一元二次函数，方程和不等式核心考点强化训练-《中学生数理化》高一数学2025年9月刊

核心考点演练 中学生数理化高数学2025年9月 元二次函数、方程和不等式核心考点强化训练 ■刘大鸣（特级教师） 一、选择题 且不等式x十义<m2一3m有解，则实数m 1.已知a>b,且ab≠0，c∈R,则下列不 4 等式中一定成立的是()。 的取值范围是()。 A.ab B11 A.{m-1m4} ab B.{mm0或m>3} C.a+b b ≥√ab a C.{m|-4<m<1} 2 D.2+1>c2+ D.{mm<-1或m>4} 2.若x>y>1,则下列四个数中最小的 8.已知p:2a十3<0，且q:3x∈R,x2- 是()。 (2a一1)x十1<0为真命题，则p是q A.y 2 B常 的( ）。 A.充分不必要条件 C.√ D日+) B.必要不充分条件 3.若关于x的不等式4虹十 C.充要条件 a x一2≥4对 D.既不充分也不必要条件 任意x>2恒成立，则正实数a的最大值 9.若不等式(a-3)x2十2(a-2)x-4 是()。 0对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范 A.4 B.3 C.2 D.1 围是()。 4.若不等式a(1十x)≤x2十3对于x∈ A.{a|a2} [0,十∞)恒成立，则实数a的取值范围 B.{a|-2√2≤a≤2√2} 是( )。 C.{a|-2√2<a<2√2} A.[0,3] B.[0,2] D.{a|a2} C.(-∞，2] D.(-∞，3] 10.对任意x满足一1≤x≤2，不等式 当a>0,b>0时，不等式b<是 x2一2x十a<0成立的一个必要不充分条件 的解集是( )。 是()。 A<-方或x>日 A.a<-3 B.a<-4 C.a<0 D.a>0 11.(多选题)对于给定实数a,关于x的 一元二次不等式(ax一1)(x十1)<0的解集 c<或> 可能是( a D.女-<x<0成0<<d A.-1<x< 6.当1≤x≤4时，不等式x2-(m十1)x B.{xx≠-1} 十9≤0有解，则实数m的最小值为()。 c日<<- 21 A.9 B.5 C.6 D. D.R 12.(多选题)下列命题中的真命题是 7若两个正实数x,y满足】十生 =1, y )。 26 高一数学梳心青桌费情中学生表理化 A.当>1时x十的最小值是3 B.{2<x<-》 B.+5的最小值是2 C.{x<-或x>2 Wx2+4 C.当0<x<10时，√x(10-x)的最大 值是5 18.(多选题)若关于x的不等式ax2 D.若正实数x,y满足x十2y=3xy,则 bx+c>0的解集是{x|一1<x<2},则下列 2x十y的最大值为3 选项正确的是()。 13.(多选题)已知a,b为正实数，且 A.b<0且c>0 ab+2a十b=16,则()。 B.a-b+c>0 A.ab的最大值为8 C.a+b+c>0 B.2a十b的最小值为8 D.不等式ax2+bx十c>0的解集是{x| C.a十b的最小值为6√2-3 -2<x<1} Da十十的最小值为 1 二、填空题 2 19.若关于x的不等式ax2十2ax-1<0 14.(多选题)在R上定义运算： a b 的解集为R,则实数a的取值范围是一 c d 20.设a∈R,若关于x的不等式x2 ad一bc,若不等式 x-1a-2 ≥1对任意 ax十1≥0在1x≤2上有解，则实数a的取 a+1 x 值范围为一。 实数x恒成立，则实数a的可能取值 21.关于x的不等式x2一4x+4a≥a 为()。 在[1,6]内有解，则a的取值范围为一。 A.-1 c D 22.对任意A,B三R,记A④B={x x∈AUB,且x庄A∩B},并称A④B为集 15.(多选题)已知a,b∈R,且ab>0,则 合A,B的对称差。已知集合A=《{x|ax2十 下列不等式成立的是()。 bx-3≥0}={x|1≤x≤3}，集合B= A.a十6 2-≥vah B.abstb 2 {z|x-8>0},则A⊕B=— ax c+号≥2 <” D.- 三、解答题 2 23.设命题p:方程x2十(2m一4)x十 16.(多选题)若x>0,y>0,x十2y=1, m=0有两个不相等的实数根；命题q:对所 则下列说法正确的是()。 有的2≤x≤3，不等式x2一4x十13≥m2恒 Ay的最大值是号 成立。 (1)若命题p为真命题，求实数m的取 B.2+的最小值是8 值范围。 C4r+y的最小值为号 (2)若命题p,q一真一假，求实数m的 取值范围。 D.x+1)(2y+1D的最小值是4 24.(1)若关于x的不等式ax2一2x十 √/xy 3≤0在x∈R上有解，求实数a的取值范围。 17.(多选题)已知关于x的一元二次不 (2)若关于x的不等式-2≤a.x2一2x十 等式a.x2-(2a-1)x-2>0,其中a<0,则 3≤2恰有一个实数解，求实数a的值（或取 该不等式的解集可能是()。 值范围)。 A.② 25.已知正数x,y满足x十2y=1。若 27 中学生款理化款心数摩滴练年月 十名≥3恒成立，求实数a的取值范围。 大值是4。应选A。 x 4.提示，原不等式可化为4≤士3恒成 x+1 26.已知 一①x十x>1的最 小值是a;②不等式(1-a)x2一4x十6>0的 立。 设函数f(x)-,则雨数了x) 解集是{x|-3<x<1}。 (x+1)2-2x-2+4=x+1 4 从上述条件①、条件②中任选一个，补充 x+1 x+1-2≥ 在上面的横线上作为已知条件，并解答下面 2Vx+1D):412=2,当且仅当x+1月 的问题。 (1)解不等式2x2十(2-a)x-a>0。 4 十，即x=1时等号成立，所以函数f(x) (2)若ax2十bx十3≥0的解集为R,求实 有最小值2。因为a≤f(x)恒成立，所以 数b的取值范围。 a≤2。应选C。 参考答案与提示 5,提示：由2<a(a>0),可得2。> x 一、选择题 0,所以x(ax-1)>0,所以x>上或x<0。 1.提示：当a=1,b=-2时，1>-2， 由-b<1(b>0),可得x(bx十1)>0，所以 1. 1 1<(-2)=4,1>-2ab无意义，A,B, >0或x<-石，故不等式-b<<a的 1 C错误。因为c十1>0，所以年行> b x D正确。应选D。 集是>或<-} 应选A。 a 2.提示：因为x>y>1,所以十y 6.提示：当1≤x≤4时，不等式x2 2 1+1 2xy (m十1Dx十9<0有解，即m十1≥x十是有 =1, 2 x十y +工>1=1，G>1, 2 2 y 解。因为x十2≥2√… =6,当且仅当 x (侵+3)<2（片+）=1，所以四个数中 三号，即x=3时取等号，所以当1≤x≤4 最小的是（侵+），应选D 时，x十的最小值为6，所以m十1≥6，即 3.提示：因为x>2,所以x一2>0。因 m≥5。故实数m的最小值为5。应选B。 为+2≥4对任意x>2恒成立，所以 1 a 7.提示：已知正实数x,y满足上十4 x y 4(x-2)+1 a 22十三4对任意x一2恒成 1,所以x十￥= (任+号)(+)=2+ 立，所以 [42)+1 ≥4。而 a 2+] 4x.义 =4,当且仅当 y 4(x一2)十 4(x-2).1 +≥2+2√·在 1 a -2≥2√1 x-2 4x=y」 y 4x ，当且仅当2-1 4 一x—2时取等号，所 即x=2,y=8时等号成立，所 a 1,4 =1, 以深问短转化为后+吕4，即4后十8≥ 以x十取得最小值4。因为x+￥<m” 4 4a,解这个关于a的一元二次不等式，并注 3m有解，所以m2一3m>4,解得m>4或 意到a>0,可得0<a≤4，所以正实数a的最 m<一1。应选D。 28 高一数学梳心青桌费售中学生教理化 8.提示：由2a十3<0得a<-多，即p: 递增，所以当t=2,即x=0时取得最小值 5 a<-多。由“3x∈R,x2-(2a-1)x+1< B错误。对于C,因为0<x<10,所以 0”为真命题，可得△=(2a一1)2-4>0，即 10-x>0,所以Vx(10-x)≤x+(10-x) (2a十1D(2a-3)>0,解得a>2或a< =5,当且仅当x=10一x,即x=5时等号成 立，C正确。对于D,由x十2y=3xy,可得 -日，即：a>号或a<-合所以b是g +是-1，所以2x+y-(2x+y)×( 的充分不必要条件。应选A。 9.提示：当a一3=0，即a=3时，不等式 2x.2y+ 可化为2x一4<0，解得x<2,不满足题意； 当a一3≠0，即a≠3时，需满足 号-号=3，当且仅当等-之，即=y时取 3. a-3<0, 等号，即2x十y的最小值为3，D错误。应选 解 △=4(a-2)2-4×(a-3)×(-4)<0, AC。 得一2√2<a<2√2。综上可得，实数a的取 13.提示：因为16=ab十2a十b≥ab+ 值范围是{a|-2√2<a<2√2}。应选C。 2√2ab,当且仅当2a=b时取等号，所以0< 10.提示：对任意x∈[-1,2]，x2-2x+ √ab≤2√2，即ab≤8，所以ab的最大值为 a<0成立，所以a<(一x2十2x)mm。因为 8,A正确。因为16=ab十2a十b,所以b 一1≤x≤2，所以一x2十2x=一(x一1)2十 1≥一3，所以a<一3。所以“对任意x满足 a+1=aF片1-2，所以2a+b=2a十 16-2a=18 一1x≤2，不等式x2一2x十a<0恒成立的 16-2a a+1 =2(a+1)+18 a+1 -4≥ 必要不充分条件”只有C适合。应选C。 山，提示当a>0时，解得-1<<}： 2√2(a+1) 18 a十7-4=8，当且仅当2(a十 当a=0时，解得x>一1；当-1<a<0时， 1)=18 a十，即a=2时取等号，此时取得最小 解得x<或x>-1:当a=-1时，解得 x≠-1；当a<-1时，解得x<-1或x> 值8，B正确。a+6=a+7一2=a+1十 a十1-3≥62-3，当且仅当a+1= 18 18 是，应注AB a十1' 即a=3√2-1时取等号，C正确。 1 12.提示：对于A,因为x>1,所以x一 a+十 1>0.所以x+(x一1)+ x1+1≥ 6十2≥2-2√0+2a++2 1 ，1 1 2:-1)·舌+1=3，当且仅当x-1 3 ,当且仅当a十1=b十2，即a=b十1时 x气，即x=2时等号成立，A正确。对于 B,因为x+5 x2+4+1=√x+4十 取等号，此时十。十取得最小值号，D √x2+4√x'+4 错误。应选ABC。 1 ≥2，等号成立的条件是x2=一3，显 14.提示：不等式 x-1a-2 √x+4 a+1 x ≥1对 然不成立，所以最小值不是2。令t= 任意实数x恒成立，则(x一1)x一(a十1)(a -2)≥1恒成立，即x2-x-a2十a十1≥0恒 干A≥2，则y=1+在[2，十∞)上单调 成立，所以△=1+4a2-4a-4=4a2-4a 29 中学生款理化款心数摩滴练年月 3<0,解得<a<号。应选CD 1 <a<0时，解得2<x<-2即不等式 1 15.提示：对于A,已知ab>0,当a<0, 的解集为{x 2<x<- 1 b<0时，不等式生≥不成立，A不正 。所以该不等式 的解集可能是A,B,D。应选ABD 确。对于B,因为ab>0,所以ab≤a十 一恒 18.提示：对于A,由题意得a<0,且 2 一1,2是方程ax2一bx+c=0的两个根，所 成立，当且仅当a=b时等号成立，B正确。 对于C,因为ab>0,所以台>0，名>0，则 以-1+2-女，-1×2=台，所以6=a0= 一2a,所以b<0,c>0,A正确。对于B,由题 名+号≥2侣·号-2，当且仅当a=6时 意可知，当x=1时，不等式成立，即a一b十 c>0,B正确。对于C,由题意知x=一1是 等号成立，C正确。对于D,易得a2十b≥ 方程a.x2一bx十c=0的根，所以a十b十c= 2ab,即(a十b)≥4ab,当a<0,b<0时满足 0,C错误。对于D,不等式ax2十bx十c>0 aD不正 ab>0,但a十b<0,此时a十b≤2ab 2 可化为ax2+ax-2a>0,因为a<0,所以 确。应选BC。 x十x一20，解得一2<x<1,所以不等式 16.提示：由1=x+2y≥2√2xy,可得 ax2+bx十c>0的解集是{x|一2<x<1},D 正确。应选ABD。 y≤名当且仅当化十1即=合 x=2y, 二、填空题 19.提示：当a=0时，不等式ax2十2ax一 子时等号成立，A正确。兰十子 x y 1<0可化为一1<0，解集为R,符合题意；当 (径+)x+2)=4++号≥4+2 a≠0时，不等式a.x2十2a.x一1<0的解集为 x y R,应满足 (a0, 解得 4=工 8,当且仅当 5即x=y=时 △=4a2-4a×(-1)<0, x 一1<a<0。综上可得，实数a的取值范围是 x+2y=1, {a|-1<a≤0}。 等号成立，B正确。4x2十y2=4(1一2y)2十 20.提示：由x2-ax十1≥0在1≤x≤2 y=1y2-16y+4=1(-)广+≥ 上有解，可得>。在1长≤2上有解， 当且仅当y=号时等号成立，C储误。 所以a<(）因为生=x+ (x+1)(2y+1) √xy √xy 而x十上在1≤x≤2上单调递增，所以当 4,当且仅当xy=1时等号成立，而0<xy≤ 8,所以不等式的等号不成立，D错误。应选 1 1=2时，x十取得最大值多，所以a<多， AB. 即实数a的取值范围为(，] 17.提示：由ax2-(2a-1)x-2>0,可 21.提示：因为x2一4x十4a≥a2在[1， 得(x一2)(a.x+1)>0。因为a<0,所以 6]内有解，所以a2一4a≤(x2一4x)x,其中 -2(+）<0.当a=-2时，不等式 x∈[1,6]。设函数y=x2-4x(1≤x≤6)， 则当x=6时，ymx=36-24=12,所以a2一 的解集为必；当a<一 时解得-<< 1 a 4a≤12，解得一2≤a≤6，即实数a的取值范 2,即不等式的解集为日<<2：当 围为[-2,6]。 22.提示：因为A={x|a.x2十bx-3≥0} 30 高一数学枝心曹察清赞中学生教理化 核心考点演练 ={x11≤x≤3}，所以1+3=-，1×3= a 可知函数的最小值为2，所以12a一4 Aa =2,即 a=1。当a<0时，函数y=a.x2一2x十3的 g,解得a=-1,b=4,所以B 图像开口向下，则函数的最大值为一2，所以 红>0，所以x(4x-8)<0,所以 12。-一2，可得a=号，不满足条件。 Aa B={x|0<x<2},所以AUB=(0,3],A∩ 综上所述，实数a的值为1。 B=[1,2),所以A④B={x|x∈AUB且 x4A∩B}=(0,1)U[2,3]。 25.提示：要使十二≥3”恒成立，只需 x y 三、解答题 23.提示：(1)若命题p为真命题，即方程 (层+)≥8。因为正数，y满足十 x2十(2m一4)x十m=0有两个不相等的实数 2y=1,所以+号-（日+号）+2) x 根，则△=(2m一4)2一4m=4m2一20m十 16>0,解得m<1或m>4,所以实数m的取 1十4+2y+≥5+2√ 2y.2x =9,当且仅 y 值范围为{mm<1或m>4}。 当2y=2,即x=y= 时等号成立，所以 1 (2)若命题q为真命题，则对所有的2≤ x≤3，不等式x2一4x十13≥m恒成立。设 9≥3“，解得a≤2，即实数a的取值范围是 y=x2-4x十13，只需当2≤x≤3时，m2 (-∞，2]。 ymm即可。因为y=x2-4x十13=(x 26.提示：(1)选条件①。因为x>1,所 2)2+9,2≤x≤3，所以ymim=9,所以m2≤9， 解得一3≤m≤3。所以当命题q为真命题 以x一10，所以xt1=x1大、7 -1+ 时，实数m的取值范围为{m|一3≤m≤3}。 已知命题p,q一真一假，若命题p为真 1≥2√z-1)·舌+1=3，当且仅当x 命题，命题q为假命题，则解得m<一3或 1= m>4;若命题p为假命题，命题g为真命题， -一即x=2时等号成立，所以a=3。 则解得1≤m3。 选条件②。由题意知一3和1是方程 综上所述，当命题p,q一真一假时，实 (1一a)x2一4x十6=0的两个根。由题意知 数m的取值范围为{m|m一3或1m3 1一a<0,即a>1。由韦达定理得 或m>4}。 4 2= 24.提示：(1)①当a=0时，由一2x十 1-a' 解得a=3。 6 3<0,解得z≥名，满足题意：②当a<0时， -3=1-a’ 令y=ax2一2x十3，则此二次函数的图像开 不等式2x2十(2-a)x-a>0,即2x2 口向下，满足题意；③当a>0时，由△=4一 工一3>0，解得x<-1或x>是，故不等式的 12a≥0，解得a<号： 解集为(-∞，-1DU(侵，+)。 综上所述，实数a的取值范围为 (2)由(1)知a=3。不等式ax2十bx+ ala≤ 3≥0，即3x2十bx十3≥0。因为不等式的 (2)当a=0时，-2≤一2x十3≤2，即 解集为R,所以△=b2一4×3×3≤0，解得 一6b6,故实数b的取值范围为[一6， 名<x≤号不满足条件。 6]。 当a≠0时，令y=ax2-2x十3，若a> 作者单位：陕西省洋县中学 0,则函数y=ax2一2x十3的图像开口向上， (责任编辑郭正华) 31