不等式问题易错点提醒-《中学生数理化》高一数学2025年9月刊

中学生数理化 易错题归类剖析 高-数学2025年9月 不等式问题易错点提醒 ■傅欣飞 易错点一：忽略不等式成立的前提条件 例1若a,b,c∈R,且a>b,则下列不 a<一1时，可得<-1成x>日，结合选 等式中成立的是()。 项知A,B适合，应选AB。 A.11 提醒：求解含参数的一元二次不等式，抓 B.a>b 住三点就可以避免失误：一是二次项系数是 c b 否需要讨论；二是方程根的存在性是否需要 D.alcl>bcl 讨论；三是根的大小关系是否需要讨论。 剖析：若忽略a,b是否同号，容易错选 易错点三：多变量不等式中混淆主元出错 A;若忽略a,b不一定都大于零，容易错选B; 例3已知对任意的m∈[1,3]，mx2 若忽略c是否为零，容易错选D。 x一1一m+5恒成立，则实数x的取值范 解：对于A,B,取a=1,b=一1，满足 围是( )。 a>b,显然}<方和。>公不成立A,B错 A.(号，+∞) 误。对于C,因为中>0，所以> 1 (-,125)u(5,+) 2 +C正确。对于D,取c=0,显然ac> b c(-) bc|不成立，D错误。应选C。 提醒：不等式的真假判断问题，可以利用 , 特殊值排除，也可以利用不等式的性质进行 剖析：题设条件中含有两个变量，容易因 推理判断。 分不清主元而出错。 易错点二：解含参数不等式讨论不全面 解：对任意的m∈[1,3]，不等式mx2 出错 mx一1<一m十5恒成立，即对任意的m∈ 例2（多选题）对于给定实数a,关于x [1,3],m(x2一x十1)<6恒成立，所以对任 的一元二次不等式(ax一1)(x十1)<0的解 意的m∈[1,3]，x-x十1<6恒成立，所以 集可能是( o A. -1<x< B.{xx≠一1》 对任意的m∈[1,3]，x一x十1<（份） c{2<x<-1 D.R 2,所以x一x十1<2，解得15<x< a 剖析：分类讨论时，容易忽略a=0和 1+√5 a=一1，以及两个根的大小而出错。 故实数：的取值范国是(. 解：由(ax-1)(x十1)<0，可对a进行 1+W5Y 。. 应选D。 2 分类讨论。 提醒：解决恒成立问题，一定要清楚选谁 当a≥0时，可得-1<x<日：当a=0 为主元，谁是参数。一般情况下，知道谁的范 时，可得x>一1：当一1<a<0时，可得x< 围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数。 上或x>-1;当a=-1时，可得x≠-1当 作者单位：浙江省衢州第三中学 (责任编辑王琼霞) 34 高一数单新绿膏中学生表理化 揭秘一：借助集合子集的意义求解新定 义问题 集合中的新定义间题 例1非空数集A={a1,a2,a3,…,am} (n∈N"),其所有元素的算术平均数记为 “揭秘 E(A),即E(A)=a+a:+,十+a。若 n ■李根 非空数集B,满足下列两个条件：①B三A; 然x,x1不等于0，所以一a十√a-8 ②E(B)=E(A)。则称B为A的一个“保均 值子集”。据此推理，集合{3,4,5,6,7}的“保 2 均值子集”的个数为。 a=-3。 解：非空数集A=(3,4,5,6,7}中所有元 综上所述，实数a的所有可能取值为0， 素的算术平均数为E(A)=3+4十5十6十7 2√2，一2√2，一3,3，即构成集合S元素的个 =5。在集合A的所有子集中选出平均数为 数为5，可得C(S)=5。 5的子集，所以集合A的“保均值子集”为 揭秘三：利用集合的基本运算求解新定 义问题 {5},{3,7},{4,6},{3,5,7}{4,5,6},{3,4, 6,7},{3,4,5,6,7},共7个。答案为7。 例3设集合S为实数集R的非空子 揭秘二：根据元素与集合的关系求解新 集，若对任意x∈S,y∈S,都有(x十y)∈S, (x-y)∈S,xy∈S,则称集合S为“完美集 定义问题 合”。给出下列命题：①若S为“完美集合”， 例2用C(A)表示非空集合A中元素 则一定有0∈S;②“完美集合”一定是无限 的个数，定义AB (C(A)-C(B),C(A)C(B), 集；③集合A={xx=a十b√5，a∈Z,b∈Z} 已知集合 C(B)-C(A),C(A)<C(B)。 为“完美集合”；④若S为“完美集合”，则满足 A={x1x2+x=0},B={x|(3x2+ax)(.x2 S三T三R的任意集合T也是“完美集合”。 其中真命题是( )。 十ax十2)=0}，且A￥B=1,设实数a的所 A.①③ B.①④ 有可能取值构成集合S,则C(S)=。 C.②③ D.②④ 解：由集合A={x|x2十x=0}={0, 解：对于①，S为“完美集合”，对任意 一1}，A*B=1,结合集合的新定义可知，集 x∈S,0=(x一x)∈S,①正确。对于②，“完 合B中只能有1个或3个元素。 美集合”不一定是无限集，如集合{0}，②错 当B中有1个元素时，则方程(3x2十 误。对于③，集合A={x|x=a十b√5，a∈ ax)(x2十ax十2)=0有且只有一个解x=0, Z,b∈Z},在集合A中任意取两个元素x 可得a=0。 a+b5,y=c+d5,其中a、b、c、d∈Z,可 当B中有3个元素时，易知a≠0，则 (3x2十ax)(x2十ax十2)=0有三个解，其中 知x十y=a十c+(b十d)W5∈S,x-y=a c+(b-d)5ES,xy=ac+5bd+(ad+ 的两个解为x:=0,x=一号，当x2十ax十 bc)W5∈S,所以集合A={x|x=a十b√5， 2=0有一个解时，令△=0，可得a=±2√2。 a∈Z,b∈Z}为“完美集合”，③正确。对于 当x2十a.x十2=0有两个解且其中一个 ④，取S={0},T={0,1},则S三T三R,即满 足④，但集合T不是一个“完美集合”，④错 解和0或一号相等时，也满足条件，此时 误。应选A。 作者单位：广东省珠海市第二中学 ·,显 2 2 (责任编辑王琼霞) 35