第二章一元二次方程单元检测（二） 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2025年北师大九年级上册第二章一元二次方程单元检测（二）难 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程一定是关于x的一元二次方程的是() A.3x2+2-1=0 B.5x2-6y-3=0 C.ax2-x+2=0 D.(a2+1)x2+bx+c=0 2.已知关于x的方程kx2+(1一x-1=0,下列说法正确的是() A.当k=0时，方程无解 B.当k=1时，方程有一个实数解 C.当k=一1时，方程有两个相等的实数解 D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解 3.某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜.如图，试验田 一面靠墙，墙长35m,另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）设试验 田垂直于墙的一边AB的长为xm,则下列所列方程正确的是() A.x(49+1-x)=200 B.x(49-2x)=200 C.x(49+1-2x)=200 D.x(49-1-2x)=200 B 4.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为1和-2，那么方程a(x-1)2+b(x 1)=-c的解为(). A.X=-1 B.X=0 C.X=-1或x=2D.X=-2或x=0 5.已知实数a≠b,且满足(a+1)2=3-3(a+1),3b+1)=3-+12,则b会+a的值为() b A.23 B.-23 C.-2 D.-13 6.小刚在解关于x的方程2ax2-bx+2=0(a≠0)时，将其抄成了2ax2+bx+2=0,得到一个解是x=-2, 则原方程的根的情况是() A.不存在实数根 B.有两个实数根 C.有一个根是x=-2 D.不确定 7.欧几里得的《原本》记载，形如x2+Qx=b2的方程的图解法是：画Rt4ABC,使LACB=90°，BC-2 AC=b,再在斜边AB上截取BD=?则该方程的一个正根是() 第1页，共5页 A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长 8.《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如x(x+6)=16的方程的正数解，方法：如图，将四个长 为x+6,宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为16×4+36=100， 边长为10，故得x(x+6)=16的正数解为x=10,6=2.小明用此方法解关于x的方程x2+mx一n=0时， 2 构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则() A.m=2,n=3 Bm=罗n=2 c.m=多n=2 Dm=2,n-号 9.如图，将一张正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这 个正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为() A.⑤+1 B.⑤+1 C⑤+1 D.⑤+1 2 3 4 5 10.定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[-1.4=-2，[-3]=-3.函数y=[x(-2≤x<3) 的图象如图所示，则方程[=x2的解为x=（) -2 A.0或√2或2 B.0或√2 C.1或-√2 D.V2或-V√2 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若m为实数，P=-m2-m+1,Q=m2-5m+4,则比较P,Q的大小可得 12.已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2024的值为 13.已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0,则代数式x2-x+1的值是 第2页，共5页 14.某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出据市场调查： 每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个.已知每个玩具 的固定成本为360元.若该厂家每天想要获利20000元，则这种玩具的销售单价为_元. 15.新定义：关于x的一元二次方程a1(x-m)2+k=0与a2(x-m)2+k=0称为“同族二次方程”如 2(x-3)2+4=0与3(x-3)2+4=0是“同族二次方程”现有关于x的一元二次方程2(x-1)2+1=0 与(a+2)x2+(b-4④x+8=0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 16.用适当的方法解下列方程： (1)x(2-x)=x2-2: (2)(2x+5)2-3(2x+5)+2=0. 四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题9分)已知关于x的方程x2一2x+2k-1=0有实数根. (1)求k的取值范围； (2)设方程的两根分别是x1、x2,且+兰=x1·x2,试求k的值. “X1 x2 18.(本小题9分)某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感 染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染 后，被感染的电脑会不会超过700台？ 第3页，共5页 19.(本小题9分)如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始，沿边AB向终点B以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始，沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动如果点P,Q分别从点A,B 同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为ts. (1)填空：BQ=cm,PB=cm.(用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm? (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明 理由. 20.(本小题9分)【阅读材料】若x2+y2+8x-6y+25=0,求x,y的值. 解：x2+y2+8x-6y+25=0, ∴.(x2+8x+16)+y2-6y+9)=0,即(x+4)2+y-3)2=0, ∴x+4=0,y-3=0,x=-4,y=3. 【解决问题】己知a,b,c是△ABC的三边长，且b,c满足b2+c2=8b+4c-20,a是△ABC中最长的边， 求a的取值范围. 21.(本小题9分)某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发 现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个. (1)若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？ (2)在(1)的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ (3)这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由. 第4页，共5页 22.(本小题10分)综合与实践 项目主题：设计小区停车场扩建方案。 项目背景：随着生活条件的改善，某小区停车场不能满足业主的需求，学校综合与实践活动小组以“设计 小区停车场扩建方案”为主题开展了项目学习. 数据信息（如图1所示）： 信息1，原停车场的长AB为35m,宽AD为15m. 信息2，扩建后的长AE最大为48m,宽AG最大为20m. BE 原停车场 原停车场 图1 图2 问题解决： (1)如图1，若将原停车场的长、宽增加相同的长度后，得到一个面积为800m2的新停车场，求新停车场的 长与宽 (2)如图2，当BE=3DG时，新停车场的面积可以为1000m2吗？请说明理由. 23.(本小题10分)请阅读下列材料： 问题：已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：设所求方程的根为y,则y=2x, 所以把x=代入已知方程，得份+兰-1=0. 化简，得y2+2y-4=0.故所求方程为y2+2y-4=0. 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”· 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）， (1)已知方程x2+3x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数. (2)己知关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使 它的根分别是己知方程根的倒数 第5页，共5页 参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】解： ， 整理，得， ， ， ，． ， ， 或， ，．   17.【答案】解：原方程有实数根， ， ； ，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： ，， 又， ， ， ， 解之，得：经检验，都符合原分式方程的根， ， ．  18.【答案】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑． 根据题意，得，整理，得， 解得，不符合题意，舍去． ． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑；轮感染后，被感染的电脑会超过台．   19.【答案】【小题】    【小题】 由题意，得，解得，． 当或时，的长度等于． 【小题】 当时，能够使得五边形的面积等于理由如下： 由题意，得矩形的面积为， 若五边形的面积等于， 则的面积为． ，解得不符合题意舍去，． 当时，五边形的面积等于．   20.【答案】【解】，，，，，，，是中最长的边，．  21.【答案】解：设每个背包的售价为元，则月均销量为个， 依题意，得：， 解得：． 答：每个背包售价应不高于元． 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：当这种背包销售单价为元时，销售利润是元． 依题意，得：， 整理，得：． ， 该方程无解， 答：这种背包的销售利润不可能达到元．  22.【答案】【小题】 解：设将原停车场的长增加，则新停车场的长为，宽为根据题意，得，整理，得解得，不符合题意，舍去，答：新停车场的长为，宽为． 【小题】 当时，新停车场的面积不能为理由如下：假设新停车场的面积可以为，设，则根据题意，得，整理，得解得，不符合题意，舍去当时，，不符合题意，舍去，假设不成立．当时，新停车场的面积不能为．   23.【答案】【小题】 解：设所求方程的根为，则把代入方程，得所求方程为． 【小题】 设所求方程的根为，则把代入方程，得，整理，得所求方程为．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年北师大九年级上册第二章一元二次方程单元检测（二）难 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程一定是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.已知关于的方程，下列说法正确的是(    ) A. 当时，方程无解 B. 当时，方程有一个实数解 C. 当时，方程有两个相等的实数解 D. 当时，方程总有两个不相等的实数解 3.某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门不包括篱笆设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是  (    ) A. B. C. D. 4.若关于的一元二次方程的两个实数根为和，那么方程的解为． A. B. C. 或 D. 或 5.已知实数，且满足，，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.小刚在解关于的方程时，将其抄成了，得到一个解是，则原方程的根的情况是  (    ) A. 不存在实数根 B. 有两个实数根 C. 有一个根是 D. 不确定 7.欧几里得的原本记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取则该方程的一个正根是(    ) A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 8.周髀算经中有一种几何方法可以用来求形如的方程的正数解，方法：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片面积为拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为，故得的正数解为小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 9.如图，将一张正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为(    ) A. B. C. D. 10.定义表示不超过实数的最大整数，如，，函数的图象如图所示，则方程的解为  (    ) A. 或或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若为实数，，，则比较，的大小可得          ． 12.已知是方程的根，则式子的值为__________． 13.已知实数满足，则代数式的值是_________ 14.某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出据市场调查：每个玩具按元销售时，每天可销售个若销售单价每降低元，每天可多售出个已知每个玩具的固定成本为元若该厂家每天想要获利元，则这种玩具的销售单价为          元 15.新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是          ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 16.用适当的方法解下列方程： ； ． 四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分已知关于的方程有实数根． 求的取值范围； 设方程的两根分别是、，且，试求的值． 18.本小题分某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，轮感染后，被感染的电脑会不会超过台？ 19.本小题分如图，在矩形中，，，点从点开始，沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始，沿边向终点以的速度移动如果点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动设运动时间为 填空：           ，           用含的代数式表示 当为何值时，的长度等于？ 是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 20.本小题分【阅读材料】若，求，的值． 解：， ，即， ，，，． 【解决问题】已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围． 21.本小题分某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为元时，月均销量为个，售价每增长元，月均销量就相应减少个． 若使这种背包的月均销量不低于个，每个背包售价应不高于多少元？ 在的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是元？ 这种背包的销售利润有可能达到元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 22.本小题分综合与实践 项目主题：设计小区停车场扩建方案． 项目背景：随着生活条件的改善，某小区停车场不能满足业主的需求，学校综合与实践活动小组以“设计小区停车场扩建方案”为主题开展了项目学习． 数据信息如图所示： 信息，原停车场的长为，宽为． 信息，扩建后的长最大为，宽最大为． 问题解决： 如图，若将原停车场的长、宽增加相同的长度后，得到一个面积为的新停车场，求新停车场的长与宽． 如图，当时，新停车场的面积可以为吗？请说明理由． 23.本小题分请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则， 所以把代入已知方程，得． 化简，得故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程要求：把所求方程化为一般形式． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数． 已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $