一元二次函数，方程和不等式经典题型赏析-《中学生数理化》高一数学2025年9月刊

中学生表理化餐李方萨年月 -元二次函数、方程和不等式经典题型宽标 》 ■宋永刚 张文伟 题型一：作差法比较大小 题型二：作差法证明不等式 作差法比较大小，只需判断差的符号，通 作差法是证明不等式的一种常用方法， 常将差化为完全平方的形式或多个因式的积 一般要将不等式转化为两个式子差的形式， 的形式。友情提醒：比较两个正值的大小，可 再通过恰当的等价变形确定差的符号，从而 采用作商的方法，比较商与1的大小，对于某 证明原不等式成立。 些问题也可采用取中间值的方法比较大小。 例2已知x,y∈R,求证：x2十2y2≥ 例1(1)比较2x2+5.x+3与x2+ 2xy+2y-1。 4.x十2的大小。 证明：因为x2+2y2-(2xy十2y一1)= (2)已知x≤1，比较3.x3与3.x2一x十1 x2+2y2-2xy-2y+1=(x2-2xy+y2)+ 的大小。 (y2-2y+1)=(x-y)2+(y-1)2≥0，当且 解：(1)(2x2十5x+3)-(x2+4x+2)= 仅当x=y=1时等号成立，所以x2十2y2≥ x+x+1=(x+2)+。因为(+) 2xy+2y-1成立。 跟踪训练2：已知a>0,求证：a十1≥2。 ≥0，所以(+》+≥ >0,所以(2x2十 5x+3)-(x2+4x+2)>0,即2x2+5x+ 提示：因为a十名-2=(a)+(后) 3>x2+4x+2」 (2)3x3-(3x2-x十1)=(3x3-3x2)十 2=(a-后)≥0，所以a+≥2，当且 (x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)· 仅当a=二，即a=1时等号成立，所以a十 a (x一1)。由x≤1，可得x一1≤0。结合 3x2+1>0,可得(3x2+1)(x-1)≤0，所以 a≥2成立。 3.x3≤3x2-x十1。 题型三：利用不等式的性质判断命题的 跟踪训练1：(1)比较(x十3)(x十7)和 真假 (x十4)(x十6)的大小。 利用不等式的性质判断命题真假的两个 (2)已知a>0,b>0,比较a十b与 注意点：要注意不等式成立的条件，不要弱化 ab2+a2b的大小。 条件，尤其是不能想当然地随意捏造性质；采 提示：(1)因为(x十3)(x十7)一(x+ 用特殊值法排除选项时，注意取值一定要遵 4)(x+6)=(x2+10.x+21)-（x2+10x+ 循两个原则，一是满足题设条件，二是取值要 24)=一3<0，所以(x十3)(x十7)<(x十 简单，便于验证计算。 4)(x十6)。 例3（多选题）已知实数a,b,c,d满足 (2)易得a3十b3-(ab2+ab)=a3+ a>b>c>d,则下列选项中不正确的 b*-ab2-a'b=a-ab2+b-a'b=a(a- 是()。 b2)+b(b2-a2)=(a2-b2)(a-b)=(a+ A.a+d>b+c B.a+c>b+d b)(a-b)2。 C.ad-bc D.ac-bd 因为a>0,b>0,所以(a十b)(a-b)2≥ 解：不妨设a=2,b=1,c=0,d=一1，此 0,所以a3十b3-(ab2十a'b)≥0，所以a3+ 时a十d=b十c=1,ad=-2<bc=0,A错 b3≥ab2十a2b。 误，C错误。设a=一3，b=一4，c=-5,d= 44 高一数学典要翠方清中学生教理化 经典题突破方法 一6，则ac=15bd=24,D错误。由a>b, (方法3)易得。 b c>d,结合不等式的性质得a十c>b十d,B c-a c-b 正确。应选ACD。 c(a一b) (c-a)(c-b)。 因为c>a>b>0,所以a 跟踪训练3：（多选题）下列四个命题中 c(a-b) 的假命题是( )。 b>0,c-a>0,c-b>0,所以(c=a)(c-b) A.若a>b,c>d,则a-d>b-c >0,所以a>b 且若a≥6，则<公 c-a c-b 跟踪训练4：已知a>b>0,c<0,证明： C.若a<|b,则a2>b c>9 D.若a>b,c>d,则ac>bd b 提示：对于A,由c>d得一d>一c,结 提示：（方法1）9 c(b-a) 由 合a>b,可得a一d>b一c,A为真命题。对 L ab a>b>0,c<0,可得ab>0,b-a<0,c(b 于B,若a>b,且a>0,b<0,则>0b 。)≥0.所以6>0，即后>分 0,此时日>分，B为假命题。对于C,若a ab a 一1，b=2,则a2=1<b=4,C为假命题。对 (方法2)由a≥6>0，可得行>2>0 于D,若a=5,b=1,而c=一1，d=一4，则ac 因为c0,所以<，即>。 a =-5<bd=-4,D为假命题。应选BCD。 题型五：利用不等式的性质求代数式的 题型四：利用不等式的性质证明不等式 取值范围 利用不等式的性质对不等式的证明，其 解答这类问题，关键是建立待求式与已 实质就是利用性质对不等式进行变形，变形 知式的关系，结合不等式的性质，即可求得代 要等价，同时要注意不等式的性质适用的前 数式的取值范围。友情提醒：同向不等式的 提条件 两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果 例4已知c>a>≥6>0，求证：2。> 在解题过程中多次使用这种转化，就有可能 扩大其取值范围。 b c-b 例5已知-6<a<8,2<b<3,求2a十 证明：（方法1）因为c>a>b>0,所以 ba-b及分的取值范围。 0c一ac-b,所以(c-a)(c-b)>0,所以 解：由-6<a<8,2<b<3,可得-12< 1 1 0<(c=a)(c-b(c-a)<(c=a)(c-b· 2a<16,所以-10<2a+b<19。 c-.即0<6。 ,也即1>1 由-3<-b<-2,可知一9<a一b<6。 c-a c-b 对a分类后求分的取值范围。①当0≤ >0。又因为a>b>0,所以a c-ac-b a<8时，则0≤名<4：@当-6<a<0时， (方法2)因为a≥6≥0，所以日<行.因 0<-a<6,则0<-分<3，即-3<号<0. 为>0，所以后<6，所以后-1<6-1，即 a c-a<c-b 由①@得-3<号<4。 a b 跟踪训练5：已知1<a<6,3<b<4,则 又因为c≥a>b>0,所以c一a>0,c Q一b的取值范围是一：名的取值范围是 b>0,所以Q>b c-a-c-b 45 中学生款理化餐典皱翠破方法年月 提示：由3<b<4,可得一4<b<一3， 所以-3<a-b<3。 ]<1-2x- =1-2= 因为<<所以<号<2 1,当且仅当 1 =x-1,即x=2时取等号， 题型六：配凑法求最值 所以2一x x的最大值为-1。应选D。 1 配凑法的实质在于代数式的灵活变形， 其中配系数、凑常数是关键。利用配凑法求 题型七：巧用“1”的代换求最值 最值应注意三个方面：配凑的技巧以整式为 常数代换法解题的关键是通过代数式的 基础，注意系数的变化及等式中常数的调整， 变形，构造和式或积式为定值，然后利用基本 做到等价转化；代数式的变形以配凑出和或 不等式求最值。应用此种方法求最值时，应 积的定值为目标；拆项、添项应注意检验利用 把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求 基本不等式的前提。 积或相除求商。 4 例6(1)若x<2,则x十x-2的最大 例7若x>0,y>0,且上+9 x =1,求 y 值是()。 x十y的最小值。 A.4B.5 C.-2D.2 解：由士号1，x>0,y>0,可得x+ (2)若0<x<分，则2x(1-3x)的最大 y-(+）x+)=10+号+兰≥10+ 值是 解：(1)由x<2,可得2一x>0,所以x+ x.立=16，当且仅当z-兰，即x=4, y I 4 x-2 =x-2十 4 -2+2=- （2-x十 y=12时等号成立，所以x十y的最小值为16。 跟踪训练7：已知x>0,y>0,x十8y= 2)+2-2-2 十2=-2， xy,求x+2y的最小值。 4 提示：因为x>0,y>0,x十8y=xy,所 当且仅当2一x= 2-x,即x=0时等号成 立，所以x十的最大值是一2。应选C 以+-1，所以x十2y-(+)x+ y x.16y (2)由0<x<行，可得3x>01-3x> 2)=10+号+1≥10+2√ y x 18,当且仅当二=16y,即x=12,y=3时等 o,所以2x1-3x)-号×8x1-3x)≤号× 3 号成立，所以x十2y的最小值为18。 3z+)=3兰)=，当且仅当3x=1-3x, 题型八：分离消元法求最值 2 对含有多个变量的条件最值问题，若无 1 即x=6时等号成立，所以2x(1一3.x)的最 法直接利用基本不等式求解，可尝试诚少变 大值是日 量的个数，即用其中一个变量表示另一个变 量，再代入代数式中转化为只含有一个变量 跟踪训练6：已知实数x>1,则2一x 的最值问题求解。 7的( 1 )。 例8已知x>0,y>0,x+2y+2xy= 8,求x十2y的最小值。 A.最小值为1 B.最大值为1 解：由x十2y+2xy=8,可得y= C.最小值为一1 D.最大值为一1 2+2。因为x>0,y>0,所以0<x<8。 8-x 提示：由x>1,可得x-1>0.2-x 气=1+1-x-与=1-x-1)+ 1 所以x+2y=x十 +7=x+9-1-z 8-x x+1 46 高-数学02翠方清中学生教理化 经典题突破方法 +7-1=x+1+97-2≥26 x+9 得x<分成x>分 9 2=4,当且仅当x十1=十1，即x=2时等 故不等式cx2十bx十a<0的解集为 号成立，所以x十2y的最小值为4。 <或> 跟踪训练8：已知a>0,b>0,且2a十 跟踪训练9：已知关于x的不等式x2十 b=ab一1，则a十2b的最小值为一 ax十b<0的解集为{x|1<x<2},求关于x 的不等式bx2十ax十1>0的解集 、提示：由2a十b=ab-1,可得a=6十。 提示：由x2十ax十b<0的解集为{x| 因为a≥0，b>0,所以a6十>0，所 1<x<2},可得方程x2十a.x十b=0的两个 根为1,2。由根与系数的关系得 以b>2。 因为a+2b=6+1+26=6-2)+3十 b-2 b-2 6=1×2,解得公=一3， /-a=1+2, 代入所求不等式 b=2, 3 2(b-2)+4=2(b-2)十b°2十5≥ 得2x2-3x+1>0,解得x<2或x>1。所 以不等式bx2十ax十1>0的解集为 3 2√2b-2)·b2+5=5+26,当且仅当 {<2或x>1 2么-2)一。二2即6=2+时等号成立，所 题型十：一元二次不等式在R上的恒成 以a+2b的最小值为5+2√6。 立问题 不等式ax2十bx十c>0(a≠0)恒成立台 题型九：二次函数与一元二次方程、二次 a0, 不等式间的关系及应用 ax2十bx十c<0(a≠0)恒成立台 △0， 一元二次不等式a.x2十bx十c>0(a≠0) 的解集的端点值是一元二次方程ax2十bx+ a0, ax2十bx十c≥0(a≠0)恒成立→ △0 c=0的根，也是二次函数y=ax2十bx十c的 a0, 图像与x轴交点的横坐标：二次函数y= ax2十bx十c0(a≠0)恒成立→ △≤0， ax十b.x十c的图像在x轴上方的部分，是由 a0, 不等式ax2+bx十c>0的x的值构成的，图 友情提醒：若题目中未强调是一元二 △0。 像在x轴下方的部分，是由不等式a.x2十 次不等式，且二次项系数含参数，则一定要讨 bx十c<0的x的值构成的。二次函数与一 论二次项系数是否为0的情况。 元二次方程、二次不等式三者之间相互依存、 例10已知Hx∈R,不等式kx”十2kx 相互转化。 (k十2)<0恒成立，求实数k的取值范围。 例9已知关于x的不等式ax2十bx十 解：当k=0时，原不等式可化为一2<0， c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的不 显然符合题意；当k≠0时，令y=kx2十 等式cx2十bx十a<0的解集。 2kx一(k十2)，由y<0恒成立，可得其图像 解：由不等式ax2十bx十c>0的解集为 都在x轴的下方，即图像的开口向下，且与x {x|2<x<3},可知a<0,且2和3是方程 k<0, ax2十bx十c=0的两根。由根与系数的关系 轴无交点，所以 解得 知-5，=6，所以之-一吾。由a<0 4k2+4k(k十2)<0， 一1<k<0。综上可得，实数k的取值范围是 知c<0,所以不等式cx2十bx十a<0,即 {k|一1<k≤0}。 x2+ 名x+2>0,也即x- ,1 跟踪训练10：已知Hx∈R,不等式x2十 C 6x+6>0,解 ax十3≥a恒成立，则实数a的取值范围 47 中学生教理化高数学2025年9月 经典题突破方法 为 将所求问题转化为端点值的问题来解快；对 提示：原不等式可化为x2十ax十3一a≥0 一些简单的问题，可转化为m>ymim或m< 恒成立。由函数y=x2十a.x十3一a的图像开 ymx的形式，通过求y的最小值与最大值，求 口向上，可得△=a2一4(3一a)=a2+4a 得参数的取值范围。 12≤0，即(a-2)(a十6)≤0，解得-6≤a≤2， 例12当1<x<2时，关于x的不等式 所以实数a的取值范围为{a|一6≤a≤2}。 x2十m.x十4>0有解，则实数m的取值范固 题型十一：在给定范围上的恒成立问题 为 当a>0时，a.x2十bx十c<0在x∈{x 解：记函数f(x)=x2十mx+4。 a≤xB}上恒成立台y=ax2十bx十c在x= 由二次函数的图像（图略）可知，不等式 a和x=B处的函数值同时小于0。当a<0 x2十mx+4>0(1<x<2)有解，则f(1)= 时，a.x2十b.x十c>0在x∈{x|a≤x≤β}上恒 m十5>0或f(2)=2m+8>0,解得m> 成立台y=ax2十bx十c在x=a和x=B处的 一5，所以实数m的取值范围为（一5，十∞）。 函数值同时大于0。 跟踪训练12：若存在x∈R,使得 例11当1≤x≤2时，不等式x2+ mx十4<0恒成立，求实数m的取值范围。 去件之2成立，求实数的取值范周。 解：令函数y=x2十x十4。 提示：因为x2一2x十3=(x-1)2十2> 由y<0在1≤x≤2上恒成立，可得y= 0,所以4x十m≥2(x2-2x十3)能成立，即 0的根一个小于1，另一个大于2。 m≥2x2-8.x十6能成立。又2x2一8.x十6= 由题意画出函数y=x2十mx十4的大致 2(x一2)2-2≥一2，所以m≥-2，即实数m 图像，如图1所示。 的取值范围为{m|m≥一2}。 1.已知x>0,y>0,则3y+12的最小 y 值为()。 A.15 B.12 图1 C.8 D.6 m+5<0, 提示：由基本不等式知3y+12工≥ 结合图1得 解得m一5， y 4+2m+40, 所以实数m的取值范围是{mm<一5}。 √ =12,当且仅当3Y=12,即 y x y 跟踪训练11：命题“Hx∈{x1≤x≤ 2},x”一a≤0”为真命题的一个充分不必要条 y=2x时等号成立，所以+12的最小值 x y 件是( )。 为12。应选B。 A.a≥4 B.a≥5 2.若0<a<2,则√(2-a)a的最大值为 C.a≤4 D.a≤5 提示：因为命题“x∈{x|1≤x2}, 提示：当0<a<2时，2一a>0,所以 x2一a≤0”是真命题，所以当1≤x≤2时， 2-aa≤2-g)+e=1,当且仅当2 a≥x2恒成立，所以a≥4。结合选项知该命 题为真命题的一个充分不必要条件是a≥5。 a=a,即a=1时等号成立，所以√(2一a)a 应选B。 的最大值为1。 题型十二：解决简单的能成立问题 作者单位：河南省开封高级中学 解答这类问题，可结合二次函数的图像， (责任编辑郭正华) 48