集合压轴题考法聚焦&基本不等式的八大应用-《中学生数理化》高一数学2025年9月刊

中学生表理化贺腿被华与折层车9月 集合压轴题考法聚焦 ■李赛花 考法一：集合的子集、真子集及参数问题 例1设集合A={r1,r2,…,rn}三{2， 3,4,…,36,37}(n≥2，n∈N),且A中任意两 数之和不能被5整除，则n的最大值为。 解：根据除以5的余数，可将集合A分 为5组： A。={5,10,15,20,25,30,35},则 card(A。)=7。 A1={6,11,16,21,26,31,36},则 card(A,)=7。 A2={2,7,12,17,22,27,32,37},则 card(A2)=8。 Ag={3,8,13,18,23,28,33},则 card(A3)=7。 A1={4,9,14,19,24,29,34},则 card(A,)=7。 因为A中的任意两个数之和不能被5 整除，所以A1和A1,A2和A3中不能同时取 数，且A。中最多取一个，所以最多的取法是 取A1,A,中的所有元素和A。中的一个元 素，可得card(A)max=7十8十1=16。故n的 最大值为16。 点睛：两数之和能被5整除，则这两数分 别除以5的余数之和能被5整除。 考法二：集合的交集、并集、补集运算及 参数问题 例2设集合P={x|一2<x<3},集合 Q={x|3a<x≤a十1}。 (1)若Q二P,求实数a的取值范围固。 (2)若P∩Q=心，求实数a的取值范围固。 解：(1)当Q=⑦时，由3a≥a十1，解得 a≥2，满足题意，当Q≠②时，由Q二P,可 1 3a≥-2， 得a+1<,解得-号≤a<2 3a<a+1, 12 综上所述，实数a的取值范围为 2 +o∞) (2)当Q=必时，由3a≥a十1，解得a≥ 2,满足题意：当Q≠⑦时，由P∩Q=②，可 得+1≤-2， 3a≥3， 或 解得a≤一3。 l3a<a+1l3a<a+1, 综上所述，实数a的取值范围为（一∞， -3u[2,+). 点晴：解答本题的关键是对Q=⑦和 Q≠必这两种情况进行讨论。 考法三：集合中的新定义问题 例3定义集合P={x|a≤x≤b}的“长 度”是b一a,其中a,b∈R。已如集合M= 且M,N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，则 集合M∩N的“长度”的最小值是一。 m≥1， 解：由题意得 1 解得1≤m≤ m+2≤2， 之。由题意得 号”解得≤ 8 n2, 要使M∩N的“长度”最小，只有当m取 最小值、n取最大值或m取最大值、n取最小 值时才成立。 当m=1,n=2时，MnN={女号≤ x≤受引则长度“为受一号-：当m=是， 371 n= 时，MnN-{女≤r<},则“长 度“为号多品 故集合M∩N的“长度”的最小值是O 点晴：解答本题的关键是充分理解“长 度”的定义，根据交集、并集的含义得到不等 式组，再结合分类讨论思想求解。 作者单位：福建省晋江市季延中学 (责任编辑王琼霞) 青一数华识结的军析贤中学生款理化 基本不等式的八大应用 ■杨开亮 一、求最值 例1若a>0,b>0,且ab=a十b十3， 是所以，又因为+古品，所 则ab的最小值为( ）。 以u<√ab。故a<v<√ab。应选A。 A.9B.-9C.3 D.-3 评注：利用基本不等式解题的关键是弄 解：由ab=a十b十3≥2√ab十3，可得 清基本不等式成立时取等号的条件。 ab-2√ab-3≥0，解得√ab≥3或√ab≤ 四、利用基本不等式解决恒成立问题 一1（舍去），所以ab≥9，当且仅当a=b=3 例4已知a>0,b>0,若不等式2 6 时取等号，即ab的最小值为9。应选A。 评注：应用基本不等式求最值要满足三 ≥2a十6恒成立，则m的最大值等于(） 个条件，即“一正，二定，三相等”，忽略某个条 A.10B.9C.8D.7 件，就容易出错。 解：因为a>0,b>0,所以2a十b>0。要 二、求参数的值 ,1 777 贫2当x>a时，2x十，。的最小值 使名大6≥20b恒成立，只需m≤(2a 为10，则a=()。 6(层+云)恒成立。面(2a+6)(层+公) A.1B.√2C.2√2 D.4 解：因为x>a,所以x一a>0,所以 4+2+经+1≥5+2，√会×曾 =5十4=9， 2x+8 =2(x-a)+。 当且仅当a=b时等号成立，所以m≤9，即m x-a +2a≥ 的最大值等于9。应选B。 2√2(x-a)×,8+2a=8+2a,当且仅当 评注：若a>f(x)恒成立，则a x-a f(x)mx;若a<f(x)恒成立，则a<f(x)nim。 2(x-a)= 8一时取等号，所以8十2a=10, 五、利用基本不等式解决能成立问题 x- 所以a=1。应选A。 例5若正实数x,y满足x十y=1,且 不等式十<1+号 4 评注：本题不能直接利用基本不等式求 m有解，则实数m 最值，需要凑项求最值。 的取值范围是一。 三、利用基本不等式比较大小 解：因为正实数x,y满足x十y=1,所以 例3小王从甲地到乙地往返的时速分 别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v, 则()。 A.a<u<√ab B.v=Vab C.Vab<v<atb 2 D.u=a十b 2 (6+2兴×)=当且仅当 y 解：设甲、乙两地的距离为s,则v= 1 4yx+1 2s 2 因为a<6所以+ x+1y'即 x十1=2'也即 3 时 x+y=1, x+y=1, y=3 13 中学生表理化架识错掉与辆赞年0月 等号成立，所以，1十子的最小值为2。 4 因为不等式+<1十之m有解 所以1+n>2,解得m>名，即实数m的 3 7 取值范围是（仔，+∞） 评注：若a>f(x)能成立，则a> f(x)mm:若a<f(x)能成立，则a<f(x)mx。 六、无附加条件的不等式证明 例6已知a,b,c都是正数，求证：a+ b+c-√ab-√bc-√ac≥0. 证明：因为a,b,c都是正数，所以a十 b≥2√ab,b+c≥2√bc,a+c≥2ac,所以 a+b+b+c+a+c≥2（√ab+√bc+ac), 所以a+b+c≥√ab十√bc+√ac,即a+ b十c一√ab-√bc-√ac≥0，当且仅当a= b=c时等号成立，所以a十b十c一ab √bc-√ac≥0成立。 评注：抓住题中表达式具有的轮换对称 关系，利用表达式的相加即可得解。 七、有附加条件的不等式证明 例7已知a>0,b>0,c>0,且a十b+ c=1,求证：（日-）（分-1）（日-1）≥8。 证明：因为a>0,b>0,c>0,且a十b+ c=1,所以1-1=1-a=b+c≥2b a a 同理可得，名-1≥2，-1≥ 2 ab 上述三个不等式两边均为正值，分别相 乘可得.（日-（合-）（但-）≥2瓜· 2ac.2√ 6 2=8,当且仅当a=b=c=3时 等号成立，所以（日-1（分-1）（任-1）≥8。 评注：从所证不等式和已知条件出发，借 助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理， 最后转化为所求证的问题，其特征是以“已 14 知”看“可知”，逐步推向“未知”。 八、利用基本不等式解决实际问题 例8某商场预计全年分批购入每台 2000元的电视机共3600台。每批都购人x 台(x是自然数)且每批均需付运费400元。 贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每 批购人电视机的总价值（不含运费）成正比。 若每批购入400台，则全年需用去运输和保 管总费用43600元。现在全年只有24000 元资金可以支付这笔费用，则每批购人 台，使资金够用。 解：设总费用为y元(y>0),且将题中 的正比例函数的比例系数设为k,则y= 3600×400十k(2000x)。 x 依题设条件可得，当x=400时，y= 43600,可得k=0.05,所以y=1440000+ 100x≥2N 1440000 ×100x=24000(元)， x 当且仅当1440000 =100.x,即x=120时取 等号。所以只需每批购入120台，可使资金 够用。 评注：利用基本不等式解决实际问题，要 注意题中宇母的取值范围。 感悟 函数f(x)=+3r十3(x≥1)的最小 x十1 值是 提示：令x十1=t(t≥2)，则x=t一1，所 以原函数等价于函数g()=十1十1=1十 t 十1(t≥2)。由对钩函数的性质知函数 t g(t)在[2，十∞)上单调递增，所以当t=2, 即x=1时函数g()取得最小值子，所以函 数f(x)的最小值为 7 作者单位：湖北省巴东县第三高级中学 (责任编辑王琼霞)