专题1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修

本讲义聚焦用空间向量研究空间几何中的距离与夹角问题，系统梳理异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面的夹角，以及点到直线、点到平面、异面直线的距离等核心知识点，构建从角到距离的完整知识脉络，为解决空间几何问题提供清晰的学习支架。 资料以“知识点+即学即练+题型分类”为设计特色，每个知识点配套典型例题，如正四面体中异面直线夹角计算、四棱锥中线面角求解等，通过具体问题培养学生的空间观念与运算能力。题型覆盖选择、填空、解答题，包含存在性探究等综合题，助力学生用数学思维分析问题，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达空间关系的能力。

专题1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-重难点题型（讲） 知识点01：异面直线所成角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 【即学即练】 1．（2026·江苏扬州·模拟预测）在正四面体中，分别为的中点，连接，若正四面体的边长为2，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 知识点02：直线与平面所成角 1、夹角定义：设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则. 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角。 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角。 （2）范围：异面直线所成角的范围是（0，），故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值。 【即学即练】 1．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）如图，四棱锥中，底面，，，，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 知识点03：平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 【即学即练】 1．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，点在棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 知识点04：点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 【即学即练】 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，点，则点到直线的距离为________. 知识点05：点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）. 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 【即学即练】 1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知平面的一个法向量为，点为平面上一点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 知识点06：异面直线的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． 【即学即练】 1．（25-26高三下·湖南·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，.    (1)证明：平面； (2)若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 题型01 利用空间向量解决异面直线夹角的问题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·一模）在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 3．（25-26高二上·全国·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二下·全国·单元测试）直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 题型02 利用空间向量解决线面角的问题 5．（25-26高二上·全国·专题练习）如图，直三棱柱的体积为，四边形的面积为且，，的中点为，，的中点为. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 6．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 7．（2026·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值； (3)求三棱锥的体积. 8．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图，四棱锥中，平面平面，底面为矩形，在上且是上一点． (1)当时， （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)若直线与平面夹角的正弦值为，求的值． 题型03 利用空间向量解决面面角的问题 9．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）如图，在多面体中，四边形是直角梯形，，，，均与平面垂直，且． (1)在棱上取一点E，使得平面，证明：E为棱的中点； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 10．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，且平面． (1)证明：四边形是菱形； (2)若该六面体的体积为，求二面角的正弦值． 11．（26-27高三上·广东·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥． (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 12．（25-26高二下·广东·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. (1)棱上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由. (2)若二面角大小为，求的值. 题型04 利用空间向量解决点面、面面距离的问题 13．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点，.求： (1)直线与平面所成角的大小； (2)点到平面的距离. 14．（25-26高二上·全国·阶段检测）设正方体的棱长为2，为底面的中心，为侧面的中心，点E为的中点，则三棱锥的体积为______． 15．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，为中点，在线段上，且．    (1)求证:平面; (2)求直线与平面夹角的正弦值； (3)求点E到平面的距离. 16．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 题型05 利用空间向量解决点到线距离的问题 17．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·广东深圳·期末）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．向量在向量上的投影向量的坐标为 20．（25-26高三上·天津·期末）如图，空间几何体中，平面平面，四边形为矩形，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 题型06 利用空间向量解决异面直线的距离问题 21．（26-27高三·全国·一轮复习）已知两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（     ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是________． 24．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）分别为异面直线上的点，若且，则称为异面直线的公垂线段，其长定义为两异面直线间的距离，则在边长为1的正方体中，与的距离是（  ） A． B． C． D． 题型07 空间线段点的存在性问题 25．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）（多选）如图，在四棱锥中，，平面，取棱的中点为，连接，则下列说法正确的是（） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．不存在点，使得 D．线段的长度恒为 26．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 27．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点．用空间向量坐标法解答以下问题：    (1)求与所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若不存在，请说明理由；若存在，求的值． 28．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，M为棱PC的中点.    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 1．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知平面的一个法向量，点为上一点，则点到平面的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 2．（25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 3．（25-26高三上·河北邢台·期末）如图，在长方体中，，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建厦门·期末）若的三个顶点分别为，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）如图，四边形是矩形，，，平面，，，则和平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·四川达州·期末）在直三棱柱中，，，，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·安徽·阶段检测）（多选）如图，平面，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线夹角的余弦值为 C．平面 D．平面与平面的夹角的正弦值为 8．（25-26高二下·河南·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 9．（25-26高二下·江苏·期中）（多选）在三棱锥中，，则下列说法正确的是（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的余弦值为 10．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知点、，直线过点且一个方向向量为，则点到的距离为___________． 11．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 12．（25-26高二上·上海·阶段检测）在直棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________. 13．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面． (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若，求二面角的正弦值． 14．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）如图，四边形是正方形，平面，，，、、分别为、、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)若，在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角为．若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 15．（25-26高二下·河南·期末）如图，在长方体中，，，．点在棱上，且，点在棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 16．（25-26高一下·福建泉州·期末）如图，四边形中，，，，上的点满足，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． (1)证明：平面平面； (2)点在上，若二面角的正切值为． （i）求； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-重难点题型（讲） 知识点01：异面直线所成角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 【即学即练】 1．（2026·江苏扬州·模拟预测）在正四面体中，分别为的中点，连接，若正四面体的边长为2，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取底面的中心，连接，以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角. 【详解】取底面的中心，连接，则平面，以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，由正四面体的边长为2，则底面的外接圆半径，则由题易得高，故， ，由、分别为、的中点，所以， 同理得，故， 所以由向量夹角公式可知. 知识点02：直线与平面所成角 1、夹角定义：设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则. 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角。 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角。 （2）范围：异面直线所成角的范围是（0，），故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值。 【即学即练】 1．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）如图，四棱锥中，底面，，，，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)在中，， 由余弦定理得， 所以，故， 所以为直角三角形，且， 又因为面，平面，所以 又因为，且，平面， 所以面，平面， 所以， 又因为、、平面，所以 又因为平面平面，所以平面 (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理得到，进而得到，然后利用线面平行的判定定理证得； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）略 （2）因为平面，，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则 设为面的一个法向量， ，故， 令，解得， 记与面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 知识点03：平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 【即学即练】 1．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，点在棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)如图，取的中点为，连接，. 因为为的中点，所以，. 又，所以. 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，故. 因为平面，平面，所以平面. (2). 【分析】（1）根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）连接. 因为，，所以，均为等边三角形. 取线段的中点，连接，，则，，且. 因为平面平面，平面平面， 且平面，平面， 所以，，两两互相垂直. 以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 知识点04：点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 【即学即练】 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 知识点05：点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）. 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 【即学即练】 1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知平面的一个法向量为，点为平面上一点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平面的法向量为，是平面内任意一点， 则平面外点到平面的距离为， 已知，，则， ， ，； ， 代入公式得：. 知识点06：异面直线的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． 【即学即练】 1．（25-26高三下·湖南·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，.    (1)证明：平面； (2)若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 【答案】(1)如图，取的中点O，因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以，又，平面，平面，， 所以平面. (2)不存在，理由如下： 因为，O为的中点，，所以， 过点O作交于点E，则由平面,平面,可得， 则以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设与，都重直的向量为， 则得 令，则， 设直线与直线的距离为d， 则， 则不存在点M和N使得. 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，根据线面垂直的判定即可求解 （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线的距离，即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 题型01 利用空间向量解决异面直线夹角的问题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取为基底，不妨设，用基底表示出，，最后利用空间向量的数量积求得到直线与所成角的正弦值. 【详解】取为基底，不妨设，则由题意知， ，， 又，， 所以， 设直线与所成角为（）， 则， 直线与所成角的正弦值为. 2．（2026·江苏南京·一模）在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【答案】/ 【分析】结合题意进而建立空间直角坐标系，进而利用异面直线夹角的向量求法求解即可. 【详解】作，因为，所以是的中点， 过作，由直三棱柱性质得面， 如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，所以，由勾股定理得， 则，，，， 可得，， 设异面直线与所成角为， 则. 3．（25-26高二上·全国·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，结合条件运算得解. 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则， 所以，， ， 可得， 所以， 所以，可得． 故选：C. 4．（25-26高二下·全国·单元测试）直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】建系标点，设，可得，利用空间向量求异面直线的夹角，列式求解即可. 【详解】以A为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，则， 所以，解得(负值舍去). 故选：A． 题型02 利用空间向量解决线面角的问题 5．（25-26高二上·全国·专题练习）如图，直三棱柱的体积为，四边形的面积为且，，的中点为，，的中点为. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 连接， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； (2) 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，证出线面平行； （2）先根据体积、矩形面积、线段长度条件列方程组解出三条棱长，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关向量，构造平面的法向量，代入线面角向量公式算出正弦值． 【详解】（1）略 （2）令，，，其中， 由，为的中点，知， 由直三棱柱的体积为，四边形的面积为，， 得，解得，，， 如图，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， ，，， 设平面的法向量为， 那么，即，取，则， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 6．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)由题意知：，，平面， ∴平面， 又∵平面，所以． 又点C为的中点，所以， 又，平面， 所以平面， 又∵平面，所以． (2) 【分析】（1）先证得平面，可得，再证平面，即可得； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标运算求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，可得，利用空间向量坐标计算即可． 【详解】（1）略 （2）由（１）知平面， 以O为原点，，的方向分别作为x， z轴， 底面内与垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，又， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 7．（2026·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1) 证法一：连接与交于点，再连接， 因为， 所以 因为，所以， 所以， 又因为平面，所以平面 证法二：以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则. 设是平面的一个法向量， ，则， 令，则，平面的一个法向量为. 因为，所以， 又因为平面，所以平面 (2) (3) 【分析】（1）证法一：连接 与 交于 ,连 ,由相似比与已知比例得 ,从而证得线面平行. 证法二：以 为原点建系,写出各点坐标,求出平面 的法向量,再验证 与法向量垂直,且 不在面 内,从而证得线面平行. （2）解法一：设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. 解法二: 设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. （3）解法一：由 得体积比例关系,用棱锥体积公式直接算出 . 解法二：先在 中求边长与正弦值,再用向量求点 到面的距离,代入体积公式得结果. 【详解】（1）略 （2）解法一： 设，得， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简得，因为，得， ，所以线段的值为. 解法二： 设，得， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简得，因为，得，，所以线段的值为. （3）解法一： 因为，所以， 解法二：由（1）所建立的坐标系可得. 则 故由余弦定理可得 所以， 由（1）得,平面的一个法向量为. 点到平面的距离. 8．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图，四棱锥中，平面平面，底面为矩形，在上且是上一点． (1)当时， （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)若直线与平面夹角的正弦值为，求的值． 【答案】(1) （i）证明：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，则，. ，由， 可得，. 设平面的法向量为，， 则 解得 令，得. 因为， 所以. 又平面， 所以平面. （ii） (2) 【分析】（1）（i）证明与平面的法向量垂直；（ii）利用空间向量夹角公式，结合线面角定义进行求解即可； （2）设，利用空间向量夹角公式，结合线面角定义进行求解即可. 【详解】（1）（i）略 （ii）设平面的法向量为，， 则 令，得. 设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）设， 则， 由上可知：平面的法向量为， 当直线与平面夹角的正弦值为时，所以 或舍去， 所以. 题型03 利用空间向量解决面面角的问题 9．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）如图，在多面体中，四边形是直角梯形，，，，均与平面垂直，且． (1)在棱上取一点E，使得平面，证明：E为棱的中点； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为，平面，则，， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，，底面为直角梯形，解得． 则，，，． 在平面中，，．     设平面的一个法向量为， 则，即， 取，解得． 因为点E在上，设， 则． 因为平面，所以，解得， 故E为线段的中点． (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明垂直平面的法向量； （2）求平面的法向量，结合（1）中平面的法向量，然后由夹角公式求解二面角. 【详解】（1）略 （2）在平面中，，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，解得．由（1）知， 记面与面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为 10．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，且平面． (1)证明：四边形是菱形； (2)若该六面体的体积为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明：在平行六面体中，且， 又底面是正方形， 故且， 因此且， 故四边形是平行四边形． 连接， 因为平面，而平面， 所以，即平行四边形的对角线互相垂直， 故四边形是菱形． (2) 【分析】（1）先利用平行六面体和正方形的性质证明四边形是平行四边形，再结合线面垂直的性质得到平行四边形对角线互相垂直，即可证明其为菱形； （2）先根据平行六面体体积公式求出两底面的距离，再建立空间直角坐标系，利用线面垂直的条件求出点的坐标，然后分别求两个平面的法向量，最后通过法向量的夹角计算二面角的正弦值． 【详解】（1）略 （2）因为底面是边长为2的正方形， 所以底面的面积为， 由平行六面体体积， 可得两底面距离． 以D为原点，为轴正方向，为轴正方向，垂直底面向上为轴正方向建立空间直角坐标系， 则 设，则． 其中， 在平面内，， 因为平面，平面， 所以，，即，， 则，解得． 同理，， 结合图形取，故． 平面的法向量取， 设平面的法向量为， 则， 令，得． 设法向量夹角为， 则， ， 所以二面角的正弦值为． 11．（26-27高三上·广东·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥． (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明：如图，取的中点，连接， 由三棱锥是正三棱锥，可得， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为在平行四边形中， 所以． (2)或 【分析】（1）取的中点，连接，易得，进而得到平面，则，然后可证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，分别求出平面、平面的一个法向量，然后构建方程求出，再根据勾股定理求边长即可． 【详解】（1）略 （2）在线段上取点，使得，连接，则为三棱锥的高， 以为原点，直线为轴，过点与平行的直线为轴， 直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为是边长为的正三角形，所以， 设，则， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 取，得， 设平面的法向量， 则，即， 取，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或， 所以或． 12．（25-26高二下·广东·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，. (1)棱上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由. (2)若二面角大小为，求的值. 【答案】(1)存在，点在棱上，都有平面平面，理由如下： ∵，为的中点， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，∴，即， 又∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面； (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得线面垂直，即可得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用面面角的余弦公式建立方程，解得即可得解. 【详解】（1）略 （2）∵，为的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，， ∴，，，， 设，易知M不与P,C重合，则， ∴，又， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，得， 又平面的一个法向量为， ∵二面角为，∴， 即，解得或（舍去），即，∴. 题型04 利用空间向量解决点面、面面距离的问题 13．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点，.求： (1)直线与平面所成角的大小； (2)点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为多面体为正四棱锥,所以易得两两垂直. 所以 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系： 则 所以，, . 设平面的法向量. 由法向量与平面内向量垂直,得 即 令,则,. 所以平面的一个法向量 设直线与平面所成角为，则的正弦值等于. 所以，. 所以直线与平面所成角为 （2）由，所以 由（1）可知平面的一个法向量 所以 所以点A到平面PBC的距离为 14．（25-26高二上·全国·阶段检测）设正方体的棱长为2，为底面的中心，为侧面的中心，点E为的中点，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间距离的向量求法求出点面距离，再求出底面积，最后结合三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】方法一：如图，作出符合题意的图形，以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，，，， 则由两点间距离公式得，，， 可得，得到是等边三角形， 则，且，， 设面的法向量为，， 则，令，解得，， 则，设到面的距离为， 由点到平面的距离公式得， 故三棱锥的体积为. 15．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，为中点，在线段上，且．    (1)求证:平面; (2)求直线与平面夹角的正弦值； (3)求点E到平面的距离. 【答案】(1)以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，      则，，，， ，，， 则， 易知平面的一个法向量为，故， 则，又平面，故平面． (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用线面平行的判定定理求解即可. （2）求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即可. （3）求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， 且，， ， 则，令，则，，， 设直线与平面夹角为，可得， 即直线与平面夹角的正弦值为． （3）设平面的法向量为，且， 则，令，则，，故， 设点到平面距离为，且，可得． 16．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1) 在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 题型05 利用空间向量解决点到线距离的问题 17．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出与的坐标，再根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】因为， 所以，， 所以，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 18．（25-26高二上·广东深圳·期末）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的单位方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 所以直线的单位方向向量为， 所以点到直线的距离为. 故选：D 19．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．向量在向量上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的坐标表示判断A，利用空间向量法求点到直线的距离判断B，求出平面的法向量，利用空间向量法求点到平面的距离判断C，利用投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为，，所以，故A正确； 对于B：因为 ，，所以 ， 又，则， ，， 所以点到直线的距离为 ，故B错误； 对于C：因为，，， 设平面的法向量为， 则，取，则点到平面的距离 ，故C正确； 对于D：因为，，所以，， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 20．（25-26高三上·天津·期末）如图，空间几何体中，平面平面，四边形为矩形，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1) 证明：四边形为矩形， ， 又平面平面，平面平面， 平面平面. 以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 则， 法一：， ， ， 又平面平面， 平面. 法二：设是平面的一个法向量， 令则， 是平面的一个法向量． ，平面. (2) (3) 【分析】（1）建立坐标系，利用向量垂直得出直线垂直，结合线面垂直的判定可证，或求解平面法向量，利用可证结论； （2）求出平面的法向量，利用向量夹角公式可求答案； （3）利用点线距的向量求解公式可得答案，或作出距离，利用三角形相似可求答案. 【详解】（1）略 （2）设是平面的一个法向量， 令，则 是平面的一个法向量. 设平面与平面夹角为， ， ， 平面与平面夹角的正弦值为. （3）法一：， ，，， ， 点到直线的距离. 法二：， ，，， 点到直线的距离. 法三：过点作直线的垂线，交的延长线于点， 平面平面 平面． 四边形为矩形， 平面， 平面， ， ， 为的中点， ， 点到直线的距离. 题型06 利用空间向量解决异面直线的距离问题 21．（26-27高三·全国·一轮复习）已知两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题关键在于：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量方法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，，， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有可取， 所以异面直线和的距离为． 故选：. 22．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 23．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是________． 【答案】/ 【分析】由题意可计算出该正四棱锥底面边长及高，建立适当空间直角坐标系后可表示出的方向向量及的坐标，即可表示的方向向量，要使线段的长度最小，则为的公垂线，通过空间向量计算即可得解. 【详解】设该正四棱锥底面边长为，高为， 则由题意可得，解得， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、， 则，， 则可设，，，， 则， 要使线段的长度最小，则为的公垂线， 即有， 解得，符合题意， 此时，则. 即线段长度的最小值. 故答案为：. 24．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）分别为异面直线上的点，若且，则称为异面直线的公垂线段，其长定义为两异面直线间的距离，则在边长为1的正方体中，与的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，的方向为轴，的方向为轴，的方向为轴，建立空间坐标系，求出异面直线与的公垂线的方向向量为，根据求解即可. 【详解】解：以为坐标原点，的方向为轴，的方向为轴，的方向为轴，如图所示：    设为异面直线与的公垂线段， 则， 所以 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则有，则有， 取，则 则异面直线与的距离. 故选：C. 【点睛】方法点睛：在立体几何中，涉及求空间角和距离问题时，利用空间向量求解更简单些. 题型07 空间线段点的存在性问题 25．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）（多选）如图，在四棱锥中，，平面，取棱的中点为，连接，则下列说法正确的是（） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．不存在点，使得 D．线段的长度恒为 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直性质与勾股定理建系，A、C选项利用数量积为建立方程，结合约束条件判断是否存在满足条件的解；B选项通过数量积恒为非零常数判断；D选项利用两点间距离公式，整体代入约束条件消参，证明线段长度为定值. 【详解】由可知，，， 因为平面，且平面，所以：且， 在中，，可得：， 以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则：，，， 因为，是等边三角形，计算得点的坐标：， 由于点在平面内，设，由，可得约束条件：， 因为是的中点，由中点坐标公式可得：； A选项：，， 若，则，解得， 代入，得，此时存在点或满足题意，故A选项正确； B选项：，， ，无论点在何处，数量积恒为，不可能为，所以不可能垂直于，故B选项错误； C选项：， 若，则，解得，代入约束条件，得， 解得，此时点的坐标为，此时、、三点共线，无法构成四棱锥，因此，在四棱锥中，不存在这样的点，故C正确； D选项：，， 将代入，得：，所以恒成立，故D正确. 26．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴， ∴，，即，，且， 平面POB，平面POB，∴平面POB. (2)存在点Q为PB的中点， 【分析】（1）连接BE，通过说明，，即可求证； （2）建系，设，得到， 求得平面法向量和直线方向向量，结合夹角公式列出方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知四边形ABED为菱形，∴， 在等腰梯形ABCD中，，∴为正三角形， ∴，同理， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， 以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，， ，，， 设，， 设平面AEQ的一个法向量为， 则即 取，，得，∴， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，， 则，即， 化简得：，解得λ=， ∴存在点Q为PB的中点，即时， 使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为． 27．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点．用空间向量坐标法解答以下问题：    (1)求与所成角的余弦值； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若不存在，请说明理由；若存在，求的值． 【答案】(1) (2) (3)当或时，使得二面角的余弦值为 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求，利用夹角公式即可求解； （2）求平面的法向量为，显然平面的法向量为，利用夹角公式即可求解； （3）设，即，求平面的法向量为，利用夹角公式得，即，解出即可求解. 【详解】（1）由平面，所以， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由，所以， 设，由， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， 所以与所成角的余弦值为； （2）由题意有， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 显然平面的法向量为， 所以， 所以二面角的余弦值为； （3）设，即，由, ， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以， 化简整理得：，解得或， 所以存在点，当或时，使得二面角的余弦值为. 28．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，M为棱PC的中点.    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明： 取中点，如图，连接， ∵是中点,∴且， 又，，∴且， ∴是平行四边形,∴， ∵平面，平面，∴平面； (2)存在，. 【分析】（1）取中点，连接，证明是平行四边形，得平行线，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）证明平面，然后以为原点，为轴建立空间直角坐标系，假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是，并设，，由空间向量法求点面距，结合已知可得． 【详解】（1）略； （2）∵，，， ∴，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又， 因此以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量是，则，取得， 假设线段上是否存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则， ∴点到平面的距离为，（舍去）， 所以．    1．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知平面的一个法向量，点为上一点，则点到平面的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用点面距的向量公式求解即可. 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：C. 2．（25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，再由点到面的距离公式计算可得. 【详解】在直三棱柱中，， 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得； 由，得，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 故选：A 3．（25-26高三上·河北邢台·期末）如图，在长方体中，，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出，的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出异面直线与所成角的余弦值即可. 【详解】因为，所以与所成的角即或其补角. 设，以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立 如图所示空间直角坐标系， 则，，， 所以的中点，，， ，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 4．（25-26高二上·福建厦门·期末）若的三个顶点分别为，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量求解即可. 【详解】由题意可得 则与同向的单位向量， 设点到直线的距离为， 则. 故选：A. 5．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）如图，四边形是矩形，，，平面，，，则和平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，得到的坐标及平面的法向量，根据向量的数量积可得向量夹角的余弦值，进而得结果. 【详解】因为平面，平面， 所以， 又，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 所以， 设和平面所成角为， 则，即和平面所成角的正弦值为. 故选：C. 6．（25-26高二上·四川达州·期末）在直三棱柱中，，，，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可. 【详解】在直三棱柱中，可得平面， 因为，所以， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，， 因为E为的中点，所以由中点坐标公式得， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，解得，， 故，设与平面所成角为， 则，故D正确. 故选：D 7．（26-27高三上·安徽·阶段检测）（多选）如图，平面，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线夹角的余弦值为 C．平面 D．平面与平面的夹角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】先建立空间直角坐标系，列出各个向量的坐标，根据向量夹角公式、数量积公式逐项计算即可. 【详解】由题意可知平面为等腰梯形，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，有，， 所以，即，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，，设平面的一个法向量为， 则，则，显然与之不共线，故C错误； 设平面的一个法向量为，则， 令，则，令，，所以， 则平面与平面的夹角的正弦值为，故D正确. 8．（25-26高二下·河南·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】运用空间向量解决立体几何中距离与夹角问题，A选项，求出即可；B选项，先求出平面法向量，设直线与平面所成角为，再求出；C选项，点到平面的距离可以利用法向量求出；D选项，求出平面法向量，再求出. 【详解】A选项， ，,正确； B选项，设平面的法向量为，则， 取，则为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，那么， 所以B错误； C选项，点到平面的距离为，正确； D选项，设平面法向量，而， 故， 取，则为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， ，D选项正确. 9．（25-26高二下·江苏·期中）（多选）在三棱锥中，，则下列说法正确的是（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的余弦值为 【答案】AC 【分析】利用两点间距离公式计算判断A；利用向量夹角公式计算判断B；利用法向量的意义，结合数量积的坐标表示判断C；利用线面角的向量法计算判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，向量，则，B错误； 对于C，由，得向量是平面的一个法向量，C正确； 对于D，，则与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的余弦值为，D错误. 10．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知点、，直线过点且一个方向向量为，则点到的距离为___________． 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】由题意可得，且直线过点且一个方向向量为， 所以点到的距离为. 故答案为：. 11．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 【答案】 【分析】根据几何体特征可证明平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系并求出平面的法向量，由线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】如下图，连接，因为为BC中点， 所以，又平面底面， 平面底面平面， 所以平面， 又因为平面，所以，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图： 设，可得 由，可得， 所以， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的余弦值为. 故答案为： 12．（25-26高二上·上海·阶段检测）在直棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量法即可求解异面直线的夹角. 【详解】如图，以 B 为原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则，, 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 13．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面． (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)因为底面是矩形，由矩形对边平行的性质可得：， 又因为平面，平面，所以平面. (2)由平面，平面，因此， 在底面矩形中，，，， ，， 因此，由勾股定理逆定理得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，因此. (3) 【分析】 （1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）先把问题转化为证明平面，只需证明和，利用线面垂直的性质可证明，利用勾股定理逆定理可证明； （3）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用二面角的空间向量公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）以为原点，建立空间直角坐标系，使平行于的方向为轴，方向为轴，方向为轴， 结合可得各点坐标： ，，，, 由（2）知是平面的一个法向量； 设平面的法向量为,，， 令，，即，取得. 设二面角的平面角为，则 , 因此二面角的正弦值为： . 14．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）如图，四边形是正方形，平面，，，、、分别为、、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)若，在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角为．若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) 因为四边形是正方形，、、分别为、、的中点， 所以，即，. 因为，平面，在平面外， 所以平面. 因为，平面，在平面外， 所以平面. 又，所以由唯一确定一个平面，故平面即平面； 又，所以是两条相交直线，且平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面； (2)； (3)存在，点的坐标为，理由如下： 由（2）得，设， 则，又，所以， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以， 若直线与平面所成的角为，则，即， 整理得，解得，则. 所以在线段上存在一点使直线与平面所成的角为，点的坐标为. 【分析】（1）由题证得平面平面，即可得平面； （2）建立适当空间直角坐标系，求出两平面的一个法向量，由两法向量夹角余弦值即可求解； （3）设，求出和平面的一个法向量为，由题设建立关于t的等量关系求出t即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题意可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 所以， 因为平面平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则可得， 所以， 所以平面与平面夹角为； （3）略 15．（25-26高二下·河南·期末）如图，在长方体中，，，．点在棱上，且，点在棱上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：在长方体中，建立空间直角坐标系，如图． ，，，，， ，，，，，． ，，， ，，即； ，，即． 又，，平面，平面． (2) (3)2 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理可证； （2）由面面角的向量求法可得； （3）在棱上取点，使，连接，利用线面平行可证点到平面的距离与点到平面的距离相等，再利用等体积转化计算即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，是平面的一个法向量． 设平面的法向量为，则 ，， 令，则，，． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值为． （3）在棱上取点，使，连接． ，．，． 又平面，平面，平面． ∴点到平面的距离与点到平面的距离相等， ． ，，. ，， ， 即三棱锥的体积为2． 16．（25-26高一下·福建泉州·期末）如图，四边形中，，，，上的点满足，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． (1)证明：平面平面； (2)点在上，若二面角的正切值为． （i）求； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)连接，交于点，连结． 由，且，则四边形是菱形， 则，且点是的中点，所以，， 又，则为等边三角形，所以， 所以， 又，则，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． (2)（i）（ii） 【分析】（1）先根据菱形的性质证明，再根据等边三角形的性质，及勾股定理证明，进而根据线线垂直，线面垂直的性质即可证明结论； （2）（i） 解法一：先确定二面角的平面角，再设，（），从而根据相似三角形的性质，余弦定理，及正弦定理得到平面角的正切值与的关系，进而求解即可； 解法二：先确定二面角的平面角，根据余弦定理，勾股定理证明，再设，，从而根据相似三角形的性质，及余弦定理，得到平面角的正切值与的关系，进而求解即可； 解法三：先确定二面角的平面角，再设，（），从而根据余弦定理，及正弦定理得到平面角的正切值与的关系，进而求解即可； （ii）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，再根据勾股定理，余弦定理，及求出的值，进而根据求出即可． 解法四： （i）结合（1），以，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，（），从而求出平面的法向量，再结合平面的法向量，根据二面角的向量求法求出的值即可； （ii）结合（i）得到，再求出平面的法向量，再根据直线与平面所成角的向量求法即可求解． 【详解】（1）略 （2）（i） 解法一：连结交于点，过作交于点，过点作，垂足为点，连结． 由，且平面，所以平面， 又平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，所以是二面角的平面角， 又二面角的正切值为，即， 设，（）， 则，， 又，所以，， 由（1）和均为边长为的等边三角形， 在中，，，， 则由余弦定理得， 则，所以， 又，所以，所以， 所以， 所以在中，由正弦定理有， 即，即， 所以， 所以，解得，即． 解法二：连结交于点，过作交于点，过点作，垂足为，连结． 由，且平面，所以平面， 又平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，所以是二面角的平面角， 又二面角的正切值为，所以， 在中，，，， 则由余弦定理得，即， 则，所以，所以， 设，（），则， 又，所以，， 过点作交于点，则， 又是的中点，则是的中点，所以， 又，则， 又在中，，，， 则由余弦定理得， 则，所以， 所以，所以， 又，则，所以， 所以，解得， 即． 解法三：连结交于点，过作交于点，过点作，垂足为，连结． 由，且平面，所以平面． 又平面，所以， 又，且，平面，所以平面． 又平面，所以， 又，所以是二面角的平面角， 又二面角的正切值为，所以． 设，（），则，， 又，所以， 在中，，，， 则由余弦定理得， 则，所以， 所以，所以， 所以， 所以在中，由正弦定理有，即， 所以， 所以， 所以，解得，即． （ii）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，则． 又结合（i）有，即是的中点，即， 在中，有，，则， 在中，有，，，则， 所以在中，， 所以在中，， 在中，有，，， 则到边的高为，所以， 又在中，， 又，即， 所以，所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 解法四： （i）由（1）可知，，，两两垂直， 则以，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由，，则，，， 在中，由余弦定理有，即， 则，所以， 结合（1）有，， 则，，，， 所以，，， 设，（），则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，即， 显然，是平面的一条法向量， 设二面角的平面角为， 又二面角的正切值为，则，则， 所以， 整理得，解得，或（舍去），即． （ii）结合（i）可知，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，即， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $