剖析一元二次含叁不等式恒成立与能成立问题的解题策略-《中学生数理化》高三数学2025年9月刊

知识篇科学备考新指向 高三数学2025年9月 中学生数理化 剖析一元二次含参不等式恒成立与 能成立问题的解题策略 ■湖南省郴州市第二中学段移忠 在高考数学中，一元二次不等式占据着 a>0, 一元二次不等式ax2十bx十c0(a≠ 举足轻重的地位，尤其是“一元二次含参不等 △0， 式恒成立与能成立问题”作为考点，频繁出现 a0, 0)的解集为R的条件为 解出q后再 在各类考试试卷之中，成为同学们需要攻克 △0， 的关键堡垒。这类问题不仅仅是简单的数学 结合充分、必要条件的概念即可求解。 运算，其背后蕴含着丰富的数学思想，诸如 二、一元二次不等式在某区间上的恒成 “函数与方程”思想，将不等式问题巧妙转化 立问题 为函数问题求解：“化归与转化”思想，把复杂 例2若对任意的x∈(0，十o∞)，x2一 陌生的问题转化为熟悉可解的问题；“数形结 m.x十1>0恒成立，则实数m的取值范围是 合”思想，借助图形直观呈现数量关系；“分类 ( )。 讨论”思想，对参数不同取值情况逐一剖析。 A.(-2,2) B.(2,十∞) 本文聚焦一元二次含参不等式恒成立与能成 C.(-∞，2) D.(-∞，2] 立问题，系统梳理题型，结合典型例题总结解 解析：由x∈(0，十∞)，x2-mx十1>0 题策略，希望能为同学们的复习备考提供有 益参考与借鉴。 恒成立m<x+x∈(0，十∞)恒成立，即 一、一元二次不等式在实数集上的恒成 只需满足m<(e+) ,x∈(0，十∞)。当 立问题 min 例1已知命题p:0≤a≤2，q:对于任 x>0时，x+≥2· 1 =2,当且仅当x 意x∈R,都有ax2-ax十1≥0，则p是g成 立的()。 =】,即x=1时取等号，所以m<2,即实数 A.充分不必要条件 m的取值范围是（一∞，2）。故选C。 B.必要不充分条件 评注：对于不等式恒成立问题，我们常常 C.充要条件 可以转化为函数的最值来处理，具体如下： D.既不充分也不必要条件 (1)对任意的x∈[m,n],af(x)恒成立， 解析：命题q:不等式ax2-ax十1≥0对 则有a>f(x)mx;若对任意的x∈[m,n],a 任意实数x都成立，若a=0,则1>0，符合题 >f(x)无解，则有a≤f(x)mim。(2)对任意 意：若a≠0，则> 。即/a0, 的x∈[，n],a<f(x)恒成立，则有a 解得 △0， a2-4a≤0， f(x)mim;若对任意的x∈[m,n],a<f(x)无 a∈(0,4]。所以命题q:0≤a≤4。又命题 解，则有a≥f(x)mx。此题为一元二次不等 p:0≤a≤2，设A=[0,2],B=[0,4],则A 式在给定区间上恒成立问题，可以借助二次 是B的真子集，所以p是q成立的充分不必 函数的图像与性质讨论求解，但考虑到x 要条件。故选A。 (0,十∞)，所以变量分离会更简单易行，分离 评注：该题先求出命题q的充要条件，对 参数后，利用均值不等式求出最小值即可。 于命题q需注意讨论a是否为0，这是同学们 三、给定参数范围的一元二次不等式的 容易忽略的地方。当a=0时，命题q显然成 恒成立问题 立；当a卡0时，根据一元二次不等式ax2十 例3若命题“存在a∈[-1,3]，使得 bx十c≥0(a≠0)的解集为R的条件为 ax2-(2a一1)x十3一a<0”为假命题，则实 中学生款理化贺数学科等幸新向 数x的取值范围为( )。 x十2m≤0”是真命题，则实数m的取值范围 A.{x|-1≤x≤4} 是( )。 B.女10Ec≤号} A.(仁，) C{x-1≤x≤0或 ≤x≤4 c(g+e】 .[+ D女-1Ex<0或号<x<4 解析：因为“存在x∈R,使得x2十x十 2m≤0”是真命题，即2m一x2一x在R上 解法一：由题意可得，命题“对任意a∈ 有解，所以只需2m≤（一x2一x)mx。又因为 [-1,3],都有ax2-(2a-1)x十3-a≥0”为 真命题，即ax2-(2a-1)x十3-a=(x2 函数--x=-(+)+≤，所以 2.x-1)a十x十3≥0对任意a∈[-1,3]恒成 2m<子，解得m≤名，即实数m的取值范围 立，则需要满足不等式组 1-(x2-2x-1)十x十3≥0， 解得一1≤x≤0 是(-0，]故选B 3(x2-2x-1)+x+3≥0， 评注：不等式的能成立问题也往往转化 或号≤x≤4，即实数x的取值范围为 为最值问题：(1)若存在x∈R,a>f(x)有解 →a>f(x)mm;(2)若存在x∈R,a<f(x)有 {女-1≤<0或号≤x<4.故选C. 解→a<f(x)m。本题由已知可得2m≤ 解法二：若命题q:“存在a∈[一1,3]，使 一x2-x在R上有解，只需2m≤（一x2 x)mx,再根据二次函数的性质求出最大值即 得ax2-(2a-1)x十3-a<0”为真命题，令 可。 g(a)=ax2-(2a-1)x十3-a=(x2-2x 例5若存在x∈R,使得mx?+ 1)a十x+3,则g(一1)<0或g(3)<0,即 2(m一3)x十4≤0，则实数m的取值范围为 -(x2-2x-1)+x+30或3(x2-2x-1) )。 十x十3<0，解得x<-1或0<x<号或x> A.(1,9) 4。又因为q为假命题，所以实数x的取值范 B.(-∞，0) 围为e-1≤≤0或号≤x≤4.故选C C.(-∞，1)U(9,+∞) D.(-∞，1]U[9,+∞) 评注：解决恒成立问题一定要清楚选谁 解析：当m=0时，不等式为一3x十2 为主元，谁是参数。一般情况下，知道谁的范 Q,即x≥名：显然-3x+2≤0在x∈R上有 围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数， 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变 解，符合题意；当<0时，对于抛物线y= 量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。 mx2十2(m-3)x+4,开口向下，显然m.x2十 此题是一个能成立问题也可转化为一个恒成 2(m一3)x十4≤0在x∈R上有解，符合题 立问题，但发现给的是a的范围，求x的范 意：当m>0时，对于抛物线y=m.x2十2(m 围，所以利用主元变更法，看成是关于Q的一 一3)x十4，开口向上，只需△=[2(m-3)] 次函数，由题意可得，命题“对任意a∈[一1， -4×4×m≥0，解得m≤1或m≥9，又m> 0,所以0<m1或m≥9。综上可得，m≤1 3],都有ax2-(2a-1)x十3-a≥0”为真命 或m≥9，所以实数m的取值范围是（一o∞， 题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解。 1]U[9,+∞)。故选D。 四、一元二次不等式在实数集上的有解 评注：对于一元二次不等式ax2十bx十c 问题 例4若命题“存在x∈R,使得x2+ ≥0(a<0)在R上有解的条件为S0·。 4≥0，a 8 如氧数学学意费氧帮肉中学生凝理化 十bx十c0(a>0)在R上有解的条件为 上单调递增，所以g(x)m=g(0)=-a2一4。 a>0, 因为f(x)=2x2-2ax+2-a2= 而a.x2十bx十c≥0(a>0)与ax2+bx △≥0， 十c≥0(a<0)在R上一定有解。此题需分 2(。-号)广+2号，当号<0，甲a<0时心 m=0、m<0和m>0三种情况讨论，其中当 =f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)mm= >0时，△≥0，利用判别式列不等式求解即 f(0)=2-a2,则2-a2>一a2-4成立，故a 可，最后求并集。 <0,当0≤2<1，即0≤a≤2时.f(x)m 五、一元二次不等式在某区间上的有解 问题 1(侣)=2-8g,则2-婴>-公-4：解得 例6若关于x的不等式x2一6x十 -25≤a≤2B,所以0≤a≤2，当号>1，即 2一a>0在区间[0,5]内有解，则实数a的取 值范围是( ）。 a>2时，f(x)im=f(1)=-a2-2a十4，则 A.(2,+∞) B.(-∞，5) -a2-2a十4>-a2-4,解得a<4,所以2< C.(-∞，-3) D.(-c∞，2) a<4。 解析：若不等式x2一6x十2一a>0在区 综上所述，满足题意的实数a的取值范 间[0,5]内有解，则需(x2-6x十2)mx>a在 围是(-∞，4)。 区间[0,5]内成立即可。令f(x)=x2-6x 评注：对任意x1∈D1,存在x2∈D2,使 十2，x∈[0,5]，因为f(x)的对称轴为x= 得f(x1)≥g（x2)曰f(x1)min≥g(x2)m;对 -2×=3,f(0)=2,f(5)=-3,所以由 —6 任意x1∈D1,存在x2∈D2,使得f(x1)≤ g(x2)台f(x1)x≤g（x2)m；存在x1∈D1, 元二次函数的图像和性质得(x2一6x十2)m x2∈D2,使得f(x1)≥g(x2)曰f(x1)mx≥ =2,所以a<2,即实数a的取值范围是 g(x2)mim；存在x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1) (一∞，2)。故选D。 ≤g(x2)曰f(x1)mim≤g(x2)mx。此题只需将 评注：若不等式可化为k>g(x),x∈ 问题转化为f(x)min>g(x)mm,分类讨论求出 [m,n]有解，则k>g(x)mm（存在某个x使得 f(x)mim,再解f(x)mim>g(x)m即可得出参 k大于g(x)的最小值)；若不等式可化为 数的取值范围。 k<g(x),x∈[m,n]有解，则k<g(x)m 总之，一元二次不等式的“恒成立”要求 (存在某个x使得k小于g(x)的最大值)。 “所有解都满足”，需考虑全局最值；一般从函 不等式x2-6x+2-a>0在区间[0,5]内有 数图像（开口、判别式）或最值（区间端点、对 解，仅需(x2一6x十2)mx>a,利用一元二次 称轴)人手；含参数时优先讨论二次项系数是 函数的图像和性质求解即可。 否为0，避免遗漏一次函数情况；复杂问题可 六、不等式恒成立、能成立的综合问题 通过参变分离转化为求函数最值，或结合换 例7已知函数f(x)=2x2一2ax+ 元、分类讨论简化计算。“能成立”只需“存 2-a2,g(x)=x2+3x-a2-4(a∈R)。若 在至少一个解”，则考虑局部最值或反面情 对任意x1∈[0,1]，存在x2∈[0,1]，使得不等 况。一元二次不等式恒成立与能成立问题还 式f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围。 常与其他知识综合考查，解决这类综合问题， 解析：因为对任意x1∈[0,1]，存在x2∈ 需要融会贯通多个知识点，这有助于打破知 [0,1],使得不等式f(x1)>g(x2)成立，所以 识壁垒，提升综合运用数学知识解决复杂问 f(x1)mn>g（x2)mim。 题的能力。同学们也可以尝试不同思路和方 因为g(x)=x2十3x一a2一4= 法，形成敢于突破常规、寻求最优解的思维品 (e+2)-a-空，所以y=g(x)在[01门 质。 (责任编辑王福华) 9