条件等式求最值中的“沟通策略”&“四法”判断充分条件与必要条件-《中学生数理化》高一数学2025年9月刊

青一数识结的军析贤中学生款理化 件等浅求最值中的“沟通路” ■张忠明 策略一：条件等式求最值中的“待定系数 一2b)的最大值为1。 法”和“1”的妙用 例1已知实数x,y满足x>y>0,且 因为3c2-2x+4ab=3(e-号）广+4ab 3x-y=2,则2+1 1 1 x十yx的最小值为 一，当国又当3O成b—。寸李 解：设3x-y=m(x+y)十n(x-y),则 号成立，所以c-2a)(c一26)的最小值为-日 m十n=3且m-n=-1,解得m=1,n=2, 体验：求(c一2a)(c一2b)的最值，要利用 所以3x-y=(x十y)+2(x-y)。 条件a十b十c=1进行降元，即a十b=1一c, 因为x>y>0,所以x十y>0,x一y>0, 结合配方法求出最值，凸显不等式和配方法 所以名十（品+）x 在求最值中的沟通作用。 策略三：条件等式求最值中的“双换元法” 例3已知a>1,b>,1 2 °2a-+2b -(4十4)=4， x十y =1,则2+方的最大值为一 当且仅当4x-二y》=十y时取等号，由2(x x十yx-y 解：通过换元，将分式变成整式，再通过 3 “1”的代换和基本不等式求出最值。 x- 4 y)=x十y且3.x-y=2,可得 即当 令 1 a-=x'2b=y,则x>0,y>0, y=4 所以a=x+1,b=y十1， x=是y=子时不等式取等号。故 2 x 2y,x+2y=1,所以 +y 一的最小值为4。 十1十2y十8=4。所以日+=十 a x-y 体验：解答本题的关键是用“待定系数 2%2+209-2-8- y+1 x+1 y+1 法”把已知等式中的变量用所求式中两个整 体变量线性表示。 策略二：条件等式求最值中的“降元法和 2=3-6+2+2]≤3 配方法” x+1 y+1」 例2已知实数a≥0，b≥0，c≥0，且 +. 7=3 y+1 ，当且 a十b十c=1,则(c一2a)(c一2b)的最大值为 ,最小值为一。 仅当x=3y=，即a=4,b=2时等号成 1 解：因为(c-2a)(c-2b)=c2-(2a+ 2b)c+4ab=c2-(2-2c)c+4ab=3c2 立。故+的最大值为 a 2c+4ab,所以3c2-2c+4ab≤3c2-2c+4× 体验：解答本题的关键是待定系数法沟 (e2）=c-2c+1-c)=4c2-4c+1= 通关系，运用“1”的整体代换，展开凑积为定 值，最后求出最大值。 (2c-1)2≤1，当且仅当a=b=0,c=1或 作者单位：陕西省汉中中学 1 a=b=2c=0时等号成立，所以(c-2a)(c (责任编辑王琼霞) 15 中学生数理化贺皱黎与新供车9月 四法， 断充分条件与必要条件 ■徐春生 一、定义法 解：设p,q分别对应集合P,Q,则P= 例1设集合M={xx>2},P={x| {x|x2-8x-20≤0}={x|-2≤x≤10}， x<3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈(P∩ Q={xx2-2x+1-m2≤0，m>0}={x M)”的( )。 1-m≤x1十m,m>0}。因为p是q的充 A.充分不必要条件 分不必要条件，所以p→q,且qPp,即P军 B.必要不充分条件 (1-m<-2,1-m≤-2， C.充要条件 Q,所以31十m≥10，或1十m>10,解得 D.既不充分也不必要条件 m>0 m>0, 解：设条件p:x∈M或x∈P,结论q: m≥9，所以m的取值范围是{m|m≥9}。应 x∈(P∩M)。若x∈M,则x不一定属于 选B。 P,即x不一定属于P∩M,所以pq。若 点评：运用集合思想判断充分条件和必 x∈(P∩M),则x∈P且x∈M,所以q→p。 要条件是一种行之有效的方法。已知p以非 综上所述，“x∈M或x∈P”是“x∈(P∩ 空集合A的形式出现，g以非空集合B的形 M)”的必要不充分条件。应选B。 式出现，①若A三B,则p是q的充分条件； 点评：如果p→q,那么称p是g的充分 ②若B三A,则力是q的必要条件；③若A军 条件，也称q是p的必要条件。解答本题的 B,则p是q的充分不必要条件；④若B手A, 关键是要分清条件与结论。 则p是q的必要不充分条件；⑤若A=B,则 二、传递法 p是q的充要条件。 例2如果A是B的必要不充分条件， 四、等价转化法 B是C的充要条件，D是C的充分不必要条 例4已知条件p:x十y≠2，条件q:x, 件，那么A是D的条件。（填“充分不必 y不都是1，则q是p的( )。 要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必 A.充分不必要条件 要”) B.充要条件 解：依题意得A=B台C←=D且APB台 C.必要不充分条件 CD。由命题的传递性知D→A,但 D.既不充分也不必要条件 AD,所以A是D的必要不充分条件。 解：因为p:x十y≠2，q:x≠1或y≠1， 点评：充分条件、必要条件在推导的过程 所以p:x十y=2,q:x=1且y=1。因 中具有传递性，即若p→q,q→r,则p→r。 为p矜7q,但7q→p,所以p是q 三、集合法 的必要不充分条件，即q是p的必要不充分 例3已知条件p:x2一8.x一20≤0，条 条件。应选C。 件q:x2-2x十1-m2≤0(m>0),若p是q 点评：互为逆否命题的两个命题同真同 的充分不必要条件，则的取值范围 假，当由力→q较困难时，可先判断由g→ 是()。 一p,再得到p→q。 A.{mm≥21} B.{m1m≥9} 作者单位：广东省汕头市澄海凤翔中学 C.{m|m≥19》 D.{mm>0} (责任编辑王琼霞) 16 高一数数学之室有中学生教理化 题型一：借助数学文化考查集合的概念 及表示 集合与常用逻辑用语中的 例1中国古代重要的数学著作《孙子 算经》下卷有题：今有物，不知其数。三三数 之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。 数学文化” 问：物几何？现有如下表示：已知A={x| ■朱秀芝 x=3n+2,n∈N"},B={xx=5n+3,n∈ N“},C={x|x=7n+2,n∈N*},若x∈ 0},N={x∈Qx≥0}，符合戴德金分割，M (A∩B∩C),则下列选项中符合题意的整数 没有最大元素，N有一个最小元素0，B正 x为()。 A.8 B.127 确。对于C,取M={x∈Q|x<√2}，N= C.37 D.23 {x∈Q|x≥√2}，满足戴德金分割的定义，M 解：理解集合A,B,C表示的剩余类及 没有最大元素，N没有最小元素，C正确。对 三个交集的意义，结合元素与集合的关系进 于D,假设M有一个最大元素，N有一个 行判断。因为8=7×1十1，所以8C,A错 最小元素n,根据戴德金分割定义，必有m< 误。因为127=3×42十1，所以127A,B错 n,但无法满足MUN=Q,D错误。应选 误。因为37=3×12十1，所以37￠A,C错 ABC。 误。由23=3×7+2得23∈A,由23=5× 题型三：借助数学文化考查高等数学与 4+3得23∈B,由23=7×3+2得23∈C,所 集合的联系 以23∈(A∩B∩C),D正确。应选D。 例3（多选题）群论是代数学的分支学 题型二：借助数学文化考查集合的运算 科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研 例2（多选题）1872年德国数学家戴德 究方法也对抽象代数的其他分支有重要影 金从连续性的要求出发，用有理数的“分割” 响，例如一元五次及以上的方程没有根式解 来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实 就可以用群论知识证明。群的概念则是群论 数理论建立在严格的科学基础上，从而结束 中最基本的概念之一，其定义如下：设G是 了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数 一个非空集合，“·”是G上的一个代数运 学史上的第一次大危机。将有理数集Q划分 算，即对所有的a、b∈G,有a·b∈G,如果G 为两个非空的子集M与N,且满足MUN= 的运算还满足：①Ha、b、c∈G,有(a·b)· Q,M∩N=②，M中的每一个元素都小于N c=a·(b·c),②3e∈G,使得Ha∈G,有 中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分 e·a=a·e=a,③Ha∈G,3b∈G,使得 割。试判断下列选项中，可能成立的 a·b=b·a=e,则称G关于“·”构成一个 是()。 群。则下列说法正确的是()。 A.M={x∈Q|x<√2}，N={x∈Q A.G={一1,0,1}关于数的乘法构成群 x≥√2}满足戴德金分割 BG={=名k∈z,k≠0Ux B.M没有最大元素，N有一个最小元素 x=m,m∈Z,m≠0}关于数的乘法构成群 C.M没有最大元素，N没有最小元素 C.实数集关于数的加法构成群 D.M有一个最大元索，N有一个最小元 D.G={m+√2n|m,n∈Z}关于数的加 素 法构成群 解：对于A,集合M={x∈Q|x<√2}， 解：对于A,若G={一1,0,1}，则对所有 N={x∈Q|x≥√2}，显然满足戴德金分割的 的a、b∈G,有a·b∈{1,0，一1}=G,满足乘 定义，A正确。对于B,取M={x∈Q|x< 法结合律，即①D成立，满足②的e为1，即②成 17