第二章 一元二次方程 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

本章综合提升（答案P12) 本章知识归纳 定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 (a,b,c为常数，a≠0)的形式， 这样的方程叫做一元二次方程 一般形式： (a,b,c为常数，a≠0)，其中 分别称为二次项 一次项和常数项 直接开平方法：根据平方根的意义，利用 解一元二次方程的方法叫做直接开平方法 配方法：通过配成 的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程 的方法称为配方法 公式法：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4bc≥0时，它的根是 解法 这个式子称为一元二次方程的求根公式，用 解一元二次方程的方法称为公式法 元二次方程 〔4>0时，方程有两个 的实数根 根的判别式：4=b2-4ac 4=0时，方程有两个」 的实数根 (△<0时，方程实数根 因式分解法：当一元二次方程的一边为」 ，而另一边易于分解成两个一次因式的时， 可用解两个一元一次方程的方法求得一元二次方程的解这种解一元二次方程的方法称为因式 分解法 根与系数的关系：如果a2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,2,那么x1十x2= x1X2= “步骤：审、设、列、解、验、答 应用 (几何图形问题与古代数学问题 类型 利润问题与增长率问题 其他问题 思想方法纳 【变式训练1】解方程：(x一1)2=9(2x+5)2 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 1.转化思想 白链接本章一 本章的转化思想主要体现有：(1)将未 知转化为已知；(2)把一元二次方程转化为 一元一次方程求解；(3)将特殊转化为一般， 一般转化为特殊。 y 【例1】解方程：3(2x-3)2=2(2x-3), -九年级：上册数学，BS 54 2.分类讨论思想 【例3】几何直观》学校为了美化校园环 “链接亦章… 境，计划在一块长16m、宽10m的矩形空地上， 方程的不确定性的分类讨论和根据根 修建一个矩形花坛，要求在花坛中修两条纵向平 的判别式对三角形不确定性的分类讨论 行和一条横向弯折的小道（如图所示），剩余的地 、-》 方种植花草.要使种植花草的面积为126m2,那 【例2】解方程：(a-1)x2-2ax十a=0. 么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小 道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形) 【变式训练2】已知关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+3k=0. (1)求证：不论k取何实数，该方程总有实 数根. 【变式训练3】应用意识某超市以每千克 (2)若等腰三角形ABC的一边长为2，另两 40元的价格购进某种干果，计划以每千克60元 边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长. 的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价 销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降 价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系，其 图象如图所示 (1)求y与x之间的函数关系式 (2)当每千克干果降价4元时，超市获利多 少元？ (3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得 更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ ↑/千克 160 100- 3.数形结合思想 02 5 x/元 :白链接本章… 本章常见的数形结合思想表现在利用 一元二次方程解决几何图形和一次函数 问题. 55 优计学案·课时通一 通模拟22 6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但 一天产量减少5件. 1.(宿迁模拟)下列方程是一元二次方程的 (1)若生产的是第三档次的产品时，每件利润 是() 为 A.x2+4=0 (2)若生产第x档次的产品一天的总利润为 B.x2-3=(x+2)(x+3) 1120元，则该产品的质量档次为第 C.-4 档次， 10.运算能力》解方程： D.xy+2x=1 (1)x(x-2)=x-2; 2.(西安模拟)下列方程没有实数根的是( A.x2-x-2=0 B.x2-2x+1=0 C.x2=4 D.x2-x+1=0 3.(深圳坪山区一模)解一元二次方程x2一2x= 4,配方后正确的是( A.(x+1)2=6 B.(x-1)2=5 (2)x2-4x-5=0; C.(x-1)2=4 D.(x-1)2=8 4.(成都青羊区期中)根据表格中的数据，估计一 元二次方程ax2十bx十c=6(a,b,c为常数， a≠0)一个解x的范围为( 0.511.523 ax2+b.x+c2818104-2 (3)x2-x-2=0; A.0.5<x<1 B.1<x<1.5 C.1.5<x<2 D.2<x<3 5.(永州模拟)以一2和3为根且二次项系数为1 的一元二次方程是 6.(2023·长春期中)若m是一元二次方程x2 x一2023=0的一个根，则m2-m+1的值 (4)x2+4x-1=0. 是 7.(2023·福州仓山区期中)若关于x的一元二 次方程mx2+3x+2=0有两个不相等的实数 根，写出一个满足条件的实数m的值为 8.(2023·洛阳洛龙区期中)已知等腰三角形的 两边长分别是方程x2一8x十15=0的两根，则 此等腰三角形的周长为 9.(2023·石家庄裕华区月考)某工厂生产的某 种产品按质量分为10个档次，第一档次（最低 档次)的产品一天能生产95件，每件利润 一九年级·上册·数学，B5 56 11.(2023·福州期中)已知关于x的一元二次方 14.(2023·枣庄中考)若x=3是关于x的方程 程x2+(m+2)x+m=0. a.x2-bx=6的解，则2023-6a+2b的值 (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不 为 相等的实数根」 15.(2023·东营中考)如图所示，老李想用长为 (2)若x1,x2是原方程的两根，且xx2+ 70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够 x1x2=一3，求m的值. 长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上 留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材 料) (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成 一个面积为640m2的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能， 请你给出设计方案；如果不能，请说明理由， D BEF 通中考》9999》 12.(2023·阜新中考)近年来，由于新能源汽车 的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的 下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃 油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售 价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均 下降率是x,则所列方程正确的是() A.16(1+x)2=23 B.23(1-x)2=16 C.23-23(1-x)2=16 D.23(1-2x)=16 13.(2023·赤峰中考)用配方法解方程x2 4x一1=0时，配方后正确的是() A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17 57 优计学案·课时通一③当3<x≤4时，点M在线段OC上，点N在线段OD上， 解得n1=20,n2=一25（舍去）. 有2(2x-4)(x-3)=2,解得x1=1(舍去)，x2=4, ∴.此时n的值为20. (4)不存在.理由如下： ∴x=4. 在第n个图中，白瓷砖块数可表示为n(n十1). 综上所述，出发后1s或4s时，S△MoN=12S装形ABcD, 当黑白瓷砖块数相等时，有方程n(n十1)=(n十3)(n+2) n(n+1). 第2课时利润问题与增长率问题 整理，得n2-3n一6=0. 1.A2.(40-x)(30+6x)=2100 3.解：(1)①30-x②20+5x 解得m1-3+)y3,m-3二y丽 2 2 (2)根据题意，得(30-x)(20+5x)=1200,整理，得(x一 由于m1的值不是整数，n2的值是负数，故不存在黑瓷砖与 6)(x-20)=0,解得x=20或x=6.:超市要尽快减少库 白瓷砖块数相等的情形. 存，∴.每箱应降价20元. 专题四一元二次方程与其他知识的综合运用 4.D5.20% 6.解：设2021年到2023年该校购书费用的年平均增长率为x, 1B2.B329米 则根据题意得10000(1十x)2=14400, 4.解：(1)由题意，得AP=tcm,PC=(6-t)cm,CQ=2tcm, 解得x=0.2,或x=一2.2（舍去）， ,∴.2021年到2023年该校购书费用的年平均增长率为20%. 24≤8，则号×2(6-)=5,4≤4.整理，得2-6t十5=0，解 7.118.D 得t1=1,t2=5(舍去)..当t为1时，△PCQ的面积为 9.解：(1)设该商品平均每月的价格增长率为m,依题意，得 5 cm. 50(1+m)2=72,解得m1=0.2=20%,m2=-2.2(不合题 (2)不存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积 意，舍去). 1 答：该商品平均每月的价格增长率为20%. 的一半，理由：由题意，得SaAc=2×AC·BC=2×6X (2)依题意，得(x-40)[188+(72一x)]=4000,整理， 得x2-300x十14400=0，解得x1=60,x2=240.:商家需 8=24(cm,即2×2×(6-)=合×24，整理，得2-6+ 尽快将这批商品售出，x=60.答：当x为60时，商品每月 12=0,△=（一6）2一4×12=一12<0，该方程无实数根，故不 的利润可达到4000元. 存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半. 10.解：(1)设2021年到2023年该品牌足球单价平均每年降低 5.30或32 的百分率为x. 6.解：设道路的宽应为x米，根据等量关系列方程，得(50一2x)· 根据题意，得200×(1一x)2=162,解得x1=0.1=10%, (38-2x)=1260,整理，得x2-44x十160=0，解得x1=4, x2=1.9(舍去). x2=40(舍去).答：道路的宽应为4米。 答：2021年到2023年该品牌足球单价平均每年降低的百分 7.A.8.A 率为10%. 9.解：(1)y=一20x+8 (2)买90个赠9个，再多买1个，共买91个，即可得到 100个， （2)根据题意，得(x-40)(-+8）-120=5。 在A商场购买足球需要的费用为 解得x1=90,x2=110. 162×91=14742(元). x≤100， 在B商场购买足球需要的费用为 .x=90. 162×100×80-14580(元). 答：当年的销售单价为90元. 14742>14580. 本章综合提升 答：去B商场购买足球更优惠。 【本章知识归纳】 第3课时利用一元二次方程解决其他问题 ax2十bx+c=0 a.x2十bx十c=0ax2bxc直接开平方 1.C2.B3.B4.C5.C6.C7.C8.119.D10.9 -b±√b2-4ac 完全平方式x 11.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌」 2a 求根公式不相等相等 根据题意，得60(1+x)2=24000. 没有0乘积 解得x1=19,x2=一21（不合题意，舍去）. 【思想方法归纳】 ∴.每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌。 【例1】思路分析：利用因式分解法解一元二次方程即可. (2)经过三轮培植后，得60(1十19)3=60X203=480000(个). 解：3(2x-3)2=2(2x-3),3(2x-3)2-2(2x-3)=0,(2x- .经过三轮培植后共有480000个有益菌」 12.解：设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x+3), 3)(6x-9二2)=0,2x-3=0或6x-11=0,解得x1=), 根据题意，得[10(x+3)+x](10x+x+3)=1300, 11 整理，得x2十3x-10=0, x26 解得x1=-5(不符合题意，舍去)，x2=2, 【变式训练1】 ∴.10(x+3)+x=10×(2+3)+2=52. 解：(1)(x-1)2=9(2x+5)2,x-1=±3(2x+5),x-1= 答：这个两位数为52. 16 13.解：(1)(n+3)(n+2) 3(2x+5)或x-1=-3(2x+5)x1=-5x2=-2. (2)y=(n+3)(n+2). 【例2】思路分析：首先分a为1与a不为1两种情况考虑，当a (3)由题意，得(n+3)(n+2)=506, 不为1，根的判别式大于等于0时，利用求根公式求出解；根的 12 判别式小于0时，方程无解. 故m的值为一3或1. 解：0当a=1时，原方程化为-2x十1=0，即x=号 12.B13.C14.2019 15.解：(1)设矩形ABCD的边AB为xm,则边BC为70 ②当a≠1时，二次项系数为a一1，一次项系数为-2a,常数项 2x+2=(72-2x)m. 为a, 根据题意，得x(72-2x)=640, 当4=4a2-4a(a-1)=4≥0，即a≥0时，x=2a±26 化简，得x2-36x+320=0, 2(a-1) 解得x1=16,x2=20. a±va 当x=16时，72-2x=72-32=40, a-1: 当x=20时，72-2x=72-40=32. 当△<0，即a<0时，方程无实数根. 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m 【变式训练2】 时，能围成一个面积为640m的羊圈. 解：(1)证明：△=[一(k+3)]2一4×3k=(k一3)2≥0，故不论k (2)不能. 取何实数，该方程总有实数根. 理由如下：由题意，得x(72一2x)=650, (2)当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则 化简，得x2-36x十325=0， (k一3)2=0，解得k=3,方程为x2-6x十9=0，解得x1=x2= △=(-36)2-4×325=-4<0， 3,故△ABC的周长为2+3+3=8； ∴一元二次方程没有实数根. 当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，方程为x2一5x十 ∴，羊圈的面积不能达到650m2. 6=0,解得x1=2,x2=3, 第三章概率的进一步认识 故△ABC的周长为2+2+3=7. 【例3】思路分析：设小道进出口的宽度应为x米，由平行四边形 1用树状图或表格求概率 的面积=底X高可将两个平行四边形的面积转化为矩形的面 第1课时画树状图法和列表法 积，将图中小道移到边上可得出剩余部分为长(16一2x)米、宽 (10一x)米的矩形，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的 1.B2.2 一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论」 3.解：1)1 解：设小道进出口的宽度应为xm,依题意，得(16-2x)(10 x)=126,整理，得x2-18x十17=0， (2)画树状图如图所示， 解得x1=1,x2=17(不合题意，舍去). 开始 答：小道进出口的宽度应为1m. 第1个球 【变式训练3】 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=x十b(k≠0)，将(2， 第2个球1。 100),5,160)代人y=k红+6，得6解得660 一共有16种等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第 (5k+b=160, 1次摸到的小球编号大1出现了3次，.P(第2次摸到的小 y与x之间的函数关系式为y=20x十60(0<x<20). 球编号比第1次摸到的小球编号大1)=6 3 (2)(60-4-40)×(20×4+60)=16×140=2240(元). 答：当每千克干果降价4元时，超市获利2240元. (3)根据题意，得(60一x-40)(20x十60)=2400， 4.A5.0 整理，得x3一17x十60=0， 解得x1=5,x2=12. 6.解：(1)3 又，要让顾客获得更大实惠，∴.x=12. (2)列表如下： 答：这种干果每千克应降价12元. 、小明 【通模拟】 2 5 6 小华 1.A2.D3.B4.C 5.x2-x-6=06.20247.1(答案不唯一)8.11或13 2 (2,2) (5,2) (6,2) (8,2) 9.(1)10元(2)六 10.解：(1)x(x-2)-(x一2)=0，(x-2)(x-1)=0,x一2=0， 5 (2,5) (5,5) (6,5) (8,5) 或x-1=0,.x1=2,x2=1. 6 (2,6) (5,6) (6,6) (8,6) (2)x2-4x-5=0,(x-5)(x+1)=0,x-5=0,或x+1 P (2,8) (5,8) (6,8) (8,8) 0,∴.x1=5,x2=-1. (3)x2-x-2=0,(x-2)(x十1)=0，x-2=0,或x十1= 一共有16种等可能的结果，其中小华抽出的牌上的牌面数字 0,.x1=2,x2=-1. 比小明抽出的牌上的牌面数字大的结果有6种，则小华抽出 (4)x2+4x-1=0,x2+4x=1,x2+4x+4=1+4,(x+2)2= 的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率是 63 5,x=-2±5，.x1=-2+5,x2=-2-5. 16=8· 11.解：(1)证明：：△=(m+2)2-4m=m2+4>0,∴无论m取 2 何值，原方程总有两个不相等的实数根。 1. 8.B9.2 (2):x1,x2是原方程的两根，，x1十x2=-(m十2)，x1x2= 10.解：(1)随机地摸出一张纸牌共有3种等可能的结果，纸牌 m..'xix2十x1x=-3,.x1x2（x1十x2)=-3, A,B的牌面图形是轴对称图形，所以摸出纸牌的牌面图形 .m[-（m十2)]=-3，即m2+2m-3=0,解得m=-3 或1. 是轴对称图形的概率是？。 3 13