专题02 一元二次函数、方程和不等式 9大高频考点（期中真题汇编，人教A版）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 8大高频考点概览 考点01 比较大小 考点02 基本不等式概念及应用 考点03 解不等式 考点04 含参不等式的解法 考点05 由解集求参数 考点06 恒成立问题 考点07 不等式有解问题 考点08 不等式的实际应用 地 城 考点01 比较大小 一、单选题 1．(24-25高一上·陕西西安庆安高级中学·期中)已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值讨论各选项即可求解. 【详解】因为，所以， 对于A，， 所以，A选项正确； 对于BCD，当时，，，无意义，故BCD选项错误. 故选：A. 2．(24-25高一上·全国·期中)如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可. 【详解】若，，则， 则，即，充分性成立； 若，，则， 所以，必要性成立， 所以如果，那么“”是“”的充要条件. 故选：C 二、多选题 3．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】应用作差法判断A、B、D，根据不等式的性质判断C. 【详解】A：，又， 所以，则，即，对； B：，且，而符号不定， 所以符号不定，错； C：由题设，若，则，错； D：，则，对. 故选：AD 4．(23-24高一上·贵州“三新”改革联盟校·月考)已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件，利用不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】对于A，∵，，∴，，∴，故A正确； 对于B，∵，，∴，故B正确； 对于C，∵，∴，又∵，∴，故C不正确； 对于D，∵，∴，又，∴，∴，∴，故D正确； 故选：ABD 三、非选择题 5．(24-25高一上·全国·期中)已知三个不等式（1）；（2）；（3），以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成的真命题个数为 个. 【答案】3 【分析】可组成3个命题，利用不等式的性质逐一判断即可. 【详解】命题：若（1）；（2），则（3）． 因为，， 所以不等式两边同时除以可得，即， 所以由（1）；（2）可得（3）成立； 命题：若（1），（3），则（2）. 因为，，所以，即， 所以由（1），（3），可得（2）成立； 命题：若（2）；（3），则（1）. 因为，所以. 因为，所以，所以， 所以由（2）；（3），可得（1）成立． 所以组成的3个命题都是真命题. 故答案为：3. 6．(23-24高一上·贵州六盘水·期中)从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 地 城 考点02 基本不等式概念及应用 一、单选题 1．(24-25高一上·陕西汉中·期中)已知，都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过举反例可以证明充分性不成立，再利用重要不等式可以证明必要性. 【详解】取，，此时，， 满足，此时不成立； 当时，因为， 所以， 所以， 所以， 即， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．(24-25高一上·全国·期中)已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由基本不等式的变形形式直接求解即可. 【详解】由题意得，，即， 当且仅当，即或时等号成立， 所以ab的最大值为， 故选：B 二、多选题 3．(24-25高一上·全国·期中)若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本不等式分析判断AD；举例说明判断BC. 【详解】对于A，，不等式成立，A正确； 对于B，由于，且，当时，，而，不等式不成立，B错误； 对于C，由于，且，当时，，而，不等式不成立，C错误； 对于D，由，且，得，则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 4．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个选项判断正误即可． 【详解】对于A，因为，，所以，又所以， 所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：BCD. 5．(24-25高一上·全国·期中)已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 6．(24-25高一上·陕西延安中学·月考)下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，所以 ，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号．故D正确. 故选：AD 三、非选择题 7．(24-25高一上·河南郑州中牟县·期中)设，，且，则的最大值． 【答案】 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】由，可得，． 由基本不等式可得：， 因为，所以， 即．当且仅当即，时，等号成立． 故xy的最大值为． 8．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)已知x，y均为正数，，则的最小值 . 【答案】 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知x，y均为正数，，则， ， 当且仅当取最小值. 故答案为：. 9．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿县汪洋中学·期中)求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 10．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 【答案】（1）4，    （2）6， 【分析】（1）根据基本不等式求解即可； （2）将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因，则有， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为4；      （2）当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为6. 11．(24-25高一上·山东枣庄第一中学·期中)（1）已知，求函数的最大值，并求出此时的值; （2）已知，且,求的最小值，并求出此时的值; （3）已知，且,求的最大值，并求出此时的值. 【答案】（1）时函数有最大值为2；（2）时目标式最小值为16；（3），时目标式的最大值为. 【分析】（1）根据对勾函数最值的求法求函数最大值，并确定取值条件； （2）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件； （3）由代入目标式，结合基本不等式求最大值，并确定取值条件. 【详解】（1）由题意，则 ， 当且仅当时等号成立，所以时函数有最大值为2； （2）， 当且仅当，即时取等号， 所以时目标式最小值为16； （3）由，则， 所以， 当且仅当，对应时取等号， 所以，时目标式的最大值为. 地 城 考点03 解不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)若，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解一元二次不等式求解，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】由，可得或， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 2．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 3．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由或，则， 由是的充分不必要条件，则，且 可得，解得. 故选：C. 4．(24-25高一上·河南开封五校·期中)对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式得到，故或或，从而得到. 【详解】由，得，解得， 因此，或， 又因为表示不大于的最大整数，所以.只有选项B满足要求. 故选：B. 5．(24-25高一上·河南郑州中牟县·期中)不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式后可求其解. 【详解】即为，故或， 故不等式的解集为或， 故选：A. 二、非选择题 6．(24-25高一上·上海复旦大学附属复兴中学·期中)关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分式不等式转化为一元二次不等式计算即可. 【详解】. 故不等式的解集为. 故答案为：. 7．(24-25高一上·福建福州十校·期中)若正实数、满足，不等式有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式可求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由已知可得， 所以 ， 当且仅当时，即当时取等号， 因为不等式有解，则有，即， 即，解得或， 所以的取值范围， 故答案为：． 8．(24-25高一上·湖南邵阳新邵县第二中学·期中)解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） (1)； (2) (3)． 【答案】(1)或， (2) (3)或 【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的解的特征，即可求解， （3）根据分式不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由可得，解得或， 故不等式的解为或， （2）由可得， 即，解得， 故不等式的解为 （3）由得， 故或， 故不等式的解为或 9．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)解下列一元二次不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 10．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期中)已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数的图象与x轴交于，两点，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，即可求解； （2）利用韦达定理表示，再利用二次函数，即可求最值. 【详解】（1）时，，解得或， 原不等式的解集为或； （2）令，由得， 故，， 故， 当时，取得最小值，最小值为. 地 城 考点04 含参不等式的解法 一、单选题 1．(24-25高一上·山东济南历城第二中学·)已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式可得或，再解不等式，进而分三种情况讨论，结合交集的定义求解即可. 【详解】由，即，解得或， 由，即， 当时，不等式为，无解； 当时，不等式解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以，即， 当时，不等式解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，k的取值范围为， 故选：D 二、多选题 2．(24-25高一上·福建南平高级中学·期中)已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据题设及图象有且，得，并结合一元二次不等式解法，判断各项正误. 【详解】由题设及函数图象知：且， 所以，则，，，A错，B、C对； ，则，D对. 故选：BCD 三、非选择题 3．(24-25高一上·福建南平高级中学·期中)设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）若，则由， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 4．(24-25高一上·浙江七彩阳光新高考研究联盟·期中)已知函数，，. (1)当，且时，解关于x的不等式； (2)若，，，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）解含参数的一元二次不等式，分、和求解即可； （2）代入，再变形为，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时，即时，； 当时，即时，不等式无解； 当时，即时，， 综上，时，解集为； 时，解集为；时，解集为. （2）由，， 当且仅当时，取到等号，， 由于，，解得， 当且仅当时，取到等号，故的最小值为. 5．(24-25高一上·黑龙江大庆第一中学·期中)已知命题 是假命题． (1)求实数m的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到是真命题，从而将问题转化为二次不等式在区间内恒成立问题，由此求函数最小值可得； （2）先由必要不充分条件的性质得到，再由包含关系列不等式求的范围. 【详解】（1）因为 是假命题， 所以是真命题， 即在上恒成立， 根据二次函数的性质可知，当时，函数取最小值， 故． 故实数m的取值集合； （2）因为不等式的解集为A，即 若是的必要不充分条件，则， 所以，即， 故a的取值范围为． 6．(24-25高一上·全国·期中)解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】当时，不等式化为；当时，可化为 ，后讨论与4的大小可得答案. 【详解】当时，不等式化为； 当时，. 当时，若，不等式解为或； 若，不等式解为； 若，不等式解为或； 当时，此时，， 不等式解为. 综上，时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为. 地 城 考点05 由解集求参数 一、单选题 1．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 2．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】 依题意可得为关于的一元二次方程的两根且，利用韦达定理得到，再代入，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以为关于的一元二次方程的两根且， 所以，所以， 则不等式即，因为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B. 3．(24-25高一上·海南儋州某校·期中)若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判别式即可求解. 【详解】不等式的解集为， 则需满足，解得， 故选：B 二、多选题 4．(24-25高一上·广东汕头潮阳实验学校·期中)若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用三个二次的关系，将条件转化成方程的根的情况，判断的符号，利用韦达定理得到的数量关系，再根据选项一一判断或求解不等式即得. 【详解】对于A，由题意，方程有两根为和2，且，故A正确； 由韦达定理，即. 对于B，由， 即解得或，故B错误； 对于C，因，且， 故，故C正确； 对于D，， 因，故该函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 三、非选择题 5．(24-25高一上·陕西西安庆安高级中学·期中)若不等式的解集是，则 . 【答案】3 【分析】由不等式的解集可知1，2是方程的根，由根与系数的关系可求的值. 【详解】不等式的解集是， ∴有两个根1，2， ∴，∴. 故答案为：3. 6．(24-25高一上·安徽皖江名校·)设方程的两根是，若不等式的解集是，则的值是 . 【答案】19 【分析】由不等式的解集即可确定，进而可求解； 【详解】由不等式的解集是可知： 的两根为，2， 所以，所以， 所以就是， 于是． 故答案为：19. 7．(24-25高一上·广东佛山南海外国语高级中学·期中)若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，可解得的值，进而可解分式不等式. 【详解】由题意可知，且1和2是方程的两根， 所以解得所以，即为， 可化为，即，解得. 所以所求不等式的解集是. 故答案为：. 8．(24-25高一上·辽宁丹东·调研)设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围. 【详解】关于的不等式，两边平方整理得：， 因为，不等式的解集中的整数恰有3个，所以， 所以不等式的解集为，所以解集里的整数是三个， 故有，又因为，所以， 综上. 故答案为： 9．(24-25高一上·安徽蚌埠固镇县联考·期中)利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时x的值； (2)已知，且，求xy的最大值； (3)若不等式的解集为，求a，b的值； 【答案】(1)最小值为4，此时； (2)； (3). 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用基本不等式求出最值. （3）利用一元二次不等式的解集，结合韦达定理求出参数值. 【详解】（1），，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为4，此时. （2），，即，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. （3）由不等式的解集为， 得且和3是方程的两个实根， 因此，解得， 所以. 10．(24-25高一上·广东汕头第一中学·期中)已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知的两根为和，然后利用根与系数的关系可求得结果； （2）当时可得，当时，，然后分和两种情况结合一元二次不等式的解法可求得结果. 【详解】（1）由题意可知的两根为和， 所以由根与系数的关系得， 解得. （2）当时，则，解得； 当时，， 当时，则，解得或； 当时，则， 当时，即，解，得； 当时，即，解，得； 当时，即，解，得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 地 城 考点06 恒成立问题 一、单选题 1．(24-25高一上·四川达州达州铁路中学·期中)已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 2．(24-25高一上·福建福州长乐第一中学·月考)已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，进而转化问题为，解不等式即可求解. 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 要使恒成立，则， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 3．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)对于任意的，，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知不等式可化为得，结合条件及二次函数性质可得，解不等式可得结论. 【详解】由已知得对任意实数恒成立， 所以，解得. 故选：B. 4．(24-25高一上·江苏南京第一中学·)已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合二次函数的单调性和一元二次不等式在某区间上恒成立问题求解即可； 【详解】命题：，为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点， 由图可知：或， 命题：，为真命题， 则，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 二、非选择题 5．(24-25高一上·四川达州达州铁路中学·期中)已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 6．(24-25高一上·福建福州长乐第一中学·月考)已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，进而转化问题为，解不等式即可求解. 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 要使恒成立，则， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 7．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)对于任意的，，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知不等式可化为得，结合条件及二次函数性质可得，解不等式可得结论. 【详解】由已知得对任意实数恒成立， 所以，解得. 故选：B. 8．(24-25高一上·江苏南京第一中学·)已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合二次函数的单调性和一元二次不等式在某区间上恒成立问题求解即可； 【详解】命题：，为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点， 由图可知：或， 命题：，为真命题， 则，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 地 城 考点07 不等式有解问题 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期中)命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出原命题的否定，然后根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，命题“，”为真命题， 所以，由于， 所以当时，取得最小值为， 所以. 故选：A 2．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化成“大于或等于的最小值”，再利用配方法求的最小值即可. 【详解】因为， 所以 . 问题“存在，使得不等式成立”转化为“大于或等于的最小值”. 因为，当时取“”. 所以 . 故选：C 3．(24-25高一上·广东佛山南海区石门中学·月考)若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 二、非选择题 4．(24-25高一上·广东肇庆肇庆鼎湖中学·期中)若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案. 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 5．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数，然后将不等式有解转化为最值问题即可. 【详解】法一：原不等式可化为，因为不等式在有解，所以； 令，则； 令，易知在单调递减，在单调递增，，所以. 法二：令，则即可； 由二次函数在闭区间上的最值可知，， 所以或，解得或，所以. 故答案为： 6．(24-25高一上·北京第十四中学·期中)命题“”为假命题的一个充分不必要条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】问题化为为真命题，利用对勾函数的单调性求最大值，即可得，结合充分不必要条件写出一个符合要求的参数范围即可. 【详解】由题设，为假命题，故为真命题， 又在上递增，则，只需即可， 所以，原命题为假命题的一个充分不必要条件是. 故答案为：（答案不唯一） 7．(24-25高一上·河北张家口·期中)已知，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】先由基本不等式求出，从而根据不等式有解得到，求出答案. 【详解】由题， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式有解，所以，即， 解得或，即实数的取值范围是 故答案为： 8．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)设命题：，不等式有解，命题：关于实数的方程有两个不相等的实数根、，其中，. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式有解的解法，得出关于的一元二次不等式，求解即可； （2）若命题是真命题，设，根据一元二次方程根的情况列出不等式组，得出的范围，然后分为p真q假，p假q真两种情况求解即可． 【详解】（1）若命题是真命题，即，不等式有解， ∴，不等式有解， ∴，即， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是． （2）若命题是真命题，设， 则得，解得， 若p真q假，则，解得或； 若p假q真，则，无解． 综上，实数a的取值范围是． 地 城 考点08 不等式的实际应用 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁丹东·调研)若某地区第一年的经济增长率为，第二年的经济增长率为（其中），则这两年的平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这两年的平均增长率为，根据题意列出等式即可求解. 【详解】设这两年的平均增长率为, 则根据题意的， 求解可得. 故选：A 二、非选择题 2．(24-25高一上·广东揭阳揭东区第三中学·期中)某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设每件衬衫提价元，则每件衬衫的售价为元，表示出每天出售衬衫的净收入，由不等关系列出不等式，解出的范围，即可得件衬衫的售价的取值范围. 【详解】设每件衬衫提价元，则每件衬衫的售价为元， 则每天出售衬衫的净收入为：（元）， 由题可知，， 整理得，，解得， ， 每件衬衫的售价的取值范围是. 故答案为：. 3．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿县汪洋中学·期中)用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设矩形菜园的长为，宽为，得到，得到围成的菜园的面积，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设矩形菜园的长为，宽为，可得， 则围成的菜园的面积， 当且仅当即时等号成立， 所以围成菜园的最大面积为. 故答案为：. 4．(24-25高一上·广东广州华南师范大学附属中学·期中)如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1) (2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 5．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)单价定为元时利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 6．(24-25高一上·海南儋州某校·期中)为了满足运输市场个性化线路的需求，海南儋州汽车运输公司购买了一批电动汽车投入运营．根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润（单位：万元）与营运年数为二次函数的关系（如图），其中为二次函数的顶点坐标. (1)在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数的函数关系； (2)当每辆电动汽车营运年数为多少时，儋州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 【答案】(1)， (2)5，2 【分析】（1）根据图象即可求解； （2）由基本不等式求解的最大值即可. 【详解】（1）根据题意知，抛物线的顶点为，过点，开口向下， 设二次函数的解析式为， 所以，解得， 所以， （2）由（1），得营运的年平均利润， 当且仅当，即时取等号．最大值为2. 7．(24-25高一上·全国·期中)如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.    (1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 【答案】(1)的长应在 (2)当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米 【分析】（1）设出米，则米，求出矩形面积的表达式，根据矩形的面积大于32平方米解不等式可得答案； （2）利用基本不等式求解可得答案. 【详解】（1）设，则由与相似得 ，整理得， 矩形的面积， 即， 当时，得，整理得， 解得，或，又， 所以的长应在； （2）时，， 当且仅当即时等号成立， 所以， 所以，当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米. 试卷第1页，共3页 3 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 8大高频考点概览 考点01 比较大小 考点02 基本不等式概念及应用 考点03 解不等式 考点04 含参不等式的解法 考点05 由解集求参数 考点06 恒成立问题 考点07 不等式有解问题 考点08 不等式的实际应用 地 城 考点01 比较大小 一、单选题 1．(24-25高一上·陕西西安庆安高级中学·期中)已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·全国·期中)如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·贵州“三新”改革联盟校·月考)已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、非选择题 5．(24-25高一上·全国·期中)已知三个不等式（1）；（2）；（3），以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成的真命题个数为 个. 6．(23-24高一上·贵州六盘水·期中)从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 地 城 考点02 基本不等式概念及应用 一、单选题 1．(24-25高一上·陕西汉中·期中)已知，都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(24-25高一上·全国·期中)已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 二、多选题 3．(24-25高一上·全国·期中)若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·全国·期中)已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 6．(24-25高一上·陕西延安中学·月考)下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 三、非选择题 7．(24-25高一上·河南郑州中牟县·期中)设，，且，则的最大值． 8．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)已知x，y均为正数，，则的最小值 . 9．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿县汪洋中学·期中)求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 10．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 11．(24-25高一上·山东枣庄第一中学·期中)（1）已知，求函数的最大值，并求出此时的值; （2）已知，且,求的最小值，并求出此时的值; （3）已知，且,求的最大值，并求出此时的值. 地 城 考点03 解不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)若，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(24-25高一上·重庆第二外国语学校·期中)不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 3．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·河南开封五校·期中)对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·河南郑州中牟县·期中)不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 二、非选择题 6．(24-25高一上·上海复旦大学附属复兴中学·期中)关于的不等式的解集为 . 7．(24-25高一上·福建福州十校·期中)若正实数、满足，不等式有解，则的取值范围是 ． 8．(24-25高一上·湖南邵阳新邵县第二中学·期中)解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） (1)； (2) (3)． 9．(24-25高一上·福建福州青鸟北附高级中学·期中)解下列一元二次不等式 (1) (2) 10．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第七十三中学校·期中)已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数的图象与x轴交于，两点，求的最小值. 地 城 考点04 含参不等式的解法 一、单选题 1．(24-25高一上·山东济南历城第二中学·)已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高一上·福建南平高级中学·期中)已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 三、非选择题 3．(24-25高一上·福建南平高级中学·期中)设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 4．(24-25高一上·浙江七彩阳光新高考研究联盟·期中)已知函数，，. (1)当，且时，解关于x的不等式； (2)若，，，求的最小值. 5．(24-25高一上·黑龙江大庆第一中学·期中)已知命题 是假命题． (1)求实数m的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 6．(24-25高一上·全国·期中)解关于的不等式. 地 城 考点05 由解集求参数 一、单选题 1．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·云南文山广南县第十中学校·期中)若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 3．(24-25高一上·海南儋州某校·期中)若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一上·广东汕头潮阳实验学校·期中)若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 三、非选择题 5．(24-25高一上·陕西西安庆安高级中学·期中)若不等式的解集是，则 . 6．(24-25高一上·安徽皖江名校·)设方程的两根是，若不等式的解集是，则的值是 . 7．(24-25高一上·广东佛山南海外国语高级中学·期中)若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 8．(24-25高一上·辽宁丹东·调研)设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 9．(24-25高一上·安徽蚌埠固镇县联考·期中)利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时x的值； (2)已知，且，求xy的最大值； (3)若不等式的解集为，求a，b的值； 10．(24-25高一上·广东汕头第一中学·期中)已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 地 城 考点06 恒成立问题 一、单选题 1．(24-25高一上·四川达州达州铁路中学·期中)已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 2．(24-25高一上·福建福州长乐第一中学·月考)已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 3．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)对于任意的，，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·江苏南京第一中学·)已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、非选择题 5．(24-25高一上·四川达州达州铁路中学·期中)已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 6．(24-25高一上·福建福州长乐第一中学·月考)已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 7．(24-25高一上·安徽宿州砀山县七校·期中)对于任意的，，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·江苏南京第一中学·)已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点07 不等式有解问题 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期中)命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·广东佛山南海区石门中学·月考)若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、非选择题 4．(24-25高一上·广东肇庆肇庆鼎湖中学·期中)若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 5．(24-25高一上·重庆南开中学·期中)已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 6．(24-25高一上·北京第十四中学·期中)命题“”为假命题的一个充分不必要条件是 . 7．(24-25高一上·河北张家口·期中)已知，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 8．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)设命题：，不等式有解，命题：关于实数的方程有两个不相等的实数根、，其中，. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 地 城 考点08 不等式的实际应用 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁丹东·调研)若某地区第一年的经济增长率为，第二年的经济增长率为（其中），则这两年的平均增长率为（    ） A． B． C． D． 二、非选择题 2．(24-25高一上·广东揭阳揭东区第三中学·期中)某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ． 3．(24-25高一上·四川眉山仁寿县仁寿县汪洋中学·期中)用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 . 4．(24-25高一上·广东广州华南师范大学附属中学·期中)如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 5．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 6．(24-25高一上·海南儋州某校·期中)为了满足运输市场个性化线路的需求，海南儋州汽车运输公司购买了一批电动汽车投入运营．根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润（单位：万元）与营运年数为二次函数的关系（如图），其中为二次函数的顶点坐标. (1)在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数的函数关系； (2)当每辆电动汽车营运年数为多少时，儋州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 7．(24-25高一上·全国·期中)如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.    (1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 试卷第1页，共3页 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$