例读函数性质的高频考点-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

中学生表理化贺极学州务幸新费向 例谈函数性质的高频考点 ■江西金太阳教育研究有限公司 陈腾 函数作为高中数学课程的核心主线，贯 数的对称轴及单调区间求法。同时，要强化 穿必修、选择性必修及选修课程，于新高考范 复合函数问题的分析能力，通过合理换元，准 畴内，函数为每年必考内容。命题常以基本 确把握内外层函数的关系，才能在这类题目 初等函数及其衍生的复合函数、分段函数、抽 上做到游刃有余，提升解题的准确性与速度。 象函数为依托，聚焦函数的单调性、奇偶性及 2.利用单调性比较大小 对称性等，检验同学们的逻辑推理、数学抽 例2已知1<x<3,若a=(1ogx)2, 象、数学运算等核心素养。准确把握函数性 b=1ogx2,c=1og(1ogx),则()。 质的高频考点，对于提升解题能力、深化对函 A.c<b<a B.c<a<b 数本质的理解意义重大。本文基于对一些典 C.b<c<a D.a<c<b 型例题的研究，系统梳理函数性质的高频考 解析：根据函数y=1og:x为增函数，由 点，剖析其解题思路，助力同学们攻克函数性 1<x<3,可知0<1og:x<1,所以0< 质学习中的关键难点，提升数学素养与应试 (logx)<log:x,即0<a<logx。因为 能力。 x2>x,所以1ogx2>logx,即b>1og:x。 一、函数的单调性 又因为c=log(logs x)<0,所以c<a<b。 1.利用单调性求参数的范围 故选B。 () 十a 例1若函数f(x) 在区间 点评：本题围绕对数函，数的单调性，巧妙 设置对数式大小比较问题，综合性与灵活性 [1,2]上单调递减，则实数a的取值范围是 兼具。解答本题的关键在于依据对数函数 ()。 y=logx的单调性确定1ogx的取值范围， A.(-∞，-4] B.(-∞，-2] 以此为基础，对a,b,c进行分析。对同学们 C.[-2,+∞) D.[-4,十∞) 而言，在学习过程中需要将函数单调性与对 解析：设t=x2十ax,则y= ()》,显然 数式、指数式、幂式比较大小的问题涉及的知 识进行系统梳理，建立完整的知识网络。这 y=(3) 为减函数，由复合函数的单调性得 样在面对类似问题时，能够快速调动相关知 t=x2+ax=(+)°-2在区间[1,2]上 识，找到解题的突破口。 3.分段函数的单调性 单调递增。又t=x+ax在[-名，十∞)上 例3 已知函数f(x)= /-x2+(2a-3)x十3a,x<0, 单调递增，所以[1,2]=[-，+∞），则-分 (a>0且a≠ 1og.(x+1)+6,x≥0 1)是R上的单调函数，则实数a的取值范围 ≤1，解得a≥一2，即实数a的取值范围是 是( [-2,十∞)。故选C )。 ,点评：解答本题的关键在于利用复合函 A.(1,2] B[3+o) 数单调性“同增异减”的原则，拆解出内外层 函数，外层指数函数的单调性明确，进而聚焦 c. D.(. 于内层二次函数单调性的分析。对同学们而 解析：易知∫(x)在R上只能是单调递 言，需熟练掌握各类基本初等函数的性质，譬 增函数。当x≥0时，f(x)=log。(x十1)十 如指数函数的单调性与底数的关联、二次 6,要使其在[0，十∞)上单调递增，则a>1。 10 如氧数学学意费氧帮肉中学生凝理化 当x<0时，f(x)=-x2+(2a-3)x+3a, 用特值法，譬如f(x)为偶函数满足f(1)= 对称轴为x=一 2a-3=2a3,要使其在 f(一1)，f(x)为奇函数满足f(一1)= 2×(-1) 2 一∫(1)，可以提高运算的正确率。 一∞，0)上单调递增，则“2≥0。整体来 三、函数的周期性 看，因为f(x)在R上只能是单调递增，所以 例5已知函数f(x)满足：对任意x 在x=0处需满足一02+(2a一3)×0十3a≤ ∈R,都有f(x十2)·f(x)=k(k为常数)， log.(0十1)十6，即3a≤6。综上所述，实数a 且当x∈[0,2]时，f(x)=x2十1，则 a>1, f(2026)=()。 2a-3 A.5B.2C.3 D.4 满足的不等式组为 2一≥0，解得2红 解析：因为f(x十2)·f(x)=k(k为常 3a6, 数)，所以f(x十4)·f(x十2)=k,从而 2。故选C。 f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4，所以 ,点评：本题是分段函，数单调性问题的典 f(2026)=f(2)=5。故选A。 型范例，融合了二次函数与对数型函数的单 点评：本题聚焦函数周期性这一重要性 调性。解题时，先分别分析x≥0和x<0时 质展开考查，具有典型性和启发性。解答本 函数的单调性，再就整体而言，不能忽视函，数 题的关键在于以f(x十2)·f(x)=k(k为 在分段，点x=0处的衔接，从而构造不等式组 常数)这一条件为切入，点，通过对变量合理代 求解。对同学们而言，在处理分段函，数单调 换，推导出函数的周期。在求f(2026)的值 性问题时，需要养成有序分析各段函数、关注 时是借助函数的周期转化为已知区间[0,2] 衔接，点的习惯，这种分类与整体结合的思考 内∫(2)的值，这是解决函数周期性问题的常 方式，是解决分段函数单调性问题的关键。 用方法。对同学们而言，需要强化对函数周 二、函数的奇偶性 期性的运用能力，熟练掌握通过各种函数关 份4若f)=(+ e十7m)是 系式推导周期的方法。 四、函数的对称性 定义在（一∞，0）U(0,十∞)上的偶函数，则 m=(）。 例6已知函数f(x)= A.-2B.-1C.1D.2 x2-4x十b,x≤1， 若f(1+x)=f(1-x) 解析：由条件得f(一x)=f(x),即】· a.x2,x>1, 恒成立，则a十b=( )。 A.0B.2C.4D.5 解析：因为f(1+x)=f(1一x),所以 2 2 所以一x3十 e十i-m=-x3 e+7+m, f(x)=f(2-x)。当x>1时，2-x<1,由 f(x)=f(2-x)得ax2=(2-x)2-4(2-x) 2 2 整理得2= 2(e+1) +1+。+1 =2, e+1 +b=x+b-4,所以a=1, 即/a1, 所以m=1。故选C。 b一4=0， b=4, ,点评：已知函数的奇偶性求参数是考查 所以a十b=5。故选D。 函数奇偶性的典型形式，也是高频考点。对 ,点评：本题围绕函数对称性与分段函，数 于定义域关于原，点对称的偶函数f(x)满足 性质设置考，点，是一道综合性较强的题目。 f(x)=f(一x),本题以此为核心，并运用这 解答本题的关键在于由f(1十x)=f(1一x) 一性质建立等式求解未知参数。对同学们而 推出f(x)=∫(2一x),并巧妙利用x与2一 言，需要抓住函数奇偶性的定义建立等式，并 x分别处于分段函数不同区间的特，点建立方 强化运算能力以增强化简整理能力。有时采 程。对同学们而言，在平时的学习过程中，需 11 中学生款理化架贺学科章新向 要掌握基本初等函数的对称特，点，理解并记 称图形 忆一些函数对称性的常用结论，譬如函数 B.对于任意实数a,f(x)在(1，十∞)上 f(x)满足f(a十x)=f(a一x),则其图像关 单调递增 于直线x=a对称。 C.当a>1时，f(x)>0恒成立 五、函数性质的综合应用 D.存在实数a,使得关于x的不等式 例7设函数f(x)的定义域为R, f(x)≥0的解集为(-∞，0]U[2,+∞) f(x+1)为奇函数，f(x十2)为偶函数，当x 解析：因为函数y=x2一2x与y=lnx ∈[1,2]时，f(x)=ax2十b,若f(0)+f(3) 一1|十a的图像都关于直线x=1对称，所以 =12,则f()=( f(x)的图像关于直线x=1对称，A正确。 )。 当x>1时，函数y=x2-2x与y=lnx-1|十 A.5 B.4 c号 D.2 a都单调递增，所以f(x)在(1，+∞)上也单 调递增，B正确。当x→1时，y=x2一2x→ 解析：因为f(x十1)为奇函数，所以f(x 一1，当a满足a>1且与1很接近时，y=x +1)=-f(-x+1),所以f(x)=-f(-x 一2x十a→0，此时f(x)→lnx一1|，结合y 十2)①。因为f(x十2)为偶函数，所以 =1nx一1|的对称性和单调性可得，当x→1 f(x十2)=f(-x+2),所以f(x)=f(-x 时，f(x)→一∞，C错误。因为f(x)的图像 十4)②。由①②得-f(一x十2)=f(一x 关于x=1对称，且在（一∞，1）上单调递减， 十4)，所以一f(x+2)=f(x十4)，f(x)= 在(1，十∞)上单调递增，又f(0)=f(2)=a, 一f(x+2)=f(x十4)，所以函数f(x)的周 所以存在a=0,使得f(x)≥0的解集为 期为4。由①式得f(0)=一f(2),由②式得 (-∞，0]U[2,十∞)，D正确。故选ABD。 f(1)=f(3)。因为f(0)十f(3)=12,所以 点评：本题围绕函数f(x)=x2一2x十 -f(2)+f(1)=12,所以-(4a+b)+a+b lnx一1|十a展开，对函数性质进行多角度 =12,解得a=一4。由①得f(1)=一f(1), 考查。对于选项A和选项B,均通过分析组 则f(1)=0,即a十b=0,又a=一4，所以b 成f(x)的两个基本函数y=x2一2x和y= =4。综上可得，f(2)=(3)=-() lnx一1|十a的对称性和在(1，十o∞)上的单 调性来判断∫(x)的相关性质。选项C结合 -(-4×+)=5.放选A 极限思想考查函数值的范围。选项D结合对 ,点评：本题综合考查了函数的奇偶性、对 称性，由f(0)=f(2)=a找到了特殊值a=0 称性及周期性，对知识体系的系统性要求较 满足不等式f(x)≥0的解集为（一∞，0]U 高。解答本题的关键是由抽象函数奇偶性的 [2,十∞)。这是一道关于函数性质的多选 本质得出函数的对称中心和对称轴，同时推 题，各选项相互补充又彼此独立。对同学们 理出函数的周期性。结合f(0)十f(3)=12 而言，能有效检验对函数综合性质掌握的全 建立方程求解参数a,b,最后求f(侣），你现 面性与灵活性。 总之，函数性质是高中数学的核心枢纽， 了从性质推导到参数求解再到具体求值的完 连接着各个数学知识板块，在新高考中更是 整解题链条，很好地考查了函，数知识的综合 重中之重。本文结合例题对函数性质高频考 运用能力。对同学们而言，学习时要熟练掌 点进行了梳理，期望能为莘莘学子打开洞察 握函数各种性质的内在联系，构建知识体系， 函数性质奥秘的窗口。愿同学们以此为契 解题方能游刃有余。 机，在函数学习的过程中，不断打磨逻辑推 例8（多选）已知函数f(x)=x2 理、数学抽象与数学运算等核心素养，将函数 2x十lnx-1+a,则( )。 性质的相关知识融会贯通。 A.对于任意实数a,f(x)的图像为轴对 (责任编辑王福华) 12