“集合，简易逻辑，不等式，函数，导数及其应用”跟踪训练-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

演练篇核心考点演练中学生数理化 高三数学2025年9月 》 “集合、简易逻辑、不等式、 函数、导数及其应用” 跟踪训练 ■安徽省霍邱一中 余其权（特级教师） 一、单选题 8.设函数f(x)=x2一lnx一a,若存在 1.已知集合A={x|1-x≥0}，B= b {-1,0,1,2,3},则A∩B=( [是，]w)∈[学，使得fLro A.{-1,0} B.{-1,0,1} =b成立，则实数a的取值范围是( C.{2,3} D.{1,2,3} A[--n÷2-2] 4 2.已知a十b三2，a>0,b>0,则与十b B.[1,2-ln2] 的最小值为( )。 C.[o,2-ln2] A.9 B号 C.4 D.6 no,-n] 1 二、多选题 3.函数f(x)=3x3-x2在区间[0,3] 9.定义在[-1,3]上 上的最小值是( )。 的函数f(x)的导函数 A一号 C.0 D.1 f'(x)的图像如图2所示， 则下列结论正确的是 4.已知集合A={x|x=k·180°+ ( )。 图2 (-1)·90°，k∈Z},B={aa=2k·180°十 A.函数f(x)在(1， 90°，k∈Z},则集合A与B的关系是( )。 3)上单调递减 A.A=B B.A手B B.函数f(x)在[一1,1]上单调递诚 C.A吴B D.A∩B=) C.函数f(x)在x=1处取得最小值 5.已知数列{an}满足a1=2且am+1= D.函数f(x)在x=0处取得极大值 man十2m,则“数列{an}为等差数列”是“m= 10.下列四个命题中，正确的是( )。 1”的( )o A.若ac2<bc2,则a>b A.必要不充分条件 B.若a>b>0,c<d<0,b>|c|,则 B.充要条件 C.充分不必要条件 产+品 b+c D.既不充分也不必要条件 C.已知-1≤a十b≤4,2≤a-b≤3，则 6.函数f(.x)=(|4-x2|-4)1n(4-x2) 的图像大致为图1中的( )。 ≤3a-2h<号 9 D.已知a,b,c,d∈R,若bc-ad>0, 女碎 M>0.则“安← d 11.已知函数f(x)=x3十ax2十bx十c 图1 有3个零点和2个极值点，则( )。 6 A.f(x)的3个零点之和等于a 7.若实数a,b满足1n(2a-b)十 B.f(x)的3个零点之积等于一c 21n(一a)=0,则a-b=()。 C.(x)在3个零点处的切线的斜率之 A.2 e B.e C.Be D.2e 和大于零 D.f(x)的3个零点和2个极值点的算 45 中学生数理化 演练篇核心考点演练 高三数学2025年9月 术平均数相等 参考答案及提示 三、填空题 一、单选题 12.不等式二≤1的解集为 1.B2.B3.A4.A5.A6.A 7.D 13.已知函数f(x)=(x一1)3十2，数列 8.C提示：对f(x)求导得f'(x)=2 {an}是公差不为0的等差数列，若f(a1)+ 1_2x-1 f(a2)十…十f(am)=18,则a1十a2十…十 由f(x)>0,得x>,所 2 a0= 14.已知函数f(x)=a√4x-I十e十b 以数x)在+)上单调递增又 有零点，则a2十b的最小值为一。 6∈[层2o)e[层，]若fb)≥6，则 四、解答题 15.已知集合A={x1一ax1十a}, f[f(b)]f(b)>6,f(f[f(b)])>f(b)> B={x|x2-x-6≥0}。 b;若f(b)<b,则f[f(b)门<f(b)<b, (1)当a=2时，求AU(C.B); f{f[f(b)]}<f(b)<b。所以f{[f(b门) (2)若a>0,且“x∈A”是“x∈CRB”的 =b,即当b [层2时必有f)=6 充分不必要条件，求实数a的取值范围。 1nb-a=b,整理得a=b2-1nb-b。令 16.记关于x的方程|x2十ax+b|=2 (a,b∈R)的解集为M,且M恰有3个元素。 g(b)=b2-lnb-b,b∈ [层2则g6) (1)证明：a2-4b=8; (2)若以M中的元素为边长的三角形恰 26-名-1-6-1626+ b 。令g'(b)=0, 好为直角三角形，求a,b的值。 解得b=1,b=一 1 17.已知f(x)=a+十ar-a'(a>0 （舍）。所以当b∈ 且a≠1)是偶函数。 [层，]时g6)<0gb)在[子]上单调 (1)求f(x)的解析式； 递减；当b∈[1,2]时，g'(b)>0,g(b)在[1， (2)求f(x)的值域： (3)若f(x)m(2一2)对任意的x∈ 2]上单调递增。所以g(b)mm=g(1)=0。又 [1,十∞)恒成立，求m的取值范围。 g(经）=一是+n专<g(2)=2-1n2,即 18.已知定义在R上的奇函数f(x)= a=g(b)∈[0,2-ln2]。 3-a b·3*+19 二、多选题 9.AD 10.CD (1)求实数a,b的值； (2)用定义法证明：f(x)在R上单调递增； 11.BCD提示：由题设，令3个零点为 (3)若对任意的x∈[一1,2]，关于x的 x1,x2,x3,则f(x)=(x-x1)(x-x2)(x 不等式f(x2-kx-5)十f(2x十1)≤0恒成 xa)=x3-(x1十x2十x3)x2十(x1x2十x1x3 立，求实数k的取值范围。 十x2xg)x-x1x2x&。又f(x)=x3十a.x2十 19,已知函数f(x)=a+1-lnx bx十c,则x1十x2十xg=一a,x1x2x3=一C, x 以A错误，B正确；求导得f'(x)=3x2十 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点 2ax+b,显然△=4a2-12b>0,即a2-3b (1,f(1))处的切线方程； (2)当a=0时，直接写出f(.x)的单调区间； 0,若2个极值点为mm,则m十n=一智，放 (3)当a=e时，对任意的x>0,都有 十十2=一=十”，所以D正确，3 3 3 2 f(）-(m十1D≥1，求m的取值范图。 个零点的斜率之和为'(x1)十f'(x2)十 46 学核心旁年清件中学生凝理化 f'(x3)=3(x1+x员+x)+2a(x1+x2+x3) 16.(1)原方程等价于x2十ax十b=2或 +3b,又x1x2+x1xa+x2x3=b,且(x1十x2 x2十ax十b=-2,即x2十ax十b-2=0或 十x3)2=x1+x号十x十2x1x2+2x1x3十 x2十a.x+b+2=0。 2x2x3,所以x1十x十x=(x1十x2十x3)2一 因为关于x的方程|x2十ax十b|=2(a, 2(x1x2+x1x十x2x3)=a2-2b,所以 b∈R)的解集为M,且M恰有3个元素，所 f'(x1)+f'(x2)+f'(xa)=3a-6b-2a2+ 以方程x2十a.x十b-2=0或x2十ax十b十2 3b=a2一3b>0,所以C正确。 =0均有实数根，由求根公式可得x1= 三、填空题 -a-V√a'-4b+ ,x,=a十Va-4h+8 2 12.[-1,1)13.9 14.号 提示：函数f(x)的定义域为 =a-合08k,-一a+a08 2 [子，+)：设：是r(x)在[子+)上的 由于△1=a2-4b+8>a2-4b-8=△2， 所以当△，=0时，M恰有3个元素，即a2一 零点，可得a√4t一I+e十b=0,即√4t一1a 4b=8。 +b十e=0,即点(a,b)在直线√4t-1x十y (2)由1)知6=8，原方程等价于 4 十e=0上。a2十b2可理解为点(a,b)到原 点的距离的平方，所以原点到直线的距离一 x十ax十行-4=0或x2十ax+=0,则两 定小于等于点(a,b)到原点的距离，即 个方程的3个根分别为一号一2，一受+2， √a2+b≥ e 二在t∈ W(√4t-T)2+14 a 2 [片十e)上德成立，即。2+6≥若在（∈ 若它们是直角三角形的三边，则(-号) [片十)上能成立。令g)云则g() +(-号-2)-（-号+2)，且a≠0，解得 =e"(2t-1) At ,令g()=0,解得1=2。所 a=-16,b=62。 以当t∈ [子，)时，g:)<0g)单调递 17.(1)因为f(x)=(a-1)a十a-x是 偶函数，所以f(一x)=f(x),即(a一1)a 减；当t [2,+6∞)时g')≥0，g:)单调 十a=(a一1)a十a,整理得(2-a)(a a)=0。因为a一ax=0不恒成立，所以 递增。所以当=时，g()。=g() 2-a=0,即a=2,所以f(x)=2十2。 (2)f(x)=2+2+≥2√2x·2=2, 乞，即a十b的最小值为三 当且仅当2=2，即x=0时，等号成立，所 四、解答题 以f(x)的值域为[2，+∞)。 15.(1)当a=2时，A={x|一1≤x≤ (3)由f(x)<m(2r一2)对任意的x∈ 3},B={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或 x≥3}，则CB={x|-2<x<3},故AU 1,十)恒成立，得m>对任意的， (CRB)={x|-2<x≤3}。 [1,十∞)恒成立。 (2)a>0,且“x∈A”是“x∈CRB”的充分 4*十14*-1十2 设函数g(x)= 4-1-4-1 1十 不必要条件，故A为CRB的真子集，CRB= {x-2<x<3,故+a<3, ,1-a>-2, 结合a>0, 4二x≥1)，因为x≥1，所以4-1≥3，则 2 得0<a<2,即实数a的取值范围为(0,2)。 0己)-1+号-所以 47 中学生款理化离普数学梳离座 m> 号，即m的取值范围为（胥，十）。 由f'(x)>0,得x>e°；由f'(x)<0,得 0<x<e。所以f(x)的单调递增区间为 18.(1)由f(x)是定义在R上的奇函数，得 (e,十∞)，单调递减区间为(0，e)。 1-a f(0)=0, b+1 =0, (3)当a=e时，f(x)=e+1-n工，所 即 x f(一1)=一f(1), 31-a 3-a 1 b·31+1b·3+1' 1-1n 解得a=b=1。 以f(）=e+ 1 工=e十x十xlnx。 经验证a=b=1符合题意。 (2)由(1)可知f(x)= 3”一1=1 因为f(侵）-(m十1)x≥1对任意的x 32+1 2 >0恒成立，所以e十x十xlnx-(m十1)x 3x+19 任取x1<x2,则f(x1)一f（x2)= =e十xlnx-m.x≥1对任意的x>0恒成 2 2 2(3-3*) 立，即m e*+xln x-1 3十13+1(3十1)(3+1)1 对任意的x>0恒 因为x1<x2,所以3一3<0，所以 f(x1)一f(x2)<0,即f(x)在R上单调递 成立，所以m≤「e十xlnx-1门 增。 (3)由f(x2-kx-5)十f(2x+1)≤0， 设g(x)= e十xlnx-1,则g'(x) 得f(x2-kx-5)≤-f(2x十1)。 因为f(x)为奇函数，所以f(x2一kx一 (x-e)(x+1) 5)≤f(-2x-1)。 因为f(x)在R上单调递增，所以x2 因为x>0,所以x3>0,x十1>0。 k.x-5≤-2.x-1,即x2-(k-2)x-4≤0。 令h(x)=x-e产，x>0,则h'(x)=1+ 因为对任意的x∈[一1,2]，关于x的不 等式f(x2-kx一5)十f(2x十1)≤0恒成立， 京e>0,所以h(x)=x-c在(0，十o)上 1 即关于x的不等式x2一(k一2)x一4≤0在 单调递增。 1+k-2-4≤0， 又h(1)=1-e<0,h(2)=2-√e>0,所 [-1,2]上恒成立，故 4-2(k-2)-4≤0， 以由零点存在性定理可知，3x。∈(1,2)，使 解得2≤k≤5，即实数k的取值范围是[2， 得h(xo)=xo一e=0,即xo=e,所以当x 5]。 ∈(0，xo)时，h(x)<0,g'(x)<0,g(x)在 19.(1)当a=1时，f(x)=1+1-lnx (0,x。)上单调递减；当x∈(x0,十∞)时， 则f1=2,f(x)=n2,所以(1)= h(x)>0,g'(x)>0,g(x)在(xo,十∞)上单 x? 调递增。 ln1-2 12 =一2。 所以g（x）m=g（x。） ew十zoln xo-l To 故曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线 方程为y一2=-2(x一1)，即2x十y一4=0。 =,十xlne-1-1。 (2)当a=0时，f(x)=1-1n工，所以 故m1,即m的取值范围为（一o∞， '(x)=lnx-2 1]. (责任编辑王福华) 48