集合与常用逻辑用语题型赏析&例说交集的应用-《中学生数理化》高一数学2025年9月刊

青一数华识结的军析骨中学生款理化 集合与常用逻辑用语题型赏析 ■陈敏 集合与常用逻辑用语是高中数学的基础 知识，下面通过典型例题，帮助同学们深入理 a≥一子则一子<a<0,②当a=0时，B= 解集合与常用逻辑用语的有关知识。 {x|ax十1≤0}=☑，满足B三A。③当a>0 一、含参数的集合运算 时，B=zax十10)={≤-}，由 例1在①B∩CRA=必，②CRBUA= R,③CRA三CRB这三个条件中任选一个补 B二A,可得一1<一1，解得a<1,则0< 充到下面的问题中，并解答。 a1。 问题：已知集合A={x∈R|(x一1)(x +2)>0},B={x∈R|y=√x+a,y∈R}。 缘上所述，实数a∈[合小 (1)当a=1时，求A∩CB。 三、全称量词命题与存在量词命题 (2)若，求实数a的取值范围。 例3（多选题）下列说法正确的 解：(1)由(x-1)(x十2)>0，解得x 是()。 -2或x>1,所以A={x|x<-2或x>1}。 A.命题“3x。∈R,x8≤2”的否定是 当a=1时，可得B={x∈Ry= “Hx∈R,x2>2” √x十I,y∈R}={x|x≥-1}，所以CRB= B.存在x。∈Q,使得2x十x。十1=0是 {xx<-1},所以A∩CRB={x|x<-2}。 真命题 (2)集合A={x|x<-2或x>1},B= C.若命题“3xo∈R,4x8十2x0十n=0” {x|x≥-a}。 为假命题，则实数n的取值范围是（仔，十∞）】 选择①。由A={x|x<一2或x>1}, D.已知集合A={0,1,3,4},则满足条 可得CRA={x|-2≤x≤1}。要使B∩ 件AUB=B的集合B的个数为15 CRA=必，需满足一a>1,解得a<一1，所以 解：命题“3x。∈R,x≤2”的否定是 实数a的取值范围为（一∞，一1）。 “Hx∈R,x2>2”,A正确。由△=1-8 选择②。由CRBUA=R,可得B三A, 所以一a>1,解得a<一1，所以实数a的取 一7<0，可知方程2x2十x十1=0无实数解， 值范围为（一∞，一1）。 也无有理数解，即存在x。∈Q,使得2x十 x。十1=0是假命题，B错误。若命题 选择③。由CRA三CRB,可得B三A,所 以一a>1,解得a<一1，所以实数a的取值 “3xo∈R,4x十2x0十n=0”为假命题，则命 范围为（一∞，一1）。 题“x∈R,4x2十2x十n≠0”为真命题，即 二、充分条件与必要条件 4x2+2x十n=0无实数解，则△=4一16n 例2已知p:x∈A={x|x<-1或 0,解得n>4,C正确。因为AUB=B,所 x≥3}，q:x∈B={x|ax+1≤0}，若p是q 以A三B。又因为A={0,1,3,4},所以满足 的必要条件，则实数a的取值范围是。 条件的集合B有无数个，只要集合B至少包 解：由题意知B三A。下面分三种情况 含0,1,3,4四个元素都符合题意，D错误。 进行讨论。 应选AC。 ①当a<0时，B={x|ax+1≤0}= 作者单位：江苏省无锡市第六高级中学 ≥-}由B=A,可得一日≥8，解得 (责任编辑王琼霞) 3 中学生数理化贺皱黎与拓供车9月 三、求集合中元素的个数 例说交集的 例3已知集合A={2,一3}，集合B满 足B∩A=B,则符合条件的集合B的个数 是()。 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由B∩A=B,可得B二A,所以B 是A的子集，所以符合条件的集合B一共有 ■刘佳玲 4个：必，{2}，{一3}，{2，一3}。应选D。 回味：注意区别B∩A=B,BUA=B, 由所有属于集合A且属于集合B的元 前者满足B二A,后者满足A二B。解题时不 素组成的集合，称为A与B的交集，即交集 能漏掉空集的情况。 是两个集合中的公共元素组成的集合。下面 四、求参数的值 举例说明交集的应用。 例4设集合A={a2,a十1，一3}，B= 一、求集合 {a-3,2a-1,a2+1},且A∩B={-3},则 例1若集合A={x∈N|1≤x10}, 实数a的值为一。 B={x∈R|x2十x一6=0}，则图1中阴影部 解析：因为A∩B={一3}，所以一3∈B。 分表示的集合为( )8 又因为a2+1≥1，所以a2十1≠一3，所以a一 3=-3或2a-1=-3。 ①若a一3=一3，则a=0,此时A={0, 1,-3},B={-3,-1,1},可得A∩B={1, 图1 一3}，这与已知A∩B={一3}矛盾，所以a= A.{2} B.{3} 0不符合题意。 C.{-3,2} D.{-2,3} ②若2a-1=-3,则a=-1,此时A= 解析：依题意得集合A={1,2,3,4,5,6, {1,0,-3},B={-4,-3,2},可得A∩B= 7,8,9,10},B={一3,2}。由交集的定义可 {一3}，满足题意。 得，图中阴影部分表示的集合为A∩B 综上可知，实数a=一1。 {2}。应选A。 回味：集合中元素含有参数时，要注意参 回味：Venn图是表示集合的一种草图， 数的取值应满足集合元素的互异性。 常用于展示不同事物群组（集合）之间的数学 五、根据两个集合的关系求参数的取值 或逻辑关系。 范围 二、根据交集求并集 例5(1)集合A={x|x2一3x+2=0}, 例2已知集合M={0,x},N={1,2}, B={x|x2-2x十a-1=0},且A∩B=B, 若M∩N={2},则MUN=()。 则实数a的取值范围为_一。 A.{0,1,2,x} B.{0,1,2} (2)已知集合A={x|2a≤x≤a十3}， C.{0,2} D.{1,2} B={x|x<-1或x>5},若A∩B=必，则 解析：因为M∩N={2},所以2∈M。 实数a的取值范围为。 而M={0,x},所以x=2,所以M={0,2}, 解析：(1)集合A={xx2一3x十2= 所以MUN={0,1,2}。应选B。 0}={1,2}。要使A∩B=B,需对集合B= 回味：并集由所有属于集合A或属于集 ☑或{1}或{2}或{1,2}分情况讨论。 合B的元素组成的集合。解题时不要混淆交 当B=必时，由△=(-2)2-4(a-1)< 集与并集的定义。 0,解得a>2,满足题意； 高一数识施的氧新骨中学生表理化 当B=《1}时，由1一2十a一1=0，解得 程x2十(2一a)x十4=0有两个相等的实数 a=2,此时B={1},符合题意； 根，所以△=(2-a)2-16=a2-4a-12=0, 当B={2}时，由4一4十a一1=0，解得 解得a=一2或a=6,所以实数a的取值范 a=1,此时B={0,2},不符合题意； 围固为{一2,6}。 当B={1,2}时，a无解。 回味：弄清集合元素的特征是解题的关 综上所述，a≥2，即a∈[2，十∞)。 键，本题中的集合元素是点的坐标。 (2)要使A∩B=必，需对A=必或A≠ 七、与交集有关的数学文化问题 必分情况讨论。 例7（多选题）中国古代重要的数学著 若A=必，则2a>a十3，即a>3,此时 作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数， 满足A∩B=必。 三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之， 若A≠⑦，结合题意画出数轴，如图2所 剩二。问：物几何？现有如下表示：已知A= 示。 {x|x=3n+2,n∈N},B={x|x=5n十3， B n∈N"},C={xx=7n+2,n∈N"},若x∈ 2a a+35 (A∩B∩C),则下列选项中符合题意的整数 图2 x可以为( ）。 A.9 B.23 2a≥-1， 要使A∩B=必，需满足{a十3≤5，解 C.128 D.233 2a≤a+3, 解析：对于A,9=3×3,则9庄A,所以 9(A∩B∩C),A错误。对于B,23=3× 得-2≤a≤2。 7十2=2×2×5十3，满足集合A,B,C的描 综上所述，a的取值范围是 述，则23∈(A∩B∩C),B正确。对于C, 128=3×3×2×7+2=5×25+3,满足集合 a≤2或a>3}。 A,B,C的描述，则128∈(A∩B∩C),C正 确。对于D,233=7×3×11十2=5×46十3， 回味：利用数轴求解集合问题，注意标明 满足集合A,B,C的描述，则233∈(A∩B∩ 实心点或空心点。 C),D正确。应选BCD。 六、根据两个集合中元素的个数求参数 回味：数学文化主要涉及数学时事、数学 的取值范围 名人、数学游戏、数学名著、数学命题、数学猜 例6已知集合M={(x,y)|y=x2十 想、数学图形等。熟记被除数等于商乘以除 2x+5},N={(x,y)|y=ax十1}。若M∩ N中有两个元素，则实数a的取值范围为 数加上余数是解题的关键。 ;若M∩N中仅有一个元素，则实数a 感悟与 的取值范围为一。 解析：若M∩N中有两个元素，则方程 已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集 组=x2+2x+5, 合M至少有8个子集，则实数m的最小整数 有两组解，即一元二次方 ly=ax+1 值为一。 程x2十(2一a)x十4=0有两个不相等的实 提示：一个集合有n个元素，则这个集合 数根，所以△=(2-a)2-16=a2一4a一12> 有2”个子集。因为集合M至少有8个子 0,解得a<一2或a>6,所以实数a的取值 集，所以M中至少有3个元素。又集合M= 范围为{a|a<一2或a>6}。 {x∈Z1x≤m},所以m≥3，则m的最小 若M∩N中仅有一个元素，则方程组 整数值为3。 y=x2+2x+5, 作者单位：湖北省巴东县第一高级中学 只有一组解，即一元二次方 y=ax+1 (责任编辑王琼霞) 5