依托导数巧构造，学会不等式证明技巧-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

中学生表理化学创新降银费源 依托导数巧构造，学会不等式证明技巧 ■江苏省淮州中学 王草野 构造法是利用导数证明不等式综合问题 (x≥1)，则h1)=0,h'(x)=二1+ln之+ 时比较常用的一种方法，其是借助问题场景， e 合理构造与所要证明的不等式相关的函数， +是+1=+°+1.因为x≥1，所以 借助导数及其应用，利用函数的基本性质（单 调性、极值、最值等)等加以转化，从而实现不 A)-+台+1>0.所以Ax)在[1， 等式综合问题的巧妙证明。 十∞)上单调递增，所以当x≥1时，h(x)≥ 一、直接构造法 直接构造法主要是用来证明不等式 h1)=0,即1-1nz-￡-1+x≥0. x f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))的成立问题， 所以当x≥1时，f(x)十g(x)≥之。 此时惜助不等式的恒等变形，转化为证明不 等式f(x)-g(x)>0(或f(x)-g(x)<0) 点评：借助直接构造法证明不等式时，往 的成立问题，进而通过作差直接构造对应的 往通过作差构造函数h(x)=f(x)一g(x)来 辅助函数h(x)=f(x)一g（x),结合函数与 转化，此时∫(x)与g(x)中，往往一个比较复 导数的综合应用来证明。 杂，一个比较简单。该方法证明不等式的基 例1已知函数f(x)=1-nx 本步骤为：①作差或变形；②构造新的函数 g(x);③利用导数研究g(x)的单调性或最 g(x)=ae+-bx,若函数f(x)与函数 值；④根据单调性及最值来证明不等式。 二、构造双函数 g(x)所对应的曲线在公共点A(1,1)处的切 构造双函数来证明不等式时，往往是由 线互相垂直。 于直接构造一个函数来处理问题时无法达到 (1)试求实数a,b的值； 目的。在这个条件下，对于所要证明的不等 (2)证明：当x≥1时，不等式f(x)+ 式的两边，可分别构造函数∫(x)和g(x),通 gx)≥是恒成立。 过求解这两个函数的最值，并结合不等式的 性质等来证明相应的不等式。 解析：(1)对函数f(x),g(x)分别求导 得'(x)=1nx-1 例2已知函数f(x)=alnx十x。 x2-,g'(x)=-ae1 e (1)讨论f(x)的单调性； 由于函数f(x)与函数g(x)所对应的曲 (2)当a=1时，证明：xf(x)<e。 线在公共点A(1,1)处的切线互相垂直，所以 解析：(1)依题意知，f(x)的定义域为 f'(1)g'(1)=-1。 0,+eo)f'（x)=g+1=+e x 又因为g(1)=a+1-b=1,f'(1)= 当a≥0时，f'(x)>0,所以f(x)在(0， -1,所以g'(1)=-a-1-b=1,解得a= 十∞)上单调递增。 -1,b=-1。 当a<0时，若x∈(0，一a),则f'(x)< (2)由(1)知，g(x)=一°十1+x,则 0;若x∈(-a,+∞)，则f'(x)>0。所以 fx)+g(x)≥2→1-n2-e-1+x≥0。 f(x)在(0，一a)上单调递减，在（一a,十∞） x ex 上单调递增。 构造函数h(x)=1-n工一e一1 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，十∞) xe+x 上单调递增；当a<0时，f(x)在(0，一a)上 30 解数型新题碧捏香滑中学生表理化 单调递减，在（一a,十∞）上单调递增。 解析：(1)当a=1时，f(x)=e-1一lnx (2)当a=1时，要证xf(x)<e,即证 -1(x>0),f'(x)=e1-1,f'1)=0。 x+xlnx<e,即证1+lnx<e 又f(1)=0,所以切点为(1,0)，所以切 令函数g(x)=1+ln工(x>0),则 线方程为y一0=0(x一1)，即y=0。 x (2)因为a≥1，所以ae-1≥e-1,所以 g'(x)=1-Inx T! f(x)≥e-1-lnx-1。 令p(x)=e-1-lnx-1(x>0),则 由g'(x)>0,得x∈(0，e);由g'(x) 0,得x∈(e,十∞)。所以g(x)在(0，e)上单 p'(x)=e-l-1 调递增，在(e,十∞)上单调递减。所以 令h(x)=e-1-1 (x>0),则h'(x)= g(x)=g(e)=1十。 京>0，所以函数h(x)在(0，十∞)上 令函数h(x)二。（x>0),则'(x) 单调递增。 e(x-2) 而h(1)=0,则知当x∈(0,1)时，h(x) x =9'(x)<0;当x∈(1，+∞)时，h(x)= 当x∈(0,2)时，h'(x)0;当x∈(2， p'(x)>0。 十∞)时，h'(x)>0。所以h(x)在(0,2)上 所以函数p(x)在(0,1)上单调递减，在 单调递减，在(2，+∞)上单调递增，所以 (1,十o∞)上单调递增，所以p(x)mim=p(1)= h(x)m=h(2)=名。 0,所以9(x)≥0。 (1+)>0,所以h(x)m> 所以f(x)≥P(x)≥0。 点评：适当放缩法来证明不等式时，其中 g(x)mmx,即1十 ,从而xf(x)<e得 构造函数的基本技巧策略是：(1)若已知参数 范围，则利用参数的范围进行汝缩，达到消参 证。 的目的。也可以利用局部函数的有界性进行 点评：若将不等式两边的函数∫(x)与 放缩，然后构造函，数进行证明。(2)常见的两 g(x)直接作差或作商构造函数，求导运算与 个放缩公式：①e≥x十1，当且仅当x=0时 应用比较复杂或无从下手时，我们可以通过 取等号；②lnxx一1，当且仅当x=1时取 巧妙构造两个函数来处理，分别求解这两个 等号。 函数的最大值或最小值，利用不等式的性质 利用导数工具性及其应用，借助相应函 加以分析，从而巧妙实现不等式的证明。 数的构造，通过函数与导数的应用来证明不 三、适当放缩法 等式，特别是多种形式的构造法，如直接构造 适当放缩法是基于一些特殊应用场景， 法、双函数构造法及适当放缩构造法等，进而 根据已知条件适当放缩，如欲证A≥B,需通 通过研究函数的基本性质来突破，从而得以 过B≤B1,B1≤B2,…,Bn≤A(或A≥A1, 巧妙证明相应的不等式及对应的综合问题。 A1≥A2,…,A,≥B)等方式来进行放缩处 总之，在实际运用构造函数法证明不等 理，再利用传递性并在放缩处理的条件下合 式时，要联系起不等式证明的基本方法，以及 理构造函数来证明相应的不等式。 构造函数的基本方法，还有函数与导数的综 例3已知f(x)=ae-1-lnx-1。 合应用，进而选取相应的技巧方法与应对策 (1)若a=1,求f(x)在点(1，f(1))处的 略，实现知识的交汇与融合，全面提升数学关 切线方程； 键能力，培养数学核心素养。 (2)证明：当a1时，f(x)≥0。 (责任编辑王福华) 31