集合与常用逻辑用语中的“数学文化”-《中学生数理化》高一数学2025年9月刊

题型一：借助数学文化考查集合的概念 及表示 例1中国古代重要的数学著作《孙子 算经》下卷有题：今有物，不知其数。三三数 之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二 问：物几何？现有如下表示：已知A={x x=3n+2,n∈N"},B={xx=5n+3,n∈ N“},C={x|x=7n+2,n∈N“},若x∈ (A∩B∩C),则下列选项中符合题意的整数 x为()。 A.8 B.127 C.37 D.23 解：理解集合A,B,C表示的剩余类及 三个交集的意义，结合元素与集合的关系进 行判断。因为8=7×1+1，所以8￠C,A错 误。因为127=3×42十1，所以127庄A,B错 误。因为37=3×12十1，所以37任A,C错 误。由23=3×7+2得23∈A,由23=5× 4+3得23∈B,由23=7×3+2得23∈C,所 以23∈(A∩B∩C),D正确。应选D。 题型二：借助数学文化考查集合的运算 例2（多选题）1872年德国数学家戴德 金从连续性的要求出发，用有理数的“分割” 来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实 数理论建立在严格的科学基础上，从而结束 了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数 学史上的第一次大危机。将有理数集Q划分 为两个非空的子集M与N,且满足MUN= Q,M∩N=⑦，M中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分 割。试判断下列选项中，可能成立的 是()。 A.M={x∈Q|x<√2}，N={x∈Q x≥√2}满足戴德金分割 B.M没有最大元素，N有一个最小元素 C.M没有最大元素，N没有最小元素 D.M有一个最大元素，N有一个最小元 素 解：对于A,集合M={x∈Q|x<√2}， N={x∈Q|x≥√2}，显然满足戴德金分割的 定义，A正确。对于B,取M={x∈Q|x 高-数学文货卓赞撕中学生款理化 集合与常用逻辑用语中的 数学文化” ■朱秀芝 0},N={x∈Q|x≥0}，符合戴德金分割，M 没有最大元素，N有一个最小元素0，B正 确。对于C,取M={x∈Q|x<√2}，N= {x∈Q|x≥√2}，满足戴德金分割的定义，M 没有最大元素，N没有最小元素，C正确。对 于D,假设M有一个最大元素m,N有一个 最小元素n,根据戴德金分割定义，必有m< n,但无法满足MUN=Q,D错误。应选 ABC。 题型三：借助数学文化考查高等数学与 集合的联系 例3（多选题）群论是代数学的分支学 科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研 究方法也对抽象代数的其他分支有重要影 响，例如一元五次及以上的方程没有根式解 就可以用群论知识证明。群的概念则是群论 中最基本的概念之一，其定义如下：设G是 一个非空集合，“·”是G上的一个代数运 算，即对所有的a、b∈G,有a·b∈G,如果G 的运算还满足：①Ha、b、c∈G,有(a·b)· c=a·(b·c),②3e∈G,使得Ha∈G,有 e·a=a·e=a,③Ha∈G,3b∈G,使得 a·b=b·a=e,则称G关于“·”构成一个 群。则下列说法正确的是()。 A.G={一1,0,1}关于数的乘法构成群 BG={=gk∈z,k≠oU{x x=m,m∈Z,m≠0}关于数的乘法构成群 C.实数集关于数的加法构成群 D.G={m十√2n|m,n∈Z}关于数的加 法构成群 解：对于A,若G={一1,0,1}，则对所有 的a、b∈G,有a·b∈{1,0，一1}=G,满足乘 法结合律，即①成立，满足②的e为1，即②成 17 中学生款理化餐学资华与筑新年月 立，当a=0时，不存在b∈G,使得a·b= b·a=e=1,即③不成立，A错误。对于B, 1 易知a=2∈G,且b=3∈G,但a·b=2× 33 G,B错误。对于C,若G=R,则对所 有的a、b∈R,有a十b∈R,满足加法结合律， 即①成立，满足②的e为0，即②成立，Ha∈ R,3b=一a∈R,使得a+b=b十a=0,即③ 成立，C正确。对于D,若G={m十√2n|m, n∈Z},则对所有的a=m1十√2n1、b=m2十 2n2∈G,有a十b=(m1十m2)十√2(n1十 n2)∈G,Ha、b、c∈G,(a+b)+c=a+(b+ c)成立，即①成立，当a=b=0时，a十√2b= 0,满足的e=0,即②成立，Ha=m十√2n∈ G,3b=-m-√2n∈G,使a十b=b十a=0, 即③成立，D正确。应选CD。 题型四：借助数学文化考查古诗词与充 分条件、必要条件的联系 例4杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》 中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神。”对此 诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这 样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手， 有如神助一般，由此可得，“读书破万卷”是 “下笔如有神”的()。 A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解：杜甫的诗句表明书读得越多，文章未 必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较 好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎 的文章范畴也会比一般读书人广泛。因此 “读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分 条件。应选C。 题型五：借助数学文化考查数学背景与 充分条件、必要条件的联系 例5(1)在我国南北朝时期，数学家祖 暅在实践的基础上提出了体积计算的原理： “幂势既同，则积不容异”。其意思是，用一组 平行平面截两个几何体，若在任意等高处的 截面面积都对应相等，则两个几何体的体积 18 必然相等。根据祖暅原理，“两几何体A、B 的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面 积不恒相等”的()。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)必修一课本中有一段话：命题“若力， 则q”为真命题，则“由p可以推出q”,即一旦 p成立，q就成立，p是q成立的充分条件。 也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成 立，9对p成立也是很必要的。王安石在《游 褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰 怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉， 故非有志者不能至也。”从数学逻辑角度分 析，“有志”是“能至”的()。 A,充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：(1)由已知得“在任意等高处的截面 面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然 相等“的充分不必要条件。结合原命题与其 逆否命题的真假可得，“两几何体A、B的体 积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不 恒相等”的充分不必要条件。应选A。 (2)提示：因为“非有志者不能至也”，即 “有志”不成立时“能至”一定不成立，所以“能 至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的 必要条件。应选B。 但受 感悟身仪日 毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两 句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假 设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好 汉”的条件。（填“充分不必要”“必要不 充分”“充要”“既不充分也不必要”) 提示：“好汉”→“到长城”，“到长 城”扲“好汉”，所以“到长城”是“好汉”的必要 不充分条件。 作者单位：陕西省洋县中学 (责任编辑王琼霞)