权方和不等式的探究及应用-《中学生数理化》高一数学2025年9月刊

中学生表理化斜新根年9月 方和不等式的探究及应用 ■程宗超 一、权方和不等式的探究及证明 4 9 权方和不等式：若a,b,x,y>0,则a 8,当且仅当 1 +4 )十g时取等号。由 y ≥a+b),当且仅当二=时取等号。 4,9 y x+y =1, 17 117 证明如下：由a,b,x,y>0, 62 9 x= |x= y 解得 2’故当 2'时， x y y=17。 84 9+9 y=17 a,变形得(x+)(侣+)≥(a十 x十y x y 6.因为(x十y)(+)=。十6十 4 十云y十的最小值为3 (受+)≥a++2ab=a+b,即 体验：权方和不等式揭示了正数范围内 的两变量x,y和正常数a,b满足不等式 +y任+)≥(a+6),所以+ a2b2、(a+b)2 x十y≥ x+y 当且仅当经一多时不等式 (a+b) ,当且仅当=2时取等号。 取等号。当一端为定值时，另一端可求最值。 x十y x y 2.两变量倒数和为定值探究两变量和的 推广1：若a,b,c,x,y,>0,则a 最小值 +≥a+b十c) x十y十之 当且仅当g=b=二 例2已知a>b>0,且满足，12十 x y 1 时等号成立。 a十2b=1,则a十b的最小值为一。 推广2：若a,>0,b,>0,则+a 十… 解：由权方和不等式知。子2十。十25≥ +≥ a1十a2十…十an) (√2十√厅) b. b+b:+…+b,,当且仅当a,= (a+2)+(a+2b)。 因为2+。十26=1， 入b(i∈N")时等号成立。 (√2+√T)2 所以1≥a十2)+（a+2b,所以a+b≥ 二、权方和不等式的应用 1.两变量与两变量的倒数和有一个为定 是+反，当且仅当 1 a+2-a十26，即a= 值可求另一个的最小值 例1已知正数x,y满足4+9 y =1,则 √2，b=2时取等号，所以a十b的最小值为 4 9一的最小值为 + 2x'+x y2+y 体验：解答本题的关键是权方和不等式 4 9 42 解：2x2十x 的灵活应用。 y+y 4(2x2+x) 3.凑出两变量的和为定值求两变量的倒 4 9 93 x 使+】 数和的最小值 9(y+y) 9十94+9 例3权方和不等式作为基本不等式的 x +17 y 一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的 38 高一数华。翠滑中学生教理化 创新题追根溯源 应用。根据权方和不等式，求函数f(x)= 12x=3y, 等号。由方程组 解得 +2<<号)的最小值 4x2+9y2+6.xy-3=0, 1 1 解：利用权方和不等式求最小值。因为 x= 2y= ,即当x= 1 2y= 时不等式 3 2 0<x<3,即2-3x>0,所以f(x)=3十 取等号。故2x十3y的最大值为2。 体验：两种方法都需要凑出定值，构建不 1 32 12 (3+1)2 2-3x=3+2-3z≥3x十23x=8,当 等式求最值。解法1利用(2x十3y)2=3+ 且仅当是-=2即x=2时等号成立，所 1 2x·3y≤3+ 2x十3y)求出最大值；解法2 2 利用(x2十9y2+6xy)十3.x2=(x十3y)2十 以函数f(x)= 2+2z(0<x<号)的最 31 3x2=3,结合权方和不等式求出最大值。 小值为8。 5.多元权方和不等式的应用 体验：将给定函数式表示为权方和不等 例5已知x十2y十3x+4十5v=30, 式的左边结构特征是解答本题的关键。 则x2十2y2十3x2十4u2十5v2的最小值为 4.两种思维方法探究二元变量的最大值 问题 解：利用五元权方和不等式求最小值。 例4已知x>0,y>0,且满足4x2十 的x2+2y2十322+4u2+502= 9y2十6.xy一3=0，则2x十3y的最大值为 (2y)+3)+ 4u）+(5u)2 2 3 4 5 解法1：对题设条件进行变形，构建基本 (x+2y+3x+4u+5v)2302 不等式求最大值。由4x2十9y2十6xy一3= 1+2+3+4+5 15 =60,当且仅 0,可得4x2+9y2+12xy=3十6xy。结合基 当x=y=之=u=v时取等号，所以x2十 本不等式得(2x十3y)?=3十2x·3y≤3十 2y2+3x2+4u2+5v2的最小值为60。 3y),所以是(2x+3)P≤3，所以 体验：利用二元权方和不等式，可推出 2 多元权方和不等式，同学们要注意灵活运 2x十3y≤2，当且仅当2x=3y时取等号。由 用 2x=3y, 1 方程组 4x2+9y2+6.xy-3=0, 解得x=2' 感悟与0 y弓，即当x=名y=专时不等式取等号. 1 3 函数f(x)= 16_ +13x(0<x<号)的 故2x十3y的最大值为2。 最小值为()。 解法2：对题设条件变形凑定值，利用权 A.16 B.25 C.36 D.49 方和不等式求最大值。由4x2十9y2十6xy一 3=0,可得(x2+9y2+6xy)+3x2=(x+ 提示：因为0<x<3,即1-3x>0,所 3y)2+3x2=3。已知x>0,y>0,由权方和 以f(x)=3+ 42 (3+4) (x+3y)2 =+1-3x≥3x十1-3x)=49, 不等式得3= 1 +z 1 4 3 当且仅当上 x=1-3z,即x= 7时取等号，所 (x+3y十)，即4≥(2x+3y),所以2x+ 以函数fx)=2+0<x<名)的最 16 小值为49。应选D。 3y≤2，当且仅当十y=兰，即2x=3y时取 作者单位：四川省泸州高级中学校 1 (责任编辑郭正华) 39