集合与常用逻辑用语典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2025年9月刊

中学生表理化餐典李方年9月 集吕与常用逻辑用语典型专题赏析 ■李勇 等腰三角形，C正确。高中学生中的游泳能 题型一：集合中元素的特征 手没有确定的标准，故不能构成集合，D不正 集合中的元素具有三大特征，即确定性， 确。应选C。 互异性和无序性。若两个集合相等，则这两 (2)由题意得a≠0。因为两个集合相 个集合的元素相同，但要注意其中的元素不 等，又1≠0，所以2=0，所以b=0,所以a 一定按顺序对应相等。 a 例1（多选题）以下元素的全体能构成 1,即a=士1。当a=1时，集合A不满足集 集合的是( )。 合中元素的互异性，舍去，所以a=一1。故 A.中国古代四大发明 a2026十b2026=1。 B.周长为10cm的三角形 题型二：元素与集合之间的关系 C.方程x2十2x-3=0的实数根 判断元素与集合之间关系的两种方法： D.地球上的小河流 直接法，判断该元素在已知集合中是否出现： 解：在A中，中国古代四大发明具有确 推理法，判断该元素是否满足集合中元素所 定性，能构成集合。在B中，周长为10cm的 具有的特征。 三角形具有确定性，能构成集合。在C中，方 例2集合A的元素y满足y=x2十1， 程x2十2x一3=0的实数根为一3和1，能构 集合B的元素(x,y)满足y=x2十1(A,B 成集合。在D中，地球上的小河流不确定，因 中x∈R,y∈R),则下列选项中元素与集合 此不能构成集合。应选ABC。 的关系都正确的是()。 跟踪训练1：(1)下列说法中正确的是 A.2∈A,且2∈B ）。 B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B A.与定点A,B等距离的点不能构成集 C.2∈A,且(3,10)∈B 合 D.(3,10)∈A,且2∈B B.由“title”中的字母构成的集合中的元 解：集合A中的元素为y,是数集。因为 素个数为5 y=x2十1≥1，所以2∈A。集合B中的元素 C.一个集合中有三个元素a,b,c,其中 为点(x,y),且满足y=x十1。经验证可得 a,b,c是△ABC的三边长，则△ABC不可能 (3,10)∈B。应选C。 是等腰三角形 跟踪训练2：已知集合A含有两个元素1 D.高中学生中的游泳能手能构成集合 和2，集合B表示方程x2十ax十b=0的解组 成的集合，且集合A与集合B相等，则a= (2)若由a,名，1组成的集合A与由a ,b= a十b,0组成的集合B相等，则a202s十b202s的 提示：因为集合A与集合B相等，且1∈ 值为一。 A,2∈A,所以1∈B,2∈B,即1,2是方程 提示：(1)与定点A,B等距离的点在 x十ax十b=0的两个实数根，所以 AB的垂直平分线上，能构成集合，A不正 1十2=-a, 可得a=一3， 确。由“title'”中的字母构成集合中的元素为 1×2=b, b=2。 t,i,l,e,共4个，B不正确。一个集合中有三 题型三：集合的子集问题 个元素a,b,c,则a,b,c互异，故不可能构成 求集合子集的两个关注点：要注意两个 40 高一数实方青中学生教理化 特殊的子集，即②和集合自身；求子集时，按 (1)当a=1时，求A∩B,AUB 集合中含有元素的个数由少到多，分类一一 (2)若(CA)三B,求实数a的取值范 列出，保证不重不漏。 围 例3满足{1,2}M二{1,2,3,4,5}的 提示：(1)当a=1时，B={xx1}。 集合M有个。 因为集合A={x|x>2或x<一2}，所 解：由{1,2}M二{1,2,3,4,5}，可以确 以A∩B={x|x<一2}，AUB={x|x≤1 定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4， 或x>2}。 5中的至少一个。依据集合M的元素个数 (2)因为CA={x一2x2},B={x 分类如下：含有三个元素，即{1,2,3}，{1,2， x≤a},且(CA)三B,所以a≥2，即实数a 4},{1,2,5};含有四个元素，即{1,2,3,4}， 的取值范围为{a|a≥2}。 {1,2,3,5},{1,2,4,5};含有五个元索，即{1， 题型五：集合的新定义问题 2,3,4,5}。故满足题意的集合M共有7个。 集合新定义问题的“三定”：定元素，确定 跟踪训练3：已知非空集合P满足： 已知集合中所含的元素，利用列举法写出所 ①P三{1,2,3,4,5}；②若a∈P,则6一a∈ 有元素；定运算，根据要求及新定义运算，将 P。 所求集合的运算转化为集合的交集、并集或 符合上述条件的集合P的个数为_。 补集的基本运算，或转化为数的有关运算；定 提示：由a∈P,6-a∈P,且P三{1,2， 结果，利用列举法或描述法写出所求集合中 3,4,5},可知P中元素在取值方面应满足的 的所有元素。 条件是1,5同时选，2,4同时选，3可单独选， 例5(1)定义集合M,N的新运算如 所以一一列出满足条件的集合P为《3}，{1， 下：M⊙N={x|x∈M或x∈N,且x任M∩ 5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1, N},若集合M={0,2,4,6,8,10},N={0,3, 2,3,4,5},共7个。答案为7。 6,9,12,15},则(M⊙N)⊙M等于()。 题型四：利用集合间的关系求参数的范围 A.M 解答这类问题，一般利用数轴分析法，将 B.N 各个集合在数轴上表示出来，以“形”定“数”， C.{2,3,4,8,9,10,15} 但要注意验证端点值，同时不要遗漏“空集” D.{0,6,12} 的情况。 例4已知全集U=R,集合A={x| (2)定义集合的商集运算为 B x-2或x≥3}，B={x2m十1xm十 7},若(CA)∩B=B,求实数m的取值范 x=m ,m∈A,n∈B},已知集合A={2, n 围。 解：因为A={x|x≤一2或x≥3}，所以 4,6B={--1，k∈A,则集合界U CmA={x|-2<x<3}。因为(CA)∩B= B中的元素的个数为( )。 B,所以B三(CA)。 A.6 B.7 当B=⑦时，由2m+1≥m+7,可得 C.8 D.9 m≥6，这时满足(CA)∩B=B；当B≠② 解：(1)由M⊙N={x|x∈M或x∈N, 2m+1m+7, 且x庄M∩N},M={0,2,4,6,8,10},N= 时，则2m十1≥一2，此时无解。 {0,3,6,9,12,15},M∩N={0,6},可得 m十73， M⊙N={2,3,4,8,9,10,12,15},(M⊙N) 故实数m的取值范围是{m|m≥6}。 ∩M={2,4,8,10},所以(M⊙N)⊙M={0, 跟踪训练4：已知集合U=R,集合A= 3,6,9,12,15}。应选B。 {xx>2或x一2}，B={xxa}。 (2)依据给定的集合新运算，先求集合 41 中学生款理化餐典皱翠破方法年月 B,再求片，最后利用集合的并集运算求解。 (2)下列“若力，则q”形式的命题中，q是 否是p的必要条件？ 已知集合A=〈2,4,6}，因为集合B= ①p:一个四边形是矩形，q:四边形的对 {女=合-1，k∈A所以B=0,12,所 角线相等：②力：A三B,q:A∩B=A;③p: a>b,q:ac>bc。 以号=石1，}所以景UB 111 解：(1)①在△ABC中，由大角对大边可 0,子合1，分2，所以集合界UB中共 111 1 知，∠B>∠C→AC>AB,所以p是q的充 分条件。 有7个元素。应选B。 ②由x=1→(x一1)(x一2)=0，可知p 跟踪训练5：（多选题）设A为非空实数 是q的充分条件。 集，若对任意x,y∈A,都有x+y∈A,x ③由x>1Px>2,可知p不是q的充分 y∈A,且xy∈A,则称A为封闭集。下列叙 条件。 述中，正确的是()。 或者，设集合A={x|x>1},B={x A.集合A={一2，一1,0,1,2}为封闭集 x>2},则B三A,所以p不是q的充分条件。 B.集合A={n|n=2k,k∈Z}为封闭集 (2)①一个四边形是矩形，可知这个四边 C.封闭集一定是无限集 形的对角线相等，所以q是p的必要条件。 D.若A为封闭集，则一定有0∈A ②因为p→q,所以q是p的必要条件。 提示：对于A,一2一2=一4不在集合 ③因为pPq,所以q不是p的必要条件。 A={一2，一1,0,1,2}中，所以集合A不是封 跟踪训练6：设集合A={x|x2十x一6= 闭集，A错误。对于B,已知集合A={n|n 0},B={x|mx一2=0}，则B是A的真子集 2k,k∈Z},设x,y∈A,则x=2k1,y=2k2, 的一个充分不必要条件是( ）。 k1,k2∈Z,所以x十y=2(k1十k2)∈A,x f。2 A.m∈{0,3} B.m∈{o,-号 y=2(k1一k,)∈A,xy=4k1k2∈A,所以集 合A={n|n=2k,k∈Z}为封闭集，B正确。 cmeo.-号 Dm∈{o,1 对于C,封闭集不一定是无限集，如{0}为封 提示：集合A={x|x2十x-6=0}={2, 闭集，C错误。对于D,若A为封闭集，则取 一3}。若m=0,则B=必，可知B≠A；若 x=y,可得x一y=O∈A,D正确。应选BD。 3,则B 题型六：充分条件与必要条件的判断与 m=1,则B={2}壬A;若m= 应用 {一3}丢A。所以B丢A的一个充分不必要 判断p是q的什么条件，主要判断若p 成立，能否推出q成立，反过来，若q成立，能 条件是m∈0，-号引.应选B 否推出力成立。应用充分不必要条件、必要 题型七：充要条件的证明 不充分条件及充要条件求参数的值（或范围） 证明p是q的充要条件的两个思路：直 的一般步骤：根据已知将充分不必要条件、必 接法，先要明确p是条件，q是结论，其次推 要不充分条件或充要条件转化为集合间的关 证p→q(证明充分性)，最后推证q→p(证明 系；根据集合间的关系构建关于参数的方程 必要性)；利用集合思想，记p:A={x (组)或不等式（组）求解。 p(x)},q:B={x|q(x)},若A=B,则p与q 例6(1)下列“若p,则q”形式的命题 互为充要条件。 中，p是否是q的充分条件？ 例7求证：一元二次方程ax十bx十 ①在△ABC中，p:∠B>∠C,q:AC> c=0(a,b,c是常数且a≠0)有一正实根和一 AB:②已知x∈R,p:x=1,9:(x-1)(x 负实根的充要条件是ac<0。 2)=0;③已知x∈R,p:x>1,q:x>2。 证明：（必要性）由于方程ax2十bx十c= 42 高一数实方青中学生教理化 0(a≠0)有一正实根和一负实根，所以△= 跟踪训练8：写出下列存在量词命题的 b2-4ac>0,且x1x2=二<0，所以ac<0。 否定，并判断其否定的真假。 (1)有的素数是偶数。 (充分性)由ac<0可推出△=b2 (2)3a≥3，a2=3a-2。 4ac>0及x1x2=9<0,所以方程ax2十 提示：(1)该命题的否定：所有的素数都 a 不是偶数。 bx十c=0(a≠0)有一正一负两实根。 因为2是素数也是偶数，所以该命题的 综上可得，一元二次方程ax2十bx十c= 否定为假命题。 0(a,b,c是常数且a≠0)有一正实根和一负 (2)该命题的否定：Ha≥3，a2≠3a一2。 实根的充要条件是ac<0。 因为a2=3a-2的实数根a=1或a=2 跟踪训练7：求证：一次函数y=kx十b 均小于3，所以该命题的否定为真命题。 (k≠0)的图像过原点的充要条件是b=0。 题型九：全称量词命题与存在量词命题 提示：（充分性）由b=0,可得y=kx,当 的综合应用 x=0时，y=0,所以函数图像过原点。 求解含有量词命题中的参数范围的策 (必要性)已知y=kx十b(k≠0)的图像 略：对于全称量词命题“Hx∈M,a>y(或 过原点，当x=0时，y=0,所以0=k·0十b, a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立 即b=0。 问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小 综上可得，一次函数y=kx十b(k≠0)的 值)，即a>ymx(或a<ym);对于存在量词 图像过原点的充要条件是b=0。 命题“3x∈M,a>y(或a<y)”为真的问 题型八：存在量词命题的否定 题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为 存在量词命题否定的两个关注点：存在 求函数y的最小值（或最大值），即a>y 量词命题的否定是全称量词命题，写命题的 (或a<y max）。 否定时要分别改变其中的量词和结论，如 例9命题“存在x>1,使得2x十a<3” 3x∈M,p(x),它的否定：Hx∈M, 是假命题，求实数a的取值范围。 一p(x);存在量词命题的否定是全称量词命 解：命题“存在x>1,使得2x十a3”是 题，对省略存在量词的存在量词命题可补上 假命题，所以此命题的否定为“任意x>1, 量词后进行否定。 2x十a≥3”，是真命题。因为对任意x>1,都 例8写出下列存在量词命题的否定， 有2x十a>2十a,所以2十a≥3，所以a≥1， 并判断其否定的真假。 即实数a的取值范围为[1，十∞)。 (1)某些梯形的对角线互相平分。 跟踪训练9：已知命题p:Hx∈{x (2)3x,y∈Z,使得W2x+y=3。 -3≤x≤2}，都有x∈{x|a-4≤x≤a十5}， (3)月k∈R,函数y=kx十b随x值的增 且一p是假命题，求实数a的取值范围。 大而减小。 提示：因为一力是假命题，所以力是真命 解：(1)该命题的否定：任意一个梯形的 题。又Hx∈{x|一3≤x≤2}，都有x∈{x| 对角线都不互相平分。 a一4≤x≤a十5}，所以{x|-3≤x≤2}三 该命题的否定为真命题。 {x|a-4≤x≤a十5}，所以 a-4≤-3， (2)该命题的否定：Hx,y∈Z,√2x十 解得 a+5≥2， y≠3。当x=0,y=3时，√2x+y=3,因此 一3≤a≤1，即实数a的取值范围是一3≤ 该命题的否定是假命题。 a≤1。 (3)该命题的否定：Hk∈R,函数y= 作者单位：新乡职业技术学院基础课教 kx十b不随x值的增大而减小。该命题的否 学部 定为假命题。 (责任编辑郭正华) 43