强化综合考查 突出选拔功能-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

中学生表理化学怒聚酸方法 强化综合考查 2025年新高考全 ■河南省实验 纵观近儿年的高考压轴题，我们发现：高 考注重情景创新，融入现实场景，凸显数学应 用价值：反套路，规避高频考点与模式化题 型，聚焦基础概念的深度延伸；突出选拔功能 与教育导向，通过“低起点、多层次”设计，精 准区分考生能力层级，服务人才选拔；强调 “思维过程与品质”，契合对创新人才的需求。 2025年新高考全国I卷数学第19题打破传 统套路，突破以幂函数、指数函数、对数函数 为情境设置函数与导数试题的模式，通过知 识体系重构，将三角函数与导数结合在一起， 创新设问方式，引导考生积极探究，要求考生 具备扎实的导数运算能力、掌握三角函数的 相关性质，以及综合运用这些知识分析和解 决问题的能力，极具创新性和开放性，突出高 考试题的选拔功能。题目设置三个问题，第 一问相对基础，考查函数在给定区间上的最 值；第二问和第三问难度逐渐加大，对考生的 数学思维和解题技巧要求较高。导数与三角 函数的综合考查在高考中多次出现，如2023 年全国Ⅱ卷第22题、2020年全国Ⅱ卷第21 题、2019年全国I卷第20题。接下来我们 对2025年新高考全国I卷数学第19题的解 法进行探究。 题目设函数f(.x)=5cosx一cos5x。 a)求fx)在[0，]上的最大值： (2)给定0∈(0，π)，设a为实数，证明： 存在y∈[a-0,a十0]，使得cosy≤cos6; (3)若存在p使得对任意x,都有5cosx 一cos(5x十P)≤b,求b的最小值。 解析：(1)该问是求函数的最值，考查导 数的直接应用。本问求导以后可从以下两个 角度切人。 求导可得f'(x)=5sin5x-5sinx。 方法1：由和差化积公式得f'(x) 42 突出选拔功能 国I卷数学第19题评析 学 程建辉 5sin 5a-5sin x=5[sin(3x+2x)-sin(3x -2x)]=10cos 3x sin 2x 由x∈[0，]可知sin2x≥0， 令fx)>0,得0<x<石f(x)单调递 增；令了x)<0,得答<r<,()单调递减。 所以f(x)=f(）=3 点评：该问求导后利用和差化积公式，通 过解不等式找到增减区间，确定极大值点，代 入即可求得函数的最大值。难，点是和差化积 公式的运用。 方法2：考生在备考过程中接触过三倍角公 式，即便是记不准公式也可以借助两角和的正 弦、余弦公式及二倍角公式进行推导，结合题目 中函数的形式，可考虑用5倍角公式处理。 5倍角公式读者可自行推导：cos5x= 16cosix-20cos'x+5cos xo 由5倍角公式得f(x)=5cosx一cos5x =5cos x-(16cos'x-20cos'x +5cos x)= -16cos'x+20cos'x=4cos'x(5-4cos'x). 先平方再配凑和为定值：f(x)= 16csx6-4esr)=16x(g）'×gos: 十 3 cos'x 3cos'x×(5-4cos'x)(5 4c0s2x)。 再利用多元基本不等式得f(x)=16× 3 cos'x8 8 osx×3cos'x×(5 4cosx)(6-4cosx)≤16×(g)'×(g)'- 3,当且仅当号c0x=5-一4eosx,即cosx 3 x一看时取等号。 所以f(x)mx=35。 ,点评：该解法对考生数学素养要求较高， 先推导得出5倍角公式，再配凑利用多元基 本不等式即可求得最大值，最后验证取等条 件。难，点是5倍角公式的推导与多元基本不 等式的配凑。 (2)方法1：由余弦函数的最小正周期是 2π，不妨设a∈[0,2π)，下边对日进行讨论： ①当0≤a≤20时，易得a-0≤0≤a十 0,取y=0即可，显然有cosy=cos8。 ②当20<a<2π时，易得0<0<a-0< 2π一0，再进一步对a一0的范围进行分析： 若0a一0≤π，则日和a一日均在余弦 函数的减区间内，故cos(a一8)<cos0,此时 取y=a一0即可使得cosy<cos日； 若x<a一0<2π-0<2π，则a-0和2元 一0均在余弦函数的增区间内，故cos(a一0) <cos(2π一0)=cos0,此时取y=a一6即可 使得cosy<cos8。 综上所述：命题得证 点评：该解法的本质是对日是否在区间 [α一日，a十日]内分两种情况进行讨论，进而得 出的两个范围，再根据范围赋值和余弦函 数的单调性给出证明。 方法2：题干中含有特称量词，可以考虑 从特称命题的否定人手，即采用反证法。 由余弦函数的最小正周期是2π，不妨设 a∈[0,2π)，在对结论否定之前，先讨论a=0 的情形，此时y∈[一0,0]，取y=0或y=一0 即可证明结论。 当a≠0，即0<a<2π时，假设对任意y ∈[a一0，a十0]，都有cosy>cos0,此时2kπ 一0y2kπ+0，k∈Z。① 又可知一π一Ba一0≤ya十8<2元 十9<2π+π，k∈Z。② 由y的任意性，对比①②两个不等式可 得a=2kπ，k∈Z,与0<a<2π，k∈Z矛盾。 所以假设是错误的，原命题结论正确。 综上所述：命题得证。 ,点评：结合题干特征采用反证法，对a是 否等于零进行分类讨论，结合不等式的解法 经分析推出矛盾，进而证得命题正确。 氧数典来较内青中学生教理化 (3)方法1：令g(x)=5cosx-cos(5x十 9),则g'(x)=-5sinx+5sin(5x十9)。 令g'(x)=0,则sinx=sin(5x十p),解 得5x十9=x十2k1元或5x十9十x=π十 2k2元，k1、k2∈乙。 所以极值点为-经-号政- 3 +π9，k1、k,∈Z。 6 再来计算函数值g红)=m经一) aos[5(2-号）+9]=5cas(经-￥) o)-4e() 显然g(x1)≤4。 同理可得g)=5c0s+”。2） ms[5(g+后）+]=5m(告+“g） os(+）=6cs(g+。）,其 中k1、k2∈Z。 由函数y=6c0s(气x+。）的周期为 6,易知当p=0时，该函数有最小值3√3。 又因为33>4，所以bmm≥3√3，则b的 最小值为3√3。 ,点评：利用导数工具求最值是考生最容 易想到的方法，通过找极值点、计算极值、比 较大小最终确定函数最值，方法较为常规，计 算过程较复杂，考查考生对诱导公式及三角 函数图像与性质的综合应用。 方法2：令g(x)=5c0sx一cos(5x+ p),根据9和x的变化只需找出g(x)对应 的一系列最大值中的最小值即可（即通过调 整9的取值，使g(x)的最大值尽可能小)。 当9=0时，g(x)=5cosx-c0s5x= fx),由第(1)问可知，g()=f(）= 3√3，此时必有bmm≤3√3。 下证：存在P使得对任意x,都有g(x) ≥3√3。 43 中学生表理化学怒聚酸方法 由(2)可令0= ，存在y∈ ,使得cosy≤cos 5π 6 6 √3 2。 令w=y写2，即5w=y-a,则，∈ [后]os≥ 2 故5cosx。-c0s(5.x。+a)=5c0sx0 cosy≥5X1 5，√3 =35。 2 2 所以b的最小值为3√3。 点评：利用第(1)问的结论可知g() 3√3，接下来证明g(x)≥3√3，进而求得b的 最小值。构造函数需掌握相关方法和技巧， 能够有效区分不同层次的考生。 结合2025年新高考全国I卷数学第19 题的出题风格，给考生提供如下备考建议： 1.增加知识储备 (1)熟练掌握公式：理解公式的推导过程 和应用条件，通过大量练习达到熟练运用。 (2)构建知识体系：将高中数学的各个知 识点进行系统梳理，明确各知识点之间的联 系。比如，函数与导数、数列与不等式、向量 与三角等知识板块之间的融合关系。 (3)深化核心知识理解：对函数的性质、 导数的应用、圆锥曲线的定义和性质、数列的 通项与求和等核心知识及相关题型进行深入 学习。 (4)抽出时间钻研强基知识：强基知识较 高考内容更为灵活，知识模块较多，只要有计 划地把功夫下在平时，就能逐步提升分析问 题和解决问题的能力。 2.有计划进行解题训练 (1)进行专项练习：针对不同类型的压轴 题，如函数、导数、新定义、解析几何、数列等 进行分类专项训练。可在指定时间段内集中 练习某一类题型，有助于熟悉该类题目的命 题规律和解题方法。 (2)开展限时训练：按照高考的时间要 44 求，对压轴题进行限时训练。一般建议给压 轴题预留15~一20分钟的时间，通过限时训练 提高解题速度和在紧张状态下的解题能力。 (3)注重错题分析：建立错题本，将做错 的压轴题整理下来，分析错误原因，判断是知 识点漏洞、解题思路错误，还是计算失误等。 定期复习错题本，加深对知识点和解题方法 的理解。 3.注重思维培养 (1)培养逻辑思维：在解题过程中，要注 重推理的严谨性和逻辑性，每一步推导都要 有依据。特别是在证明题和分类讨论问题 中，要做到条理清晰，不重不漏。 (2)强化数学思想：熟练掌握数形结合、 分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思 想。如在解析几何中，可通过图形来直观理 解问题，将几何问题转化为代数问题求解。 (3)提升创新思维：关注题目中的新颖情 境和创新设问，尝试从不同角度思考问题，培 养灵活运用知识解决新问题的能力。 4.积极调整心态 (1)保持积极心态：备考过程中难免会遇 到困难和挫折，如遇到难题解不出来或考试 成绩不理想等情况，要保持乐观，相信通过努 力可以逐步提高。 (2)克服紧张情绪：在考场上要保持冷 静，遇到熟悉的题目不要掉以轻心，遇到难题 也不要惊慌失措。 5.重视应试技巧 (1)合理分配时间：浏览全卷后，先易后 难答题。一般先完成第一问，确保基础分。 若某一小问在规定时间内无思路，可先跳过， 做后面的题目，最后再回头思考。 (2)规范答题步骤：书写要规范，步骤要 完整。使用学科术语，如导数题中要准确使 用“单调递增”、“极值点”等术语，避免口语化 表述。 (3)公式结论运用：牢记一些常见的公式 和结论，在解题时可以直接运用，节省时间。 对于一些复杂的推导过程，若时间允许，要详 细写出步骤，若时间紧张，可直接写出关键公 式和结论并代人数据。（责任编辑王福华）