图1，点在正方形边上，连接，分别过点、作的垂线、，垂足分别为点、． （1）求证：； （2）如图2，连接，作的平分线交于点，交于点， ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）①见解析；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可得证； （2）①延长交于点，根据等腰三角形的性质和判定可得，再证明，即可得证； ②连接，在上截取，由等腰三角形的性质可得，，证明，可得，，根据勾股定理可得，再根据线段的数量关系即可得证． 【小问1详解】 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ． 【小问2详解】 解：①延长交于点， 平分， ， ， ， ，， ， ． ②，理由如下： 连接，在上截取， 由（2）得：， 为中点， ，， ，，， 由（1）知：， ， 在等腰直角中，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质和判定，综合运用以上知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $