集合与常用逻辑用语中的参数问题的求解策略&子集题型例讲-《中学生数理化》高一数学2025年9月刊

中学生教理化高”数学025年9月 知识结构与拓展 集合与常用褐辑用语中的参数问题的隶解第略 ■任俊亚 题型一：由元素与集合的关系求参数的值 是( x-a、 例1已知集合A={x∈R2x+0: A.-8 B.- C.0 D.4 若3∈A,且一1庄A,则a的取值范围 为()。 解：由>0，可得x<一4成x>1 A.a<3 B.a≤-1 因为之十4 C.a≤3 一1>0是k<x<k十2的必要不充分条 D.-1a3 3-a」 件，所以k十2≤一4或k≥1，解得k≤一6或 解：因为3∈A且-1A,所以6+>0 k≥1，即实数k的取值范围为（一∞，一6]U 且号+≤0，解得a<-1.应溢B, [1,十∞)。选项A、D符合题意。应选AD。 策略：利用充分必要条件求参数的关键 策略：利用集合元素的确定性求参数的 是巧用转化，即把充分条件、必要条件转化为 值时，要注意集合元素的互异性的检验。 集合之间的关系，然后根据集合之间的关系 题型二：根据集合运算的结果确定参数 列出关于参数的不等式求解。 的取值范围 题型四：根据全称（存在）量词命题的真 例2已知集合A={x|x2-2x一3> 假求参数的取值范围 0},B={x|(x-a)(x+2)<0},若AUB R,则a的取值范固为( )。 例4已知命题“1x∈[1,4]，e- x A.(3,+∞) B.[3,+∞) m≥0”为真命题，则实数m的取值范围 C.(-1,3) D.(-∞，-1) 为()。 解：由x2一2x-3>0,解得x<-1或 A.(-∞，e-2] 1 x>3,所以A={x|x<-1或x>3}。 B.（-o∞，e- 2 已知(x-a)(x十2)<0，当a=一2时， C.[e一2，十∞) D.e 不等式的解集为⑦，不满足AUB=R,舍去； ,+) 当a<-2时，解得a<x<-2,即B={x 解：因为命题“Hx∈[1,4]，e*一 2 x a<x<-2},不满足AUB=R,舍去；当a> m≥0”为真命题，所以Hx∈[1,4]，m≤e -2时，解得一2<x<a,即B={x|一2< x<a},要使AUB=R,需满足a>3。 兰恒成立。 综上可得，a的取值范围为(3，十∞)。 应选A。 令函数fx)=e-2x∈[1，.因为 策略：根据集合运算的结果确定参数的 y=e与y=一2在[1,4们上均为增函数，所 取值范围固的关键是根据集合端点间的关系列 x 出不等式求解。 以函数f(x)为增函数。所以当x=1时， 题型三：利用充分必要条件求参数的取 f(x)有最小值e一2，则m≤e一2。应选A。 值范围 策略：解决此类问题，也可以通过构造函 （多选题)若“十>0”是“ 数，利用数形结合法求参数的取值范围。 例3 作者单位：安徽省六安中学 x<k十2”的必要不充分条件，则实数k可以 (责任编辑王琼霞) 10 高一数识施的氧新骨中学生表理化 一、判断集合间的关系 例1(1)已知集合M={x|-1<x< 6},N={x|2<x<3},则()。 A.M∈N B.MN 子集题型例讲 C.M=N D.NM (2)集合M={x|x=2n-1,n∈N”}, N={x|x=2n+1,n∈N"},则集合M与N ■廖子宜 的关系为。 解：(1)集合M={x|-1<x<6},N= {x|2<x<3},M,N两个数集之间应是包含 Q的子集个数为2=64。 关系，不是属于关系，A不正确。由条件得 点睛：若集合A中含有n个元素，则A N二M,且M≠N,B、C错误，D正确。应选D。 的子集个数为2”，A的非空子集个数为2” (2)(方法1)易知两个集合的元素都是 1个，A的真子集个数为2”一1，A的非空真 正奇数。因为n∈N”,所以集合M含元素 子集个数为2”一2。 “1”,集合N不含元素“1”，所以N手M。 四、求参数 (方法2)由列举法知集合M={1,3,5, 例4(1)设集合A={0,-a},B={1, 7,…},N={3,5,7,9,…},所以N手M。 a-2,2a-2},若A三B,则a=()。 点睛：判断集合关系的三种常用方法：观 察法，元素特征法，数形结合法。 A.2 B.1 c号 D.-1 二、求集合 (2)已知集合A={x|x一a|=4},B= 例2若集合P={0,1},则集合M= 1,2,b},对于任意实数b都有A二B, {AA二P}可用列举法表示为()。 则()。 A.{0,1} A.a=0 B.a=2 B.{⑦，0,1} C.a=4 D.a的值不存在 C.{,{0},{1}} 解：(1)由题意得0∈B。因为B={1, D.{,{0},(1},{0,1} a-2,2a-2},所以a-2=0或2a-2=0。 解：因为A三P,所以A=⑦或A={0》 ①当a-2=0时，a=2,此时A={0,-2}, 或A={1}或A={0,1},所以M={A1A三 B={1,0,2},不满足A三B,舍去。②当 P}={⑦，{0}，{1}，{0,1}}。应选D。 2a-2=0时，a=1,此时A={0,-1},B= 点睛：题中集合M中的元素是集合，集 {1,-1,0},满足A二B。 合A、P中的元素是实数。 综上所述，a=1。应选B。 三、求集合的个数 (2)若对任意的实数b都有A三B,则当且 例3(1)已知集合A={0,1,2,3,4,5, 仅当1和2也是A中的元素时才有可能成立。 6},则集合A的子集的个数为()。 因为集合A={a一4，a十4}，所以 A.6B.32C.64D.128 /a-4=1,a-4=2, (2)集合P={3,4,5},Q={6,7},定义 或 显然方程组无解，所 a+4=2 a+4=1,1 P￥Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P*Q的 以这样的实数a不存在。应选D。 子集个数为一。 点睛：由集合间的关系求参数时，不能忽 解：(1)因为集合A中有7个元素，所以 视空集的情形；当集合中含有参数时，一般需 集合A的子集的个数为2？=128。应选D。 要分类讨论。 (2)集合P￥Q的元素为(3,6)，(3,7)， 作者单位：福建省泉州外国语学校 (4,6),(4,7),(5,6),(5,7),共6个，故P (责任编辑王琼霞) 11