探究2025年高考数学中函数与导数小题的解题技巧-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

中学生表理化学经圣酸方法 探究2025年高芳数学中函数与导数小题的解题技巧 ■河南省实验中学 宋苗珂 函数与导数在高中数学中占据着核心枢 标数值变换到已知解析式的区间。解法二求 纽地位，函数是高中数学的“骨架”，导数则是 目标区间的解析式，代入目标值即可。 赋予骨架动态生命的“神经”，不仅是高考压轴 例2(2025年新高考全国I卷数学 题的“必争之地”，更是培养同学们动态分析能 第8题)若实数x,y,之满足2十log:x=3十 力、抽象建模能力、逻辑链构建能力的核心载 1og:y=5十log之，则x,y,x的大小关系不 体。函数与导数作为高中数学的难点，同学们 可能是( )。 学习的困难主要集中在计算操作、模型识别、 A.x>y>z B.t>>y 思维转换三个层面，解答小题的灵活度不够， C.y>x>z D.y>z> 易错点容易掉坑。2025年高考数学试题的难 【命题意图】考查构造函数比较大小与指 度相对较低，I卷和Ⅱ卷中关于函数与导数 对函数的图像与性质。 的小题总计五个，均可通过小题技巧和基本 【解法探讨】解法一：设2十log2x=3十 知识秒杀。下面我们将从命题意图、解法探 1ogy=5+log:之=m。 讨、方法总结三个方面对这些题目逐一分析。 令m=2,则x=1,y=31= 1 例1(2025年新高考全国1卷数学 3,=5 第5题)设f(x)是定义在R上且周期为2的 125,此时x>y>之，所以A有可能； 1 偶函数，若当2≤x≤3时，f(x)=5一2x,则 令m=5,则x=8,y=9,之=1，此时y> f(-)=( )。 x>x,所以C有可能； A.- B.-1 c.i 令m=8,则x=2=64,y=35=243,≈ =53=125,此时y>x>x,所以D有可能。 【命题意图】考查由函数的奇偶性与周期 故选B。 性求函数值。 解法二：设2十1og2x=3十logy=5+ 【解法探讨】解法一：由题意可得， 1og;之=m,所以x=2m-2,y=3m-3,之=5m-5。 (-)=f()=f(任+2)=f() 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯 一的根，作出函数y=22,y=3-3,y=5- 的图像，以上方程的根分别是 故选A。 函数y=22,y=3-,y= 解法二：当0≤x1时，2≤x十2≤3，由 5-5的图像与直线x=m的 周期性可得f(x)=f(x十2)=5一2(x十2) 交点纵坐标，如图1所示。易 =1-2x; 知，随着m的变化可能出现的 =77 当一1≤x≤0时，0≤一x≤1，由偶函数 情况有x>y>之，y>x>之， y>xx,之yx。 图1 可得f(x)=f(-x)=1一2(-x)=1十2x。 故选B。 于是f(-）=1+2(-)=-3 【方法总结】解法一属于小题特殊值秒 故选A。 杀，代入斐波那契的值2,3,5,8，逐一计算可 【方法总结】解法一属于性质秒杀，把目 得。解法二换元构造三个指数函数，在同一 个直角坐标系中画出图像，注意起始位置和 40 解题管微经臭题突方清中学生教理化 高三数学2025年9月 三个交点，移动x=m可得四种情况。 解法二：作出函数 例3(2025年新高考全国I卷数学 f(x)的图像，如图2所示， 第12题)若直线y=2x十5是曲线y=e十 在y=2上方有两段，所以 x十a的切线，则a=。 C错误。 【命题意图】利用导数求解曲线在某点上 故选ABD。 图2 的切线方程。 【方法总结】解法一是 【解法探讨】解法一：y=e的斜率为1 由f(0)判断A;利用函数的解析式判断B;利 的切线是y=x十1，且e=x十1只有一个根 用极值点判断D;利用极大值判断C。解法 x=0,于是e+x+a=2x十5，即e=x十 二是利用单调性、极值、零点画出函数f(x) 5一a只有一根，于是5一a=1,解得a=4。 的图像，可判断C错误。 解法二：根据题意，y'=e十1，令y'= 例5(2025年新高考全国Ⅱ卷数学第 e+1=2,则x=0,在切线y=2x十5中，当 13题)若x=2是函数f(x)=(x一1)(x x=0时，y=5,所以切点坐标为(0,5)，将 2)(x一a)的极值点，则f(0)= (0,5)代入曲线y=e+x+a中，得5=1十 【命题意图】考查由函数的极值求解函数 a,解得a=4。 或参数。 【方法总结】解法一是利用指数函数的重 【解法探讨】解法一：由题意知，x=2既是 要切线y=x十1和切点存在唯一转换方程 函数f(x)的零点又是极值点，所以x=2必须 秒杀。解法二是令y'=e十1=2，求出x的 为二重零点，所以a=2,所以f(0)=一4。 值即可确定切点坐标，将切点代入曲线中即 解法二：由已知得，f(x)=x一(3十 可确定a的值。 a)x2+(3a十2)x-2a,所以f'(x)=3.x2一 例4(2025年新高考全国Ⅱ卷数学第10 2(3+a)x+3a+2。由题意得f'(2)=3×2 题)（多选）已知f(x)是定义在R上的奇函数， 一2×(3+a)×2十3a十2=0，解得a=2,所 且当x>0时，f(x)=(.x2一3)e十2，则( )。 以f(0)=一4。 A.f(0)=0 【方法总结】解法一是结合“若三次函数 B.当x<0时，f(x)=一(x2-3)ex-2 的极值点为零点，则必为二重零点”。解法二 C.f(x)≥2，当且仅当x≥√3 是将函数∫(x)化为多项式函数，求出导数， D.x=一1是f(x)的极大值点 令'(2)=0，求出a的值即可。 【命题意图】考查由奇偶性求函数的解析 总体来说，导数小题只有I卷第8题 式、函数奇偶性的应用、求已知函数的极值点。 人眼前一亮，不再是构造函数或泰勒帕德逼 【解法探讨】解法一：因为∫(x)是定义在 近估值，而是纯粹的图像平移、指对数函数增 R上的奇函数，所以f(0)=0,所以A正确。 长速度的直观感受，非固定值比较大小灵活 当x<0时，一x>0,由奇函数的性质得 度较高，与高考选拔创新型人才的目标一致。 f(x)=-f(-x)=-{[(-x)2-3]e+2} Ⅱ卷第10题的C选项，个人非常喜欢，作为 =一(x2一3)er一2，所以B正确。 易错选项，不仅可以用特殊极值秒杀，还可以 f'(x)=(x2+2x-3)e=(x-1)(x+ 用数形结合法，是很棒的多选试题。I卷第 3)e,当x∈[0,1)时，f'(x)<0,f(x)单调 5题是周期结论的应用，I卷第12题是切线 结论的应用，Ⅱ卷第13题是三次函数结论的 递减；当x∈(1，十○)时，f(x)>0,f(x)单 调递增。所以x=1是极小值点，由奇函数的 应用。因此，笔者建议同学们在备考时要重 性质得x=一1是极大值点，所以D正确。 视基础知识和常见结论性质，领悟数形结合 因为f(-1)=2e一2>2，所以C错误。 的思想方法，勤思考，多总结，开拓思维，拿下 故选ABD。 压轴题。 (责任编辑 王福华) 41