第二章 实数的初步认识单元培优训练（题型专练）-2025-2026学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

第二章 实数的初步认识单元培优训练 【苏科版】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第2章 实数的初步认识，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四个数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像…相邻两个2中间依次多1个，等这样有规律的数．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 【详解】解：是小数，是整数，是分数，这些都属于有理数； 是无理数． 故选：C． 2．下图是一个数值转换器，当输入时，则输出（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的计算、无理数、程序图等知识点，读懂程序框图的走向是解题关键． 依据转换器流程，先求出的立方根是，是有理数；取立方根为是无理数直接输出． 【详解】解：当输入时，由的立方根是，是有理数； 当时，由的立方根是是无理数， 所以输出y的值是． 故选：C． 3．通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（   ） A．m，n均为有理数 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较．熟练掌握实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较是解题的关键． 首先根据点在数轴上的位置确定其整数部分和小数部分，然后再分别对各个选项进行分析判断． 【详解】解：由数轴可知，点在4和5之间。因为其整数部分为，小数部分为，所以， 又因为一个数等于它的整数部分加上小数部分，那么，即是点所表示的数减去4，所以是一个大于0小于1的无理数． A：由前面可知是有理数，是无理数，所以m，n不都是有理数，故该选项错误； B：已知，那么，所以是错误的，故该选项错误； C：因为，，那么，所以，故该选项错误； D：因为，，那么，故该选项正确； 故选：D． 4．，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】该题考查了平方根的性质，根据平方根的性质解方程即可． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 5．的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的平方根，根据平方根的定义得出答案即可． 【详解】解：的平方根是， 故选：B． 6．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张圆形绣布，面积为51（注：取3），下列关于这张绣布半径的说法正确的是（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了算数平方根的估算， 根据圆的面积公式求出，即可得出答案 【详解】解：设圆的半径是r， 根据题意得， 解得. ∵， ∴r在之间. 故选：C 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，立方根，掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． 根据算术平方根，立方根，逐个计算判断即可． 【详解】解：A． ，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算错误，不符合题意； C． 无法化简，原计算错误，不符合题意； D． ，原计算正确，符合题意． 故选D． 8．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 9．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，以及两点之间的距离公式．数轴上的点与实数一一对应，根据C是线段的中点，可得，用C点表示的数减去的距离，可得A点表示的数． 【详解】解：∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数是：， 故选：D． 10．若，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性、负整数指数幂、求代数式的值，熟知绝对值和算术平方根具有非负性是解题的关键．根据绝对值和算术平方根的非负性，可得，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，为实数，其中，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性及求一个数的平方根．掌握相关结论即可． 根据算术平方根和乘方的非负性求出，，再计算的平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 则的平方根是． 故答案为：． 12．比较大小： 2．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，对于含有算术平方根的两个实数大小的比较，先比较两个被开方数的大小，则被开方数大的其算术平方根也大；或者先比较这两个数的平方，则平方大的这个数也大．根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故答案为：． 13．下图所示，、、、是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握实数与数轴是一一对应的关系是解题的关键；由，进而问题可求解． 【详解】解：由于，且， ∴更加靠近，则图中的点是最适合的点． 故答案为． 14．的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义即可解答． 【详解】解：， ∴的平方根是， ， ∴的算术平方根是3． 故答案为：；3． 15．若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数；利用这一性质求出的值，进而求出这个正数． 【详解】解：由题可知， ， 解得：， 则这个正数是. 故答案为：． 16．若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了相反数的性质，二次根式和绝对值的非负性等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据题意列式，再根据二次根式和绝对值的非负性得到x，y的值，代入即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ，解得， ． 故答案为：9． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查数轴上两点间距离问题，求代数式的值． （1）根据数轴上两点间距离等于两坐标之差的绝对值求解即可得到答案； （2）根据（1）中的值代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示， ∴； （2）解：∵， ∴． 18．把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1），0.15，，，1016． (1)整数集合：{_____…}； (2)正分数集合：{_____…}； (3)负有理数集合：{_____…}； (4)无理数集合：{_____…}； (5)非负整数集合：{_____…}． 【答案】(1)0，，，，1016． (2)3.1415926，0.15， (3)，，， (4)，，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1）， (5)0，，1016． 【分析】此题考查了实数的分类．化简需要化简的各数后，根据实数的分类进行解答即可． 【详解】（1）解：，， 整数集合：{0，，，，1016，…}； （2）正分数集合：{3.1415926，0.15，…}； （3）负有理数集合：{，，…}； （4）无理数集合：{，，，0.13030030003…，…}； （5）非负整数集合：{0，，1016，…} 19．已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴， 解得： ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴； （2）∵，， ∴ ∴的平方根为． 20．数学课上，李老师给大家留了一个题作为课后作业：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 解：因为一个数的算术平方根为，平方根为． 所以或． ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或． 李老师检查完作业发现乐乐的答案错了，你知道哪里错了吗？请帮他写出正确的解题过程． 【答案】乐乐的错误在于没有考虑算术平方根的非负性，当时，这个数的算术平方根为，不符合算术平方根为非负数的定义，应舍去；正确过程见解析 【分析】本题考查了算术平方根及平方根，一元一次方程，正确理解算术平方根的意义是解题的关键，根据算术平方根及平方根的意义求解即可得解． 【详解】解：乐乐的错误在于没有考虑算术平方根的非负性，当时，这个数的算术平方根为，不符合算术平方根为非负数的定义，应舍去；正确的解题过程如下： 因为一个数的算术平方根为，平方根为， 所以或． ①当时，解得， 所以，不符合题意，舍去； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 【答案】(1)这个魔方的棱长为4 (2)阴影部分的边长为，阴影部分的面积为8 (3)点D在数轴上所表示的数为 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线的长，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点A表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：． 答：这个魔方的棱长为4； （2）解：∵魔方的棱长为4， ∴每个小立方体的棱长为2， 阴影部分面积为：； 则阴影部分的边长为． （3）解：由（2）得， 则D在数轴上表示的数为． 22．先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题主要考查无理数的估算，求平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据即可求解； （2）根据，求出a，b的值，然后代入求值，再根据平方根定义解答即可． 【详解】（1）解：， ∴ ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∵16的平方根是， ∴的平方根是． 23．课本再现（人教版七下数学教材121页阅读与思考） 用求差法比较大小 学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质，可知比较两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有：当时，有：反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．这种方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，则___________Q（填，=或）： (2)若，则___________（填、或） (3)制作某产品有两种用料方案， 方案一：用4块A型钢板，用8块B型钢板： 方案二：用3块型钢板，用9块型钢板， 型钢板的面积比型钢板的面积大，若型钢板的面积为型钢板的面积为，则从省料的角度考虑，应选哪种方案？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)从省料的角度考虑，应选方案二． 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和整式的加减运算，理解题意，正确运用“求差法比较大小”的方法是解题关键． （1）利用“求差法比较大小”的方法解答即可； （2）利用“求差法比较大小”的方法解答即可； （3）先用、的代数式表示出方案一与方案二的面积，再利用“求差法比较大小”的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）方案一：用4块A型钢板，用8块B型钢板：方案二：用3块型钢板，用9块型钢板， 解：根据题意，型钢板的面积为，型钢板的面积为，型钢板的面积比型钢板的面积大，即， ∴， ∵方案一用料为：，方案二用料为：， 又∵， ∴， ∴从省料的角度考虑，应选方案二． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法： ，设 解得 问题： (1)请你依照小明的方法，估算的近似值； (2)请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、m，若，且，则_______（用含a、b的代数式表示）； (3)请用（2）中的结论估算的近似值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目信息，找出前后的两个平方数，从而确定出，再根据题目信息近似求解即可； （2）根据题目提供的求法，先求出值，然后再加上即可； （3）根据（2）中公式求出的值，代入求值即可． 【详解】（1）解：， 设， ， ， ． 解得， ； （2）设， ， ， ， 解得， ； （3）由（2）公式知，， ∴， 25．先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； 故答案为：． （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数的初步认识单元培优训练 【苏科版】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第2章 实数的初步认识，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四个数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．下图是一个数值转换器，当输入时，则输出（   ） A． B． C． D． 3．通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（   ） A．m，n均为有理数 B． C． D． 4．，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 5．的平方根是（    ） A． B． C． D． 6．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张圆形绣布，面积为51（注：取3），下列关于这张绣布半径的说法正确的是（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 9．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 10．若，则（    ） A．4 B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，为实数，其中，则的平方根是 ． 12．比较大小： 2．（填“”或“”） 13．下图所示，、、、是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是 ．    14．的平方根是 ，的算术平方根是 ． 15．若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 16．若与互为相反数，则的值为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 18．把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1），0.15，，，1016． (1)整数集合：{_____…}； (2)正分数集合：{_____…}； (3)负有理数集合：{_____…}； (4)无理数集合：{_____…}； (5)非负整数集合：{_____…}． 19．已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 20．数学课上，李老师给大家留了一个题作为课后作业：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 解：因为一个数的算术平方根为，平方根为． 所以或． ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或． 李老师检查完作业发现乐乐的答案错了，你知道哪里错了吗？请帮他写出正确的解题过程． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； (3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 22．先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 23．课本再现（人教版七下数学教材121页阅读与思考） 用求差法比较大小 学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质，可知比较两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有：当时，有：反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．这种方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，则___________Q（填，=或）： (2)若，则___________（填、或） (3)制作某产品有两种用料方案， 方案一：用4块A型钢板，用8块B型钢板： 方案二：用3块型钢板，用9块型钢板， 型钢板的面积比型钢板的面积大，若型钢板的面积为型钢板的面积为，则从省料的角度考虑，应选哪种方案？并说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法： ，设 解得 问题： (1)请你依照小明的方法，估算的近似值； (2)请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、m，若，且，则_______（用含a、b的代数式表示）； (3)请用（2）中的结论估算的近似值． 25．先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $