充要条件中的数学思想-《中学生数理化》高一数学2025年9月刊

中学生数理化贺皱黎与拓供车9月 完要条性中的数学思想 ■何静芳 数学思想是数学的精髓，是知识转化为 个负实根的充分条件是b≥2。 能力及解决数学问题的桥梁。为了提高同学 (必要性)由方程x2十bx十1=0有两个 们的数学思维能力，下面举例说明充要条件 负实根x1,x2,且x1x2=1,可得△=b2一4≥ 中的数学思想，供大家学习与参考。 0且x1十x2=一b<0,所以b≥2，所以方程 一、函数与方程思想 x2十bx十1=0有两个负实根的必要条件是 函数与方程思想是通过建立函数与方程 b≥2。 的关系，把所研究的问题转化为讨论函数与 综上可得，方程x2十bx十1=0有两个负 方程的有关性质，从而达到解决问题的目的。 实根的充要条件是b≥2。 例1求证：关于x的方程x十bx十1= 点评：证明充要条件关键是要弄清充分 0有两个负实根的充要条件是b≥2。 性是由条件推结论，必要性是由结论推条件。 证明：（充分性）由b≥2，可得△=b2 二、转化与化归思想 4≥0，可知方程x2十bx十1=0有实根。设两 转化与化归思想是在遇到一些直接求解 根分别为x1,x2,由一元二次方程根与系数 较为困难的问题时，通过观察、分析、类比、联 的关系得x1x2=1>0,所以两根x1,x2同 想等思维过程，将原问题转化为一个新问题 号。由x1十x2=一b≤一2<0，可得两根x1, (相对来说，比较熟悉的问题)，通过求解新问 x2均为负数，所以方程x2十bx十1=0有两 题，达到解决原问题的目的。 A∩B=B时，一定要注意B为空集的情况， 五、数形结合思想的运用 否则容易造成错解。 例5已知集合A={x|x>5或x< 四、等价转化思想的运用 -1},B={x|a<x<a十8}，若AUB=R,则 例4设集合U={(x,y)|x∈R,y∈ 实数a的取值集合是()。 R},A={(x,y)|2x+y-m>0},B={(x, A.{a|-3<a<-1}B.{a|1<a<2} y)|x-y-n≤0}，点P(2,3)∈A∩(CB), C.{a|-3≤a≤-1}D.{a|1a≤2} 求m,n的取值范围。 解：由题意画出数轴，如图1所示。 解：点P(2,3)∈A∩(CB)等价于点 P(2,3)∈A且点P(2,3)∈CB,即点P(2, a-1012345a+8 3)∈A且点P(2,3)庄B。 图1 将点P(2,3)代入2x十y一m>0,可得 m7。 要使AUB=R,需满足 a+8>5·解得 a<-1, 由CB={(x,y)|x-y一n>0},可将点 3<a<-1。应选A。 P(2,3)代入x-y-n>0,解得n<-1。 评注：数轴是求解集合问题的直观工具， 故m,n的取值范围分别为（一∞，7）， 对于涉及含参数不等式的集合问题，常常借 (-o∞，-1)。 助数轴来解快。 评注：若先求出集合A∩(CB),再将点 作者单位：辽宁省大连市瓦房店市实验 P(2,3)代人，则解题显然受阻。这里运用等 高级中学 价转化思想解题，但要注意转化的等价性。 (责任编辑王琼霞) 离-数学2军哲屑中学生教理化 知识结构与拓展 例2已知命题p:a2-b2+2a-4b- 定义直观求解。 3≠0，命题q:a一b≠1，则p是q的( )。 四、分类讨论思想 A.充分不必要条件 利用分类讨论思想解题的关键是依据同 B.必要不充分条件 一标准分类，且做到不重不漏。 C.充要条件 例4求方程a.x2十2x十1=0至少有一 D.既不充分也不必要条件 个负实根的充要条件。 解：若直接判断“a2一b2十2a一4b一3≠ 解：当a=0时，原方程为一元一次方程， 0”是“a一b≠1”的什么条件，则思维受阻。因 为原命题和它的逆否命题是等价命题，所以 其负实根为x=了符合要求。 所求问题等价于判断“a一b=1”是“a2一b2十 当a卡0时，原方程为一元二次方程，它 2a一4b一3=0”的什么条件。 有实根的充要条件是△≥0，即4一4a≥0，可 由a-b=1,可得a2-b2+2a-4b-3= 得a1。设方程ax2十2x十1=0的两根分 (a+b)(a-b)+2(a-b)-2b-3=a+b 2-2b-3=a-b-1=0。但当a=1,b=-4 别为则十一子 方程ax2十2x十1=0只有一个负实根 时，a2-b2十2a-4b-3=0,a-b≠1。所以 a1, “a一b=1”是“a2-b2十2a-4b-3=0”的充 的充要条件是1。解得a<0;方程a.x十 分不必要条件，即“a2一b2十2a一4b一3≠0” 0, \a 是“a一b≠1”的充分不必要条件。应选A。 2x十1=0有两个负实根的充要条件是 点评：解答本题的关键是利用原命题和 a1, 它的逆否命题是等价命题进行转化求解。 三、数形结合思想 <0,解得0<a≤1。 数形结合思想的实质是代数问题与图形 >0, 之间的相互转化，它可以使代数问题几何化， a 也可以使几何问题代数化。 综上可得，方程a.x2十2x十1=0至少有 例3已知甲、乙、丙三个条件，其中甲 一个负实根的充要条件是a1。 是乙的必要条件，丙是乙的充分不必要条件， 点评：方程a.x2十2x十1=0(a≠0)至少 那么丙是甲的()。 有一个负实根包含两种情况：只有一个负实 A.充分不必要条件 根；两个根都为负实根。 B.必要不充分条件 C.充要条件 感杯号限骨 D.既不充分也不必要条件 王昌龄的《从军行》中有两句诗“黄沙百 解：根据题意，画出甲、乙、丙三个条件的 战穿金甲，不破楼兰终不还”，则“攻破楼兰” 递推关系，如图1所示。 是“返回家乡”的(）。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 提示：“不破楼兰终不还”的等价命题为 图1 “若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰” 由图可知，丙能推出甲，但甲不能推出 是“返回家乡”的必要条件。应选B。 丙，所以丙是甲的充分不必要条件。应选A。 作者单位：江苏省怀仁中学 点评：解答本题的关键是依据图形，结合 (责任编辑王琼霞) 9