2.7角的和与差（第二课时）教学课件 2025-2026学年冀教版（2024）数学七年级上册

第二章 几何图形的初步认识 冀教版2025·七年级上册 2.7 角的和与差（第二课时） 复习旧知 1.计算： (1) 27° 26′ ＋53° 48′； (2) 90°－79° 18′ 6″； (3) 18° 13′× 5； (4) 49° 28′ 52″ ÷ 4. 解：27° 26′ +53° 48′ =80° 74′ =81° 14′ . 90°－79° 18′ 6″ =89° 59′ 60″ －79° 18′ 6″ =10° 41′ 54″ . 18° 13′ × 5=90° 65′ =91° 5′ . 49° 28′ 52″ ÷ 4=48° 88′ 52″ ÷ 4 =12° 22′ 13″ . 情景导入 1.若∠ 1+∠ 2=90°，∠ 1=58° 25′，则 ∠ 2的度数是(     ) A.31° 75′ B.31° 35′ C. 41° 75′ D.41° 25′ B 2.如图，是直线上一点， ， 则 的度数为_________． 两角之和为90°，两角之和为180°，那这两个角的关系我们有专门的称呼 劣弧与优弧 余角和补角 1. 余角  如果 ∠ α+ ∠ β=90 ° ，那么我们就称 ∠ α 与 ∠ β 互为余角，简称互余 . 其中， ∠ α(∠ β)叫作∠ β(∠ α) 的余角 . 数学语言：如图 ，如果 ∠ 1+ ∠ 2=90 ° ，就 说 ∠ 1 是∠ 2 的余角，或∠ 1 与∠ 2 互为余角 . 劣弧与优弧 2. 补角  如果∠ α+ ∠ β=180° ，那么我们就称∠ α 与∠β 互为补角，简称互补 . 其中， ∠ α(∠ β) 叫作∠ β(∠α) 的补角 . 数学语言：如图，如 果 ∠ 3+ ∠ 4=180 ° ，就 说∠ 3 是∠ 4 的补角，或∠ 3 与∠ 4 互为补角 . 余角和补角 劣弧与优弧 3. 邻补角  两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角称为邻补角 . 如图 ，∠ AOB 与∠ BOC 互为邻补角 . 余角和补角 知识建构 特别解读 1. 互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的. 2. 若两个角互余，则两个角都是锐角；若两个角互补，则两个角可能都是直角，也可能一个角是锐角，另 一个角是钝角. 3. 互余、互补只与数量有关，与位置无关，若将直角分成两个角，则这两个角互余，若将平角分成两个角，则这两个角互补. 例题讲解 例1 图中给出的各角，哪些互为余角？ 15o 24o 66o 75o 46.2o 43.8o 做一做 1.如果∠α=46°,那么它的余角是多少度,它的补角是多少度? 2.(1)在图(1)中,∠AOB=90°.请写出图中互为余角的角. (2)在图(2)中,∠DSE=180°.请写出图中互为补角的角. ∠ α的补角=90°－∠ α=44° 图（1）中互余的角是∠ AOC 和∠BOC， 图（2）中互补的角是∠DSF和∠ESF 例题讲解 例2 如图 ，点 O 为直线 AB 上一点， ∠ AOC= ∠ DOE=90° . (1)图中互余的角有几对？各是哪些？ (2) 图中互补的角有几对？各是哪些？ 解：图中互余的角有 4 对，分别是 ∠ 1 和 ∠ 2， ∠ 2 和∠ 3， ∠ 3 和∠ 4， ∠ 1 和∠ 4. 图中互补的角有 7 对，分别是∠ 1 和∠ BOD， ∠ 4 和∠ AOE， ∠ 3 和 ∠ BOD， ∠ 2 和 ∠ AOE， ∠ AOC 和 ∠ BOC，∠ AOC 和∠ DOE， ∠ DOE 和∠ BOC. 情境导入 （2）量一量: 用量角器量一下这两角的度数； 根据图形: （1）猜一猜: ∠1 与∠2相等吗？ ∠1与∠COB互余， ∠ 2与∠COB互余 C O B A D （3）议一议：把结论归纳一下： （4）试一试：你还能用什么方法来说明这个结论？ 相等 同角的余角相等。 1 2 情景导入 解： ∠1与∠2相等，理由如下： ∵ ∠1+ ∠BOC = 90 ° ∠2+ ∠BOC = 90° ∴ ∠1 = 90 °－ ∠BOC ∠2 = 90 ° － ∠BOC ∴ ∠1 = ∠2 如图，∠1与∠COB互余， ∠ 2与∠COB互余 则∠1与∠2相等吗？ A O B D C 1 2 同角的 余角相等 情景导入 如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余， 如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 1 2 3 4 解： ∠2与∠4相等，理由如下： ∵ ∠1﹢∠2 = 90°， ∠3﹢∠4 = 90° ∴ ∠2 = 90°─∠1， ∠4 = 90°─∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ ∠2 =∠4 等角的余角相等 劣弧与优弧 余角、补角的性质 1. 余角的性质  (1) 同角的余角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 1+ ∠ 3=90° ，那么∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的余角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=90° ， ∠ 3+ ∠ 4=90° ，且∠ 1= ∠ 3， 那么∠ 2= ∠ 4. 情景导入 如果把上面问题中的余角换成补角，相同的结论还成立吗？ 如图，∠1与∠BOC 的补角， ∠2是∠BOC 的补角。 那么∠1与∠2相等吗? 解： ∠1与∠2相等，理由如下： ∵ ∠1+ ∠BOC = 180 ° ∠2+ ∠BOC = 180 ° ∴ ∠1=180 °－ ∠BOC ∠2= 180 ° －∠BOC ∴ ∠1 = ∠2 A O B D C 1 2 同角的补角相等 情景导入 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， 如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 解： ∠2与∠4相等，理由如下： ∵ ∠1﹢∠2 = 180°，∠3﹢∠4 = 180° ∴ ∠2 = 180°─∠1， ∠4 = 180°─∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ ∠2 =∠4 等角的补角相等 1 2 4 3 劣弧与优弧 2. 补角的性质 (1) 同角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 1+ ∠ 3=180° ，那么∠ 2= ∠ 3. (2) 等角的补角相等 . 如果∠ 1+ ∠ 2=180° ， ∠ 3+ ∠ 4=180° ，且∠ 1= ∠ 3， 那么∠ 2= ∠ 4. 余角、补角的性质 特别提醒 ◆如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角. 例题讲解 例3 如图 ，直线 AB 与∠ COD 的两边OC， OD 分别相交于点 E， F，∠ 1+ ∠ 2=180° . 找出图中与∠ 2 相等的角，并说明理由 . 解：因为∠ 1+ ∠ 3=180° ， ∠ 1+ ∠ 2=180° ， 所以∠ 3= ∠ 2. 因为∠ 1+ ∠ 4=180° ， ∠ 1+ ∠ 2=180° ，所以∠ 4= ∠ 2. 因为∠ 2+ ∠ 5=180° ， ∠ 6+ ∠ 5=180° ，所以∠ 2= ∠ 6. 所以图中与∠ 2 相等的角有∠ 3， ∠ 4， ∠ 6. 本课小结 1.若 ，则 的余角为( ) C A. B. C. D. 2.若，且 ， ，则与 的数量关系是_________，理由是 ________________． 等角的补角相等 课后巩固 3.如图，是直线上的一点， . （1）图中与 互余的角有_________. ， （2）写出图中相等的角（直角除外）：_________ _____________. ， （3） 的补角是_______. 课后巩固 4.在直线上任取一点，过点作射线，，使 . 当 时， 的度数是____________. 或 课后巩固 课后巩固 4.如图，将一副三角板按不同位置摆放， 摆放方式中 与 互余的是( ) C A. B. C. D. $