平面向量基本定理及向量坐标运算讲义-2026届高三数学一轮复习

平面向量基本定理及向量坐标运算

课前学习任务

一、课标解读

1.理解平面向量基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件

 

二、必备知识

1.平面向量基本定理

 

如果e1,e2是同一平面内的两个　　　　向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=　　　　　.若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个　　　　　. 

[教材知识深化]

给定基底,同一向量的分解结果是唯一的,因此若{e1,e2}是基底,且a=λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2,则必有λ1=λ2,μ1=μ2.

2.平面向量的坐标运算

 

 

已知A(x1,y1),B(x2,y2) ,则=(x2-x1,y2-y1).

[教材知识深化]

1.的坐标是用B点的横、纵坐标减去A点的横、纵坐标得到的,既有方向的信息也有大小的信息.

2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b⇔x1=x2且y1=y2.

3.平面向量共线的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔　　 　　. 

三、自主诊断

一、基础自测

1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)平面内的任何两个非零向量都可以作为一组基底. (　　)

(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.(　　)

(3)若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0. (　　)

(4)一个平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. (　　)

2.(人教A版必修第二册6.3.4节例7改编)已知a=(2,3),b=(6,y),且a∥b,则y=　　　　　. 

3.

(人教A版必修第二册6.3.3节例5)如图,已知▱ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),求顶点D的坐标.

二、连线高考

4.(2022·全国乙,文3)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=(　　)

　　　　　　　　　　　　　

A.2 B.3 C.4 D.5

5.(2024·上海,5)已知向量a=(2,5),b=(6,k),a∥b,则k=　　　　　.