利用充分必要条件求参数的值(范围)&集合问题常见求解思路点拨-《中学生数理化》高一数学2025年9月刊

知识结构与拓展 中学生数理化高数学2025年9月 利用充分必要条件求参数的值（范围） ■杜海洋 题型1：利用充分不必要条件求参数 例1已知集合A={x|2一a≤x≤2十 评注：若p→g为真，则p是q的充分条 a},B={xlx≤1或x≥4}。 件；若q→p为真，则p是q的必要条件。 (1)当a=3时，求A∩B。 题型3：利用充要条件求参数 (2)若a>0,且“x∈A”是“x∈CRB”的 例3设集合A={x|x2十3.x十2=0}， 充分不必要条件，求实数a的取值范围。 B={x|x2+(m+1)x+m=0}。 解：(1)当a=3时，集合A={x2一a (1)用列举法表示集合A。 x2十a}={x|-1≤x5}。 (2)若x∈B是x∈A的充要条件，求实 因为集合B={x|x1或x≥4}，所以 数m的值。 A∩B={x|-1x≤1或4≤x5}。 解：(1)集合A={x|x2十3x+2=0}= (2)由集合B={x|x≤1或x≥4}，可得 {-1,-2},即A={-1,-2}。 CRB={x|1<x<4}。 (2)A={-1,-2},B={x|x2十(m十 因为集合A={x|2-a≤x≤2十a}(a> 1)x十m=0}={x|(x十1)(x十m)=0}= 0),且“x∈A”是“x∈CRB”的充分不必要条 {一1，一m}。若x∈B是x∈A的充要条件， 2-a>1, 则A=B,所以-m=一2，即m=2。 件，所以A三CB,所以 2十a4,解得0< 评注：命题p对应集合M,命题q对应 a>0, 集合N,p是q的充分条件台M二N,p是q a<1,所以实数a的取值范围是(0,1)。 的必要条件台M三N,p是q的充要条件曰 评注：根据题意把所求问题转化为A二 M-N CRB,再利用集合之间的包含关系，列出不等 式即可得解。 感悟身K 题型2：利用必要不充分条件求参数 (多选题)已知命题p:Hx∈R,ax2 例2关于x的一元二次方程x2十x十 ax十1>0，则命题p成立的一个充分不必要 m=0有实数解的一个必要不充分条件 条件可以是()。 是( )。 A.a∈[0,4) B.a∈(4，十∞) A.m<2 .1 B.ms C.a∈(0,4) D.a∈[1,4) 4 提示：ax2一ax十1>0恒成立，当a=0 C.m<-2 1 D.n< 时，则1>0，不等式成立。当a≠0时，由 a0, 解：因为一元二次方程x2十x十m=0有 解得0<a<4。综上可得， △=a2-4a0, 实根，所以△-1-4m≥0，解得m≤子 又 0≤a<4。 命题饣成立的一个充分不必要条件是 (-0,是(-○，)的真子集，所以 {a|0≤a<4}的真子集，则C、D满足。应选 (-0,2)”是(-，门”的一个必要不充 CD。 作者单位：成都经济技术开发区实验中学校 分条件。应选A。 (责任编辑王琼霞) 高一数识施的氧钙骨中学生教理化 一、认清集合的代表元素 例1(1)Ha∈N”,且a≥2，集合A= 集合问题常见 (yly=a",xEN),B=(yly=(a+1)x+ b,x∈N“},试问在区间[1，a]上是否存在实 数b,使C=A∩B≠心。若存在，求出b的 求解思路点拨 一切可能的取值及相应的集合C;若不存在， 请说明理由。 ■李媛 (2)Ha∈N”,且a≥2，集合A={yy= 质，再进行集合的运算。 a,x∈N"},B={(x,y)|y=(a+1)x+b, 二、重视集合元素的互异性 x∈N“},试问在区间[1，a]上是否存在实数 例2已知集合A={0,a},B={一a3, b,使C=A∩B≠心。若存在，求出b的一切 a5,a2-1},且A三B,求a的值。 可能的取值及相应的集合C;若不存在，请说 解：由集合元素的互异性知a≠0，所以 明理由。 -a3≠0，a5≠0。 解：(1)集合A和B的代表元素不同，但 因为A二B,所以a2一1=0，可得a=士1。 它们都是数集，可以进行集合运算。 当a=1时，A={0,1},B={1,0,一1}， 假设存在实数b∈[1，a],使C=A∩ 满足A二B;当a=一1时，A={0,一1}，B= B≠⑦。 1,0,一1}，满足A二B。 设m∈C,则m∈A且m∈B。又设m= 综上可知，a=士1。 a'(t∈N“),m=(a十1)s十b(s∈N”),则 评注：集合中的元素有三个特性，即无序 2=(a+1Ds+b,所以s二&十7(Cs∈N) 性、确定性和互异性。同学们要注意集合元 因为a、t、s∈N“,且a≥2，所以a‘一b能被 素的三个特性，特别是集合元素的互异性。 三、重视空集的特殊性 a十1整除。 例3设集合A={x|x2-3x十2=0}， ①当t=1时，s=a-b N"。 a+1 B={x2x2-ax十2=0}，若AUB=A,求a 的值组成的集合。 ②当t=2nCn∈N”)时，s一a十1，当且 解：由A={x|x2-3.x十2=0}，可得 仅当b=1时，使得a一b=a-1=(a" A={1,2}。由AUB=A,可得B三A。 1)(a"十1)能被a十1整除：当t=2n十1(n∈ 当B=⑦时，由△=a2一8<0，可得 ala"B) 一4<a<4,符合题意； a+78,当且仅当幺=1，即 a N”)时，s= 当1∈B时，由2x2-a.x+2=0,可得 a 4一a=0,即a=4,此时方程的解为x=1,符 b=a时，使得a‘-b=a(am-1)=a(a” 合题意； 1)(a"十1)能被a十1整除。 当2∈B时，由2x2-ax十2=0，可得 综上可知，在[1，a]上存在实数b,使 10一2a=0,即a=5,此时方程的解为x=2 C=A∩B≠⑦成立。当b=1时，C={y| y=a2x,x∈N”};当b=a时，C={y|y= 或x=,不符合题意。 a2r+1,x∈N”}。 4一a=0, 当1∈B且2∈B时，则{ 此 (2)因为集合A是一个数集，集合B是一 10-2a=0, 个点集，这两个集合无公共元素，所以A∩ 时无解。 B=⑦，所以不存在实数b,使C=A∩B≠⑦。 综上可得，a的值组成的集合为{a|一4 评注：解决集合运算问题，先看集合的代 <a≤4}。 表元素，根据它们的共同特征确定集合的本 评注：对于集合问题，当AUB=A或