高考集合新定义创新题的命题运辑与解题策略剖析-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

舒微型新澳轻膏中学生表理化 高考集合新定义创新题的命题逻辑与解题策略剖析 ■甘肃省渭源县第四高级中学 王成 在深化教育改革与新高考模式全面椎进 (2)由题意知，集合A={1,2,3,4,5,6}, 的时代背景下，高考数学命题正经历着从知 共有64个不同的子集，将其两两配对成32 识本位到素养导向的深刻转变。集合新定义 组B,,C,(i=1,2,…,32),使得B,∩C:=), 题作为近年来高考试卷中的高频考题与创新 B,UC,=A,则B,C不能同时被选中为子 亮点，突破传统集合运算（交、并、补）及元素 集A,(j=1,2,…,m),故m≤32。 性质的考查框架，通过创设诸如非对称集合 选择集合A的32个含有元素1的子集： 运算、拓扑邻域式元素判定规则、跨学科融合 A1={1},A2={1,2},A3={1,3},…,A32= 的集合性质等全新概念，构建起极具新鲜感 A,符合题意。 与挑战性的问题情境，考查同学们的抽象思 综上可得，m的最大值为32。 维、逻辑推理及知识整合能力。本文将以近 (3)结论：mmx=n,令A1={1},A2={1, 期联考试题为切人点，从命题逻辑的设计机 2},A3={1,3},…,A。={1,n},集合A1,A2, 理与解题策略两个维度展开深度剖析，以期 …,An,符合题意。 为同学们的复习备考提供参考。 证明如下： 一、命题逻辑的核心特征 ①若A1,A2,…,Am中有一元集合，不妨 (一)问题设置的层次性 设A1={1},则其他子集中都有元素1，且元 例1定义有限集合S的元素个数为 素2~n都至多属于1个子集，所以除A1外 card(S),如S={a,b,c,d},则card(S)=4。 的子集至多有n一1个，故m≤n。 己知集合A={1,2,3,…,n},其中n∈N“, ②若A1,A2,,Am中没有一元集合，但 A1,A2,…,Am都是A的子集且互不相同，记 有二元集合，不妨设A1={1,2}。 M,=card(A,),N=card(A,∩A,)(i,j∈ 其他子集分两类：B,={1,b,}或{1，b,, {1,2,…,m},i<j)。 b'}(j=1,2,…,s),C,={2,c,}或{2，cjc,'} (1)若card(A)=4,且A1={2,3},A2= （i=1,2,…,t),其中s≥t,b,b,'互不相同， {2,4》,N14=N21=1,写出所有满足条件的集 c,,c,'互不相同且均不为1,2。 合A1; 若t=0,则s≤n一2，有m=1十s十t (2)若card(A)=6,且对任意1≤i<j≤ n-1n。 m,都有N,>0,求m的最大值； 若t≥1，则由|B,∩C1|=1得每个集合 (3)若n≥7，M,≤3(i=1,2,…,m)且对 B,中都恰包含C1中的1个元素（不是2），且 任意1≤i<j≤m,都有N=1,求m的最大 互不相同。因为C1中除2外至多还有2个 值。 元素，所以s≤2。所以m=1十s十t≤1十2十 解析：(1)因为N14=N21=1,所以A1∩ 2<n。 A,和A2∩A1的元素个数均为1。 ③若A1,A2,…,Am均为三元集合，不妨 又card(A)=4,则A={1,2,3,4}。 设A1={1,2,3}。 若A1∩A1={2},A2∩A1={2},则A 将其他子集分为三类：B,={1,b,b,} ={2}或A1={1,2}； (j=1,2,…s),C,={2,cc,'}（j=1,2,…, 若A1∩A1={3},A2∩A1={4},则A1 t),D,={3,d,d,')(j=1,2,…,r),其中 ={3,4}或A1={1,3,4}。 s≥t≥r。 综上可得，A1={2}或A1={1,2}或A ={3,4}或A1={1,3,4}。 若1==0，则s<”23(除1,2,3外，其 17 中学生款理化贺韁学创新衡源 他元素两个一组与1构成集合B1,B2,…, 取a=(0,-1,0),则a7=(6+一1十 B,),所以m=1十s≤1+”，3<n。 6)=一1<0，「不为A上的范数，C错误。 2 若t≥1，不妨设C1={2,4,5},则由|B 由La」=√x'+y+之，可知a」≥0，当 ∩C1|=1得每个集合B,中都有4或者5。 且仅当a=(0,0,0)时，La=0,满足①。 又B1,B2,…,B,中除1外无其他公共 Hk∈R,a∈A,可得Lka」= 元素，所以s≤2。 √(kx)+(ky)+(kx)下=|k1· 所以m=1十s十t十r≤1十2十2十2= √x+y+之=|k|·La」，满足②。 7n。 设a,b∈A,且a=(x1,y1,x1),b=(x2, 综上可得，mmx=n。 y2,之），则La十b」= 命题逻辑：从充分理解新定义，到对交集 √(x1十x2)十(y1+y2)+(1十2)F,La」 情况进行分类讨论，再到特殊性证明，形成完 =√x+yi十之7Lb」=√x十y十z。 整的能力考查链条。 思维进阶：逐步引导同学们从具体计算 所以La」十Lb)2-(La」+LbJ)”= 过渡到抽象推理，符合同学们的认知规律。 2√(xi十y1十2)(x十y十之)-2(x1x2十 (二)知识融合的多样性 y1y2十21之2)。 例2（多选）设集合A={aa=(a1, 因为(x十y十i)(x十y十)一 a2,a3),a1,a2,a3∈R},且Hx∈R,a=(a1, (x1x2十y1y2+x1x2)2=(x1y2-x2y1)2十 a2,a3)∈A,b=(b1,b2,b3)∈A,a+b=(a (x1之2-x2x1)2十（y1之2-y2x1)2≥0，所以 +b1,a2十b2,a3+b3）,xa=(xa1,xa2,xa3）。 La」十Lb」La十b小，满足③。 定义运算川‖：若满足①Ha∈A,川a‖≥0， 综上可知，L」为A上的范数，D正确。 当且仅当a=(0,0,0)时，川a‖=0，②Ha∈ 故选BD。 A,x∈R,lxa‖=|x·la‖，③Ha,b∈ 知识融合：将集合与向量的坐标运算相 A,‖a十b‖≤‖a‖十川b‖这三个条件，则 结合，结合新定义逐项判断即可，考查向量与 称‖‖为A上的范数。下列结论正确的是 集合定义的交叉应用。 ）。 命题意图：通过新颖的向量集合定义，检 A.若‖‖为A上的范数，且3x,y∈R, 验同学们对空间向量的坐标运算、空间向量 a,b∈A,‖xa十yb‖=0，则x=y=0 的模长表示等方面的理解，以及综合运用知 B.若‖‖为A上的范数，则Hx,y∈R, 识的能力。 a,b∈A,‖xa+ybl≤|x·la‖十|y|· 二、解题策略深度解析 1b1 (一)核心策略：定义拆解与转化 C.定义运算r7:a=(x,y,x)∈A,「a 1.逐条分析定义要素 =(x++)3,则「7为A上的范数 将新定义中的条件分解为可操作的步 D.定义运算L」：Ha=(x,y,x)∈A,La 骤，明确每一个约束条件的数学含义。 2.转化为熟悉的数学语言 =√x+y+,则」为A上的范数 将新定义等价转换为已有知识体系中的 解析：因为‖‖为A上的范数，所以由 概念或运算，降低理解难度。 ‖xa十yb‖=0，可得xa十yb=(0,0,0),取 (二)推理策略：正向推导与逆向验证 a=(1,1,1),b=(-1,-1,-1),可得x+y 1.正向推导 =0,A错误。 从新定义和已知条件出发，通过逻辑推 因为‖‖为A上的范数，所以由②③可 理逐步得出结论，适用于证明类或求解类问 得‖xa+yb‖≤‖xa‖+‖yb‖=|x1· 题。 ‖a‖十y1·川bl,B正确。 18