新高考导数创新题中高等数学思想的初等化命题溯源-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

中学生数理化 解题篇创新题追根溯源 高三数学2025年9月 新高考导数创新题中高等数学思想的初等化命题溯源 ■甘肃省张掖市肃南裕固族自治县第一中学 公海英 新高考强调对同学们关键能力和学科素 C 养的考查，导数作为高中数学与高等数学的 行列式 b, =a1m1a2m2十a37m3, 重要衔接内容，常被用于命制具有选拔功能 b 的创新试题。这些试题往往蕴含着高等数学 其中m1,m2,m3分别为a1,a2,a3的余子式 的思想，但可以用初等数学的方法解决，体现 (某个数的余子式是指删去那个数所在的行 了“高观点、低起点”的命题原则。本文深入 和列后剩下的行列式)。 剖析新高考导数创新题中高等数学思想的初 1123 等化命题方式，通过典型例题阐述其命题溯 (1)计算 3 1 2 源，旨在帮助同学们更好地把握高考命题趋 2 3 势，提升备考效率。 0 0 x 2 x 一、高等数学思想在导数创新题中的主 (2)设f(x)= 0 1 0 3 2x 2 要体现 0 0 1 1 3 (一)极限思想 ①若f(x)的极值点恰为等差数列{an》 极限是高等数学的基础概念，在新高考 的前两项，且a,}的公差大于0，求》am； 导数题中，常通过函数在某点的极限情况来 i=1 考查函数的性质。例如，判断函数在某点处 ②若f(x。)=0,a∈(-2，-1)且a卡 的连续性、可导性等，虽然高中阶段不要求用 xo,函数g(x)=f'(x)(a一xo)一f(a),证 极限的定义证明，但需要同学们从直观上理 明：g(a)g(xo)<0。 解极限的概念，利用极限思想分析函数的变 解析：(1)根据题意可将原式化简为 化趋势。 23 2 =1-6-3×(2 (二)中值定理思想 9)+2×(4-3)=18。 中值定理是高等数学中利用导数研究函 2. 2 2 数性质的重要工具。在高考导数创新题中， (2)f(x)=x十x 3 33x 有时会以中值定理为背景，让同学们通过构 造函数、分析函数单调性等初等方法来解决 =x+x(2x2-6)-3(2x-3x)+4 2 问题，考查对导数本质的理解和运用能力。 2x2=2x3-2x2一2x+4。 (三)函数的凹凸性 ①f'(x)=6x2-4x-2。 函数的凹凸性是高等数学中函数性质研 究的重要内容。在新高考导数题中，会出现 当x<-3或x>1时，f'(x)>0。 与函数凹凸性相关的问题，如通过导数判断 函数的凹凸性，利用凹凸性证明不等式等，要 当-3<x<1时，f(x)<0. 求同学们将高等数学中的概念与初等数学知 所以f(x)在(-，- 识相结合，实现知识的迁移和应用等。 二、典例分析 是增函数，在(-号1)上是诚函数，所以 例题 (2024年金太阳8月联考第19 b f(x)的极大值点为一3，极小值点为1。 题)已知二阶行列式 ad一bc,三阶 d 因为f(x)的极值点恰为等差数列{an} 32 解数新题碧捏香滑中学生表理化 的前两项，且{an}的公差大于0，所以a1= 在高中的“平移”。 1 a:=1,则公差d=1-(）=专，所 ②综合拓展：教材后续会出现“行列式与 函数结合”的习题（如“设含变量的行列式，求 以a,=-1+4 3 F3(n-1)=4n5 其函数表达式、极值”)，本题第(2)问将行列 3 式与函数极值、数列结合，本质是高等数学教 所以2aH=】 a+1= (a2十an)(4n-1) 2 材综合题的“高中化”一保留“行列式十 ；=1 =(8n-1)(4n-1) 函数”的核心逻辑，用高中导数、数列知识替 3 代高等数学中更复杂的分析（如多元函数、线 ②（构造函数）因为f(1)=2,f(一1)= 性空间关联)，适配高中知识深度。 2,f(一2)=一16，所以f(x)在 命题思想：在高等数学中，“行列式”常作 [名+∞)上无零点，在(-0，-）上存 为工具实现“复杂问题简单化”，本题体现了 这种研究方法的高中迁移： 在唯一零点xo,且x。∈（一2，一1）。 ①抽象问题具象化：高等数学用行列式 令h(x)=f'(x)(x-x。)-f(x)= 将线性方程组解的存在性、唯一性“转化”为 (6x2-4x-2)(x-x0)-2x3十2x2+2x-4, 行列式的值（克拉默法则），本题第(2)问则将 则h'(x)=(12x一4)(x一x。)十6x2-4x-2 “行列式运算”转化为“函数表达式”，再进一 6x2+4.x+2=(12x一4)(x-x)。 步转化为“数列、极值问题”，本质是高等数学 当x∈（一2，xo)时，h'(x)>0,h(x)单 “转化思想”的复刻一用行列式简化表达 调递增；当x∈(xo,一1)时，h'(x)<0,h(x) 式，再用其他知识（导数、数列）解决，体现“工 单调递减。所以h(a)<h(xo)=一f(xo)=0。 具串联知识”的研究逻辑。 而h(a)=f'(a)(a-x。)-f(a)= ②特殊到一般的过渡：在高等数学中，行 g(a),所以g(a)<0。 列式从二阶、三阶推广到(n)阶，是“特殊到 令H(x)=f'(x。)(x一x。)一f(x),则 般”研究方法的典型（先研究低阶规律，再归 H'(x)=f'(xo)-f'(x)。 纳高阶理论)。本题聚焦二阶、三阶，是高等数 因为f′(x)=6x2-4x-2在(-2，-1) 学“归纳法”研究路径的起点呈现，引导同学们 上单调递减，所以当x∈（一2，x。)时，'(x。) 从具体计算感知抽象理论的诞生过程。 <'(x),即H'(x)<0,H(x)单调递减；当 三、备考策略 x∈(xo,一1)时，f'(xo)>f'(x),即H'(x) 基于上述命题规律与典例分析，我们可从 >0,H(x)单调递增。所以H(a)>H(x。) 以下五个维度制定高效备考策略：一是筑牢基 =一f(x。)=0。 础，深入理解导数定义，熟练掌握求导公式、运 而H(a)=f'(xo)(a-x。)-f(a)= 算法则，精准把握导数与函数单调性、极值、最 g(xo),所以g(xo)>0。 值间的内在联系；二是专项突破，针对双变量 综上可得，g(a)g(xo)<0。 问题、不等式证明、复杂函数构造等高频题型， 命题溯源：本题是基于高等数学教材习题 开展分类强化训练，系统归纳解题思路与技 的“简化改编”，在经典线性代数教材（如《工程 巧；三是洞察本质，深度研习拉格朗日中值定 数学：线性代数》（同济版）、《高等代数》（北大 理、泰勒展开式等高等数学思想的初等化命题 版))中，行列式的基础习题常包含以下类型： 逻辑，提升对题型的敏感度与分析能力；四是 ①基础计算：单独考查二阶、三阶行列式 错题复盘，定期梳理典型错题，细致剖析错因， 展开（如教材中“计算三阶行列式，按行/列展 提炼通用解法，避免同类失误；五是限时训练， 开余子式”的习题)，本题第(1)问就是典型的 每周完成2一3道导数压轴题，在限时作答中 三阶行列式基础计算，直接对应教材中“余子 锤炼解题速度，优化应试策略，切实提升考场 式展开法”的习题原型，是高等数学基础内容 实战能力。 (责任编辑王福华) 33