集合与常用逻辑用语易错提醒&集合概念中易忽视的几类问题-《中学生数理化》高一数学2025年9月刊

中学生数理化高数学205年9月 易错题归类剖析 集合与常用逻辑用语易错提醒 ■王佩其 俗话说，人非圣贤，孰能无过。在学习集 合与常用逻辑用语时，同学们常常会犯这样 6 或那样的错误。下面举例说明，给大家一个 a的取值范围是a≥5。应选B。 友情提醒。 易错提醒：本题易忽略对B=心情况的 易错点1：忽视集合中元素的互异性 讨论而错选C。 例1已知x为实数，集合A={2,x, 易错点3：判断充分性、必要性位置颠倒 x2},集合A中有一个元素恰为另一个元素 例3若x∈R,则下列选项中，使“x2< 的2倍，则实数x的个数为 1”成立的一个必要不充分条件为()。 解：由题意可得，当2=2x,即x=1时， A.-2<x<1B.-1<x<1 集合A={2,1,1},不成立；当2=2x2,即x= C.0<x<2 D.-1<x<0 士1时，x=1显然不成立，x=一1成立，可得 解：x2<1等价于一1<x<1。设使 集合A={2,-1,1};当x=2×2=4时，集合 “x2<1”成立的一个必要不充分条件对应的 A={2,4,16},显然成立；当x=2x2,即x=0 集合为M,则{x|一1<x<1}是M的真子 或x=2时，x=0不成立，即集合A=(2,0, 集。由此可知，只有选项A符合题意。应选 A。 0x=号成立，可得集合A=2,号，}：当 易错提醒：在判断充分条件、必要条件 x2=2×2,即x=士2时，x=2不成立，即集 时，一定要先对条件进行等价化简，再结合合 合A={2,2,4},x=一2成立，可得集合A= 适的方法进行判断。 {2,一2,4}：当x2=2x,即x=0或x=2时， 易错点4：对量词理解不到位而不能在 x=0不成立，即集合A={2,0,0},x=2不 恒成立和有解之间进行合理转化 成立，即集合A={2,2,4}。 例4已知p:Hx∈[-1,2]，x2-2x十 综上可得，x∈{2，-1,2,4。故实 a<0;g:3x∈R,x2-4x十a=0。若p为假 命题，q为真命题，则a的取值范围为。 数x的个数为4。 解：由题意知p:x∈[一1,2]，x2 易错提醒：集合中的元素必须满足互异 2x十a<0为假命题，则p:3x∈[-1,2]， 性，集合的这个性质常用于检验解的合理性。 x2-2x十a≥0为真命题。当x∈[-1,2] 易错点2：忽略对空集情况的讨论 时，y=x2一2x十a的图像开口向上，其对称 例2已知集合A={x|x>5},B={x 轴为x=1,可得最大值为（一1）2十2十a= 5a一1<x<a十11}，且AUB=A,则a的取 3十a,所以3十a≥0，则a≥-3。 值范围为()。 q:3x∈R,x2一4x十a=0为真命题，所 B.a≥5 6 A.a≤-6 以△=16-4a≥0，可得a4。 综合可得，a的取值范围为[一3,4]。 C.a3 D.a≥3 易错提醒：先写出命题的否定，然后根据 解：因为AUB=A,所以B三A。若 否命题的真假求参数，这是等价转化思想在 B=⑦，则5a-1≥a+11,即a≥3；若B≠ 解题中的具体运用。 5,则a<3, 作者单位：江苏省太仓市明德高级中学 5a-1≥5， 解得号≤a<3:综上所述， (责任编辑王琼霞) 32 青一数蜡因*新中学生款理化 集合是高考的必考内容之一，高考主要 考查集合的基本概念，以及集合语言和集合 思想的运用。由于集合里的概念较多，逻辑 集合概念中易忽视的 性较强，关系复杂，因此同学们在学习过程中 常常会不知不觉地出错。下面对集合问题中 常见的错误进行分类剖析。 一、忽视代表元素的特征 几类问题 例1已知集合A={y|y=x2,x∈R}, B={y|y=3.x-2,x∈R},求A∩B。 错解1：由方程组 y=x2, 。解得 ■杜玉香 y=3x-2, x1=1, x2=2, 或 所以A∩B={(1,1),(2, y1=1 y2=4, 4)}。 分析：上述解法没有对参数m进行讨 错解2：由x2=3x一2，可得x1=1,x2= 论，漏掉了m=0的情况。 2,所以y1=1,y2=4,所以A∩B=1,2,4}。 正解：当m=0时，A=心，显然满足A三 分析：集合{(x,y)|y=f(x),x∈R}表 1 B;当m≠0时，易得m=1或m=2。 示函数f(x)图像上的点组成的集合，集合 1 {y|y=f(x),x∈R}表示函数f(x)的函数 故m的值是0,21。 值的取值范围（即函数(x)的值域）。 四、忽视补集的含义 正解：由题意得集合A={yy≥0}，B= 例4已知全集I=R,集合M= {y|y∈R}=R,所以A∩B={y|y≥0}。 二、忽视元素的互异性 红r-<0,集合N={≤小，则下 例2已知集合A={1,3,x},B={x2, 列关系正确的是( )。 1},AUB={1,3,x},求x的值。 A.MCIN 错解：由AUB=A,可知B三A,所以 B.MCN x2∈A。若x2=1,则x=士1；若x”=3,则 C.M=CN x=士√3；若x2=x,则x=0或x=1。所以 D.(CM)UN=R x的值为-√3，-1,0,1，√3。 错解：由题意得M={x0<x<1}。因为 分析：若x=±1，则B={1,1},A=(1, N={2≤，所以tN={>1=a 3,1},这时不满足集合元素的互异性。 正解：由分析可知，应舍去x=士1，所以 0<x<1}。应选C。 分析：上述解法认为A={x|f(x)≤0} x的值为一√3,0，w3。 的补集为C,A={x|f(x)>0}。事实上，对 三、忽视对参数的讨论 于全集I,由补集的定义得AU(CA)=I。 例3已知集合A={x|mx一1=0}， B={x|x2一3x十2=0}，若A二B,则m= 正解：由题意得N={女二<1 错解：易得A=},B=1,2。因为 {≥0}=(xx<0或x≥1，所以 C,N={x|0≤x<1}。而M={x|0<x< A二B,所以1=1或1=2，解得m=1或 1},所以M三C,N。应选A。 172 作者单位：湖北省枣阳市第二中学 m=分。故m的值是1，子 1 (责任编辑王琼霞) 33