第1章 有理数 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材七年级数学上册同步备课（湘教版2024）

小结与复习 第1章 有理数 ÷ 七年级上册数学（湘教版） 2. 用正、负数表示具有相反意义的量. 1. 大于 0 的自然数和分数（或小数）就是正数； 在正数前面添上“-”(读作“负号”) 的数叫做负数； 0 既不是正数，也不是负数； 正数和 0 统称为非负数. 一、正数和负数 二、有理数 1. 正整数、零和负整数统称为整数； 正分数和负分数统称为分数； 整数和分数统称为有理数. 要点梳理 有理数 正整数 负整数 负分数 正有理数 负有理数 正分数 零 有理数 正整数 正分数 整数 分数 零 负整数 自然数 2. 有理数的分类 负分数 (1) 按定义分类 (2) 按符号分类 3. 数轴 (4) 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. (5) 任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点 来表示. (1) 画一条直线（通常把它水平放置），在直线上取一点 O ，把点 O 叫作原点，用原点表示数 0. (2) 选定直线的正方向（标上箭头）. (3) 选择适当的长度为单位长度. 4. 相反数 (1) 两个数只有符号不同，那么其中一个数叫作另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数. (2) 表示互为相反数的两个数的点，在数轴上分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等. 0 的相反数是 0. 5.绝对值 (1) 一个数的绝对值表示这个数在数轴上的对应点与原点之间的距离. 数 a 的绝对值，记作 |a|. (2) 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0. 互为相反数的两个数的绝对值相等. (3) 一般地，如果 a 表示一个数，则 ①当 a 是正数时，|a| = a； ②当 a = 0 时，|a| = 0； ③当 a 是负数时，|a| = -a. 6. 倒数 若两个有理数的乘积等于 1，则把其中一个数叫作另一个数的倒数，也称它们互为倒数，0 没有倒数. 7. 有理数大小的比较 (2) 在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大． (1) 正数大于负数，0 大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小． 三、有理数的运算 1. 有理数的加法 (1) 加法法则 两个负数相加，结果是负数，并且把它们的绝对值相加. 异号两数相加，当正数的绝对值较大时，得正数，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；当负数的绝对值较大时，得负数，并用较大的绝对值减去较小. 互为相反数的两个数相加得 0； 一个数与 0 相加，仍得这个数. (2) 加法的运算律 交换律 a+b = b+a 结合律 a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c) 2. 有理数的减法 减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 3. 有理数的乘法 (1) 乘法法则 异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘. 任何数与 0 相乘，仍得 0. 同号两数相乘得正数，并且把绝对值相乘. (2) 几个不等于 0 的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正. (3) 乘法的运算律 乘法交换律: 乘法结合律 乘法的分配律 (2) 同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并把它们的绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0. 4. 有理数的除法 (3) 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数. (1) 对于两个有理数 a，b，其中 b ≠ 0，如果有一个有理数c，使得 cb = a，那么规定 a÷b = c，且把 c 叫作 a 除以 b 的商. 5. 有理数的乘方 (1) 求 n 个相同因数的积的运算，叫作乘方. 乘方的结果叫作幂. 在 an 中，a 叫作底数，n 叫作指数. 幂 指数 底数 (2) 正数的任何正整数次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0. 特别地，a2 通常读作 a 的平方，a3 通常读作 a 的立方. 规定 a1 等于 a. (1)先算乘方，再算乘除，最后算加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如果有括号，就先进行括号里面的运算 (先小括号，再中括号，最后大括号). 6. 有理数的混合运算 四、科学记数法 (2) n 为原数的整数位数减去 1. (1) 把一个大于 10 (小于 -10) 的数表示成 a×10n 的形式，其中 a 大于或等于 1 且小于 10 (a 大于 -10 且小于或等于 -1 )，n 是正整数，这种记法就是科学记数法. 例1 如果 +4 米表示向东走 4 米，那么向西走 2 米记作 . -2 米 【解析】根据题意，可知向东记为正，向西记为负，故向西走 2 米记做 -2 米. 总结：根据相反意义合理使用正、负数对实际问题进行表示.一般情况下，把向北(东)、上升、增加、收入等规定为正，把它们的相反意义规定为负. 注意带单位 考点一 正、负数的意义 1. 下列语句中，含有相反意义的两个量是（ ） A. 盈利 1 千元和收入 2 千元 B. 上升 8 米和后退 8 米 C. 存入 1 千元和取出 2 千元 D. 超出 2 cm 和上涨 2 cm C -8 2. 上升 9 记作 +9，那么下降 8 记作 . 针对训练 例2 判断：①不带“－”号的数都是正数 （ ） ④一个有理数不是正数就是负数 （ ） ⑤ 0 ℃ 表示没有温度 （ ） ②如果 a 是正数，那么－a 一定是负 （ ） ③不存在既不是正数，也不是负数的数（ ） × × × × √ 【解析】① 0 不带“－”号，但 0 不是正数，故①错误； 考点二 正、负数的概念 ②正数的相反数是负数，故②正确； ③同①，故③错误； ④同③，故④错误； ⑤ 0 ℃ 并不是表示没有温度，它是介于正温度与负温度之间，故⑤错误. 16 0 既不是正数也不是负数，0 的相反数是它本身. 0 不仅能表示没有，而且表示正、负之间的分界值. 方法总结 例3 将下列各数分别填入下列相应的圈内： 正数 负数 整数 分数 3.5， | -2 |， 0.5 -3.5 ，-2， 0 ，| -2 | ，-2 3.5， 0.5 -3.5， 3.5，-3.5，0 ，| -2 |，-2 ， ， ，0.5 ... ... ... ... 考点三 有理数的分类 3. 在 +3.5，0，11，-2， ，-0.7 中，负分数有 个. 2 【解析】负分数不仅是负数而且是分数，注意小学学过的小数也属于分数. 故只有 2 个. 针对训练 例4 填表 数 相反数 倒数 绝对值 3.5 | -2 | 0 -3.5 -2 0.5 -3.5 3.5 -2 0.5 2 0 没有 0 3.5 3.5 2 -0.5 2 -0.5 2 0.5 -3 考点四 相反数、倒数、绝对值 4. 的倒数是 ； 的相反数是 ； -3 –5 的绝对值是 . 5 针对训练 考点五 数轴 例5 请你将下面的数在数轴上表示出来： 解：表示如下： -4 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 3.5 -3.5 0 | -2 | -2 0.5 3.5，-3.5，0 ，| -2 |，-2 ， ， ，0.5. 5. 在数轴上，点 A 所表示的数为 2，那么到点 A 的距离等于 3 个单位长度的点所表示的数是________. -1 或 5 针对训练 考点六 有理数比较大小 例6 请你将下面的数用“＞”连接起来： 解法一：将各数在数轴上表示出来，右边的大于左边的，然后从大到小排列 3.5，-3.5，0 ，| -2 |，-2 ， ， ，0.5. -4 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 3.5 -3.5 0 | -2 | -2 0.5 3.5＞| -2 |＞0.5＞0＞ ＞ ＞-2＞-3.5 解法二：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 6. 某日零点，北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是 -4℃、5℃、6℃、-8℃，当时这四个城市中气温最低的是 ( ) A．北京 B．上海 C．重庆 D．宁夏 D 3.5＞| -2 |＞0.5＞0＞ ＞ ＞-2＞-3.5. 针对训练 25 考点七 科学记数法 例7 将数13 445 000 000 000 km 用科学记数法表示 为_____________m. 1.3445×1016 注意单位变化 7. 某年末上海市常住人口总数为 2615.27万人，用科学记数法表示为 人. 2.61527×107 针对训练 例8 计算： 考点八 有理数的运算 1. 把减法转化为加法时，要注意符号． 2. 对几个有理数相加减的题目，要注意观察，将哪些数放在一起会使计算简便. 解： 注意符号问题 = 21 - 27 + 30 - 10 = 14. 先确定商的符号，再把绝对值相除 = -2×12×12 = -288. 注意：1. 底数是带分数时，要先将带分数化成假分数. 2. 区分 (-24) 与 (-2)4. 8. 计算： 答案：(1) -17. (2) 33. (3) -3.3. (1) -3 + 8 - 7 - 15； (2) 23 - 6×(-3) + 2×(-4)； 针对训练 整数 分数 负分数 正分数 正有理数 负有理数 0 有理数 0 正整数 负整数 有 理 数 数轴 比较大小 相反数 点与数的对应 绝对值 倒数 科学记数法 课堂小结 有理数 运算 减法 加法 乘法 乘方 除法 交换律、结合律 法则 运算律 转 化 加法 乘法 混合运算 按顺序进行 转 化 交换律、结合律、分配律 见教材章末练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $