集合中的新定义问题揭秘”&例析不等式恒(能)成立中的参数范围问题-《中学生数理化》高一数学2025年9月刊

揭秘一：借助集合子集的意义求解新定 义问题 例1非空数集A=《a1,a2,a,…,am} (n∈N"),其所有元素的算术平均数记为 E(A),即E(A)=a,+a:+a++a。若 非空数集B,满足下列两个条件：①B三A; ②E(B)=E(A)。则称B为A的一个“保均 值子集”。据此推理，集合{3,4,5,6,7}的“保 均值子集”的个数为一。 解：非空数集A={3,4,5,6,7}中所有元 素的算术平均数为E(A)=3十4十5十6十7 5 =5。在集合A的所有子集中选出平均数为 5的子集，所以集合A的“保均值子集”为 {5},{3,7},{4,6},{3,5,7},{4,5,6},{3,4, 6,7},{3,4,5,6,7},共7个。答案为7。 揭秘二：根据元素与集合的关系求解新 定义问题 例2用C(A)表示非空集合A中元素 的个数，定义AB= (C(A)-C(B),C(A)C(B), 已知集合 C(B)-C(A),C(A)<C(B)。 A={x|x2+x=0},B={x|(3x2+ax)(x2 十ax十2)=0}，且A￥B=1,设实数a的所 有可能取值构成集合S,则C(S)=。 解：由集合A={xx2十x=0}={0, 一1}，A*B=1,结合集合的新定义可知，集 合B中只能有1个或3个元素。 当B中有1个元素时，则方程(3x2十 ax)(x2十ax十2)=0有且只有一个解x=0, 可得a=0。 当B中有3个元素时，易知a≠0，则 (3x2十ax)(x2十ax十2)=0有三个解，其中 的两个解为x1=0,x,=-号，当x十ax十 2=0有一个解时，令△=0，可得a=士2√2。 当x2十ax十2=0有两个解且其中一个 解和0或一 相等时，也满足条件，此时 3 x,=a十va-8 -a-√a'-8 2 ，x1= 2 ,显 高一数新题费耀西骨中学生数理化 集合中的新定义问题 “揭秘 ■李根 然x,x1不等于0，所以一a十√a一8 2 g或二aa-8 3 2 =一号，解得a=3或 a=-3。 综上所述，实数a的所有可能取值为0， 2√2，一2√2，一3,3，即构成集合S元素的个 数为5，可得C(S)=5。 揭秘三：利用集合的基本运算求解新定 义问题 例3设集合S为实数集R的非空子 集，若对任意x∈S,y∈S,都有(x十y)∈S, (x一y)∈S,xy∈S,则称集合S为“完美集 合”。给出下列命题：①若S为“完美集合”， 则一定有0∈S;②“完美集合”一定是无限 集；③集合A={xx=a十b√5，a∈Z,b∈Z} 为“完美集合”；④若S为“完美集合”，则满足 S三T三R的任意集合T也是“完美集合”。 其中真命题是()。 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 解：对于①，S为“完美集合”，对任意 x∈S,0=(x一x)∈S,①正确。对于②，“完 美集合”不一定是无限集，如集合{0}，②错 误。对于③，集合A={x|x=a十b√5，a∈ Z,b∈Z},在集合A中任意取两个元素x= a+b5,y=c+dW5,其中a、b、c、d∈Z,可 知x十y=a十c+(b十d)V5∈S,x-y=a c+(b-d)5ES,xy=ac +5bd+(ad+ bc)W5∈S,所以集合A={x|x=a+b5, a∈Z,b∈Z}为“完美集合”，③正确。对于 ④，取S={0},T={0,1},则S三T三R,即满 足④，但集合T不是一个“完美集合”，④错 误。应选A。 作者单位：广东省珠海市第二中学 (责任编辑王琼霞) 35 中学生表理化斜新根年9月 例析不等式恒（能）成立中的 参数范围问题 ■何美干 刘长柏 不等式恒（能）成立，可依据以下原则进 (-∞，-3]U[0,十∞)。 行求解：Hx∈D,m≤f(x)台m≤f(x)min; 例3已知f(.x)是定义在D=[3a十1， Hx∈D,m≥f(x)台m≥f(x)mx；3x∈D, a十3]上的奇函数，且当x∈(0，a十3]时， m≤f(x)台m≤f(x)；3x∈D,m≥ f(x)=x2+2ax。 f(x)台m≥f(x)m。若Hx1∈[a,b], (1)求函数f(x)的解析式。 Hx2∈[c,d],总有f(x1)<g(x2)成立，则 (2)设g(x)=一x十b,对任意x1,x2∈ f(x)mx<g(x)mn。若3x1∈[a,b],]x2∈ D,均有f(x1)≥g(x:),求实数b的取值范 [c,d],有f(x1)<g(x2)成立，则f(x)mm< 围。 g(x)mx。若Hx1∈[a,b],3x2∈[c,d],有 解：(1)因为f(x)是定义在[3a+1,a+ f(x1)<g(x2)成立，则f(x)mx<g(x)mx。 3]上的奇函数，所以3a+1十a+3=0,解得 若3x1∈[a,b],Hx2∈[c,d],有f(x1)< a=一1，所以f(x)是定义在[一2,2]上的奇 g(x2)成立，则f(x)m<g(x)mno 函数，可得f(0)=0。 例1若对于任意的x>0,不等式x2十 当x∈(0,2]时，f(.x)=x2-2x。 (3一a)x十1≥0恒成立，则实数a的取值范 当x∈[一2,0)时，一x∈(0,2]，则 围为( )。 f(-x)=(一x)2-(-2x)=x2+2x。因为 A.[5,十∞) B.(5,+o∞) f(x)是奇函数，所以f(一x)=一f(x)= C.(-∞，5] D.(-∞，5) x2+2x,即f(x)=-x2-2x。 解：当x>0时，不等式x2十(3一a)x+ 综上可得，函数f(x)= 1≥0可化为+3+1≥a。令函数f(x) x2一2x,0x2, 0,x=0, =十3x十1，由题意得a≤f(x)m。因为 -x2-2x,-2≤x<0。 (2)对任意x1,x2∈D,均有f(x1)≥ fx)=x+2+8≥22·王+8=5，当且 g(x2),只需满足f(x)≥g(x)nx。 x 仅当x=1 由(1)知，当x∈(0,2]时，f(x)=x” ，即x=1时等号成立，所以a≤ 2x=(.x-1)2-1,所以当x=1时，(x)mm= f(x)mim=5,即实数a的取值范围为（一o∞， -1;当x∈[-2,0)时，f(x)=-x2-2x= 5]。应选C。 (.x十1)2+1，所以当x=一2时，f(x)m= 例2已知函数f(x)=x2一2x,若存在 0。又f(0)=0,所以函数f(x)在[一2,2]上 x∈[2,4]，使得不等式f(x)≤a2十3a成立， 有最小值f(x)m=f(1)=一1。 则实数a的取值范围为。 因为g(x)=一x十b在[一2,2]上为单 解：因为函数f(x)=x2一2x的对称轴 调递减函数，所以g(x)x=g(一2)=2十b。 为x=1,所以当x∈[2,4]时，函数f(x)单 由f(x)im≥g(x)max,可得-1≥2十b, 调递增，所以f(x)m=f(2)=0。 解得b≤一3，所以实数b的取值范围为 因为存在x∈[2,4]，使得不等式 (-∞，-3]。 f(x)≤a2+3a成立，所以a2十3a≥0，解得 例4已知函数f(x)=ax十1，g(x)= a≥0或a≤一3，所以实数a的取值范围为 x2-2x+2a,3x1,x2∈[0,1]，f(x1)> 36 g(x2),则实数a的取值范围是()。 A.(-∞，2) B.(2,+o∞) C.(-∞，1) D.(1,+∞) 解：3x1,x2∈[0,1]，f(x1)>g(x2),则 f(x)m>g(x)in。 因为g(x)=x2-2x+2a=(x-1)2+ 2a一1在[0,1]上单调递减，所以g(x)mim= g(1)=2a-1。 当a=0时，由f(x1)=1>g(x2)= x号-2x2,可得1>x-2x2,取x2=x1=0即 可成立。 当a<0时，由f(x)mx=1,可得2a一 1<1,即a<1,所以a<0。 当a>0时，由f(x)mx=1十a,可得1十 a>2a-1,即a2,所以0a2。 综上可得，实数a的取值范围是（一∞， 2)。应选A。 例5已知函数f(x)=x十3，x∈[0， 2],函数g(x)=x十2，x∈[1,2]，对1x1∈ [0,2],都3x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2) 成立，则实数a的取值范围是一。 解：由题意得f(x）mm≥g(x）mm。 函数f(x)=x+3,在x∈[0,2]上单调 递增，所以f(x)m=f(0)=3。 当a<0时，g(x)=x十Q在区间[1,2] 上单调递增，则g(x)=1十a,所以3≥1十 a,解得a≤2。又因为a<0,所以0二0解 {a2, 得a<0。 当0≤a≤1时，g(x)=x十2在区间[1， 2]上单调递增，其最小值为g(1)=1十a,所 0≤a≤1， 以 解得0a1。 3≥1+a, 当1<a≤4时，g(x)=x十2在区间[1， √a]上单调递减，在[√a,2]上单调递增，其最 1<a≤4， 小值为g(√a)=2√a,所以《 解得 3≥2a, 1<a<号 高一数新题费轻西骨中学生数理化 当a>4时，g(x)=x十a在区间[1,2] 上单调递减，g(x)=g(2)=2+名，所以 1a>4, 3≥2+a,这时无解。 综上所述，实数a的取值范围是 (-0] 感悟与 1.若不等式一x十a十1≥0对一切x∈ (0,号]成立，则a的最小值为( )。 A.0 B.-2 c-号 D.- 提示：若不等式一x十a十1≥0对一切 1 x∈(0,2成立，则a≥（-1十x)x。易知 函数y=一1十在(6，]上单调递增。当 x=时，-1十x的最大值为一2，所以a≥ 一，故a的最小值是-2。应选D。 2.设函数f(x)=x+x∈[23]，若 目x∈[合]，使得a-a≥fx)成立，则实 数a的取值范围是一。 提示：已知函数f(x)=x十 [经3]因为函数f(x)在[日1]上为减函 数，在[1,3]上为增函数，所以f(x)mm= f(1)=1+1=2,即函数f(x)的最小值为2。 又3x∈[23]，使得a-a≥f)成立，所 以a2-a≥f(x)mm,即a2-a≥2，解得a≥2 或a≤一1，所以实数a的取值范围是a≥2 或a≤-1。 作者单位：江苏省盐城市学富实验学校 (责任编辑王琼霞) 37