例析指数型函数与对数型函数探究中的“数学思想”&例说正弦定理的八大应用-《中学生数理化》高一数学2025年7～8月刊

■朱秀芝 一、指数型函数探究中的“整体换元思想” 例1 已知函数f(x)=aax 2-2x+1(a>0, 且a≠1)。 (1)若a= 1 2 ,求f(x)在[1,4]上的最值。 (2)若f(x)在区间(2,4)上单调递增,求 实数a的取值范围。 解:(1)当a= 1 2 时,f(x)= 1 2 1 2x 2-2x+1 。 设函数g(x)= 1 2x 2-2x+1,则g(x)在 (-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递 增。因为y= 1 2 x 在 R上单调递减,所以 f(x)在(1,2]上单调递增,在[2,4)上单调递 减。因为f(1)= 2,f(2)=2,f(4)= 1 2 ,所 以当a= 1 2 ,x∈[1,4]时,f(x)max=f(2)= 2,f(x)min=f(4)= 1 2 。 (2)易 知 函 数 y=ax2 -2x+1 在 -∞, 1 a 上单调递减,在 1a,+∞ 上单调 递增。 当a>1时,因为函数y=ax 在 R上单 调递增,所以f(x)在 -∞, 1 a 上单调递减, 在 1 a ,+∞ 上单调递增。又1a<1,即a> 1,所以f(x)在区间(2,4)上单调递增,即 a>1满足题意。 当0<a<1时,函数y=ax 在 R上单调 递减,所以f(x)在 -∞, 1 a 上单调递增,在 1 a ,+∞ 上单调递减。由1a>1得0<a< 1,若需满足题意,则 1 a≥4 ,可得0<a≤ 1 4 。 故a的取值范围是 0, 1 4 ∪(1,+∞)。 二、对数型函数探究中的“分类讨论思想” 例2 已知函数f(x)=logm(x+a), g(x)=logm(2-x),m>0且m≠1。 (1)若a=4,0<m<1,解不等式f(x) <g(x)。 (2)记函数h(x)=f(x)+g(x)。 ①当a=2时,判断函数h(x)的奇偶性, 并说明理由;②当a=4时,若函数h(x)的最 小值为-1,求m 的值。 解:(1)若a=4,则函数f(x)=logm(x +4),g(x)=logm (2-x)。由 f(x)< g(x),可得logm(x+4)<logm(2-x)。 因为0<m<1,所以x+4>2-x>0,解 得-1<x<2,所以不等式f(x)<g(x)的解 集为{x|-1<x<2}。 (2)①若a=2,则h(x)=f(x)+g(x) =logm(x+2)+logm(2-x)。 由 x+2>0, 2-x>0, 可得-2<x<2,即函数 h(x)的定义域为(-2,2),且关于原点对称。 由h(-x)=logm(-x+2)+logm(2+ x)=h(x),可知函数h(x)为定义在(-2,2) 上的偶函数。 ②当a=4时,h(x)=logm(x+4)+ logm(2-x)。令 x+4>0, 2-x>0, 解得-4<x<2, 即函数h(x)的定义域为(-4,2)。易得函数 h(x)=logm(x+4)+logm(2-x)=logm[(x +4)(2-x)]=logm (-x2-2x+8)= logm[-(x+1)2+9]。由x∈(-4,2),可得 x+1∈(-3,3),所以(x+1)2∈[0,9),所以 -(x+1)2+9∈(0,9]。 已知m>0且 m≠1,可得当0<m<1 时,h(x)∈[logm9,+∞)。因为h(x)的最小 值为-1,所以logm9=-1,解得m= 1 9 。当 m>1时,h(x)∈(-∞,logm9],可知不存在 最小值,舍去。故m= 1 9 。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 王琼霞) 82 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 ■邓 川 正弦定理:在△ABC 中, a sinA= b sinB= c sinC=2R (R 为△ABC 的外接圆半径)。正 弦定理是解三角形的理论依据,解题时要灵 活运用。 一、判断三角形是否存在 例1 在△ABC 中,已知b=40,c=20, C=60°,则此三角形的解的情况是( )。 A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 解:由正弦定理 b sinB= c sinC 得sinB= bsinC c = 40sin60° 20 = 3>1 ,所以角 B 不存 在,即满足条件的三角形不存在。应选C。 回味:已知两边和一边的对角解三角形 时,可 有 两 解、一 解、无 解 三 种 情 况。在 △ABC 中,注意sinB∈(0,1]。 二、求角 例2 在△ABC 中,若a=3,b= 3, A= π 3 ,则C=( )。 A. π 2 B. π 6 C. π 4 D. π 3 解:由正弦定理得 3 sin π 3 = 3 sinB ,所以 sinB= 1 2 。又a>b,所以A>B,所以B= π 6 ,所以C=π- π3+ π 6 =π2。应选A。 回味:解三角形时,要注意三角形中大边 对大角。 三、求边长 例3 在△ABC 中,a= 5,b= 15, A=30°,则c=( )。 A.15 B.5 C.25或 5 D.15或 5 解:由 正 弦 定 理 a sinA= b sinB 得 5 1 2 = 15 sinB ,所以sinB= 3 2 。因为b>a,即B> A,所以B=60°或B=120°。 当B=60°时,C=90°,此时c=25;当B =120°时,C=30°,此时c=a=5。应选C。 回味:在三角形中,已知一个角的正弦 值,则该角的值有两种情况,需要讨论求解。 四、求三角形外接圆的半径 例4 在△ABC 中,已知a=10,B= 75°,C=60°,则△ABC 的外接圆半径R 的大 小为( )。 A.102 B.52 C.103 D.53 解:因为 A+B+C=180°,所以 A= 180°-75°-60°=45°。 由正弦定理得2R= a sinA= 10 2 2 =102, 所以R=52。应选B。 回味:熟记正弦定理是解答本题的关键。 五、求面积 例5 在△ABC 中,a=1,A=30°,C= 45°,则△ABC 的面积为( )。 A. 2 2 B. 2 4 C. 3 2 D. 3+1 4 解:由正弦定理得c= asinC sinA = 2 。 因为B=180°-30°-45°=105°,所以 92 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月 sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+ cos60°sin45°= 6+ 2 4 ,所 以 S△ABC = 1 2acsinB= 1 2acsin105°= 3+1 4 。应选D。 回味:对于三角形的面积S= 1 2absinC = 1 2acsinB= 1 2bcsinA ,一般是已知哪个角 就使用哪个公式。 六、判断三角形的形状 例6 在△ABC 中,若 a cosA= b cosB= c cosC ,则△ABC 是( )。 A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 解:由 正 弦 定 理 得 a=2RsinA,b= 2RsinB,c=2RsinC(R 为△ABC 的外接圆 半 径),所 以 sinA cosA = sinB cosB = sinC cosC ,即 tanA=tanB=tanC,所以A=B=C,所以 △ABC 是等边三角形。应选B。 回味:解答本题的关键是利用正切函数 的性质确定三个角的大小关系。 七、求最值或范围 例7 在△ABC 中,若sinC=2sinB· cosB,且 B∈ π6 ,π 4 ,则cb 的 取 值 范 围 为( )。 A.(2,3) B.(3,2) C.(0,2) D.(2,2) 解:由 正 弦 定 理 得 c b = sinC sinB = 2sinBcosB sinB =2cosB 。由π 6<B< π 4 ,可知 余弦函数在 π 6 ,π 4 上是减函数,所以 22 < cosB< 3 2 ,所以c b∈ (2,3)。应选A。 回味:解答本题的关键是把c b 表示为角 B 的三角函数,再利用余弦函数y=cosx 的 性质求解。 八、正弦定理与余弦定理的结合应用 例8 在△ABC 中,∠ABC= π 4 ,AB= 2,BC=3,则sin∠BAC=( )。 A. 10 10 B. 10 5 C. 3 10 10 D. 5 5 解:在△ABC 中,由余弦定理得 AC2= AB2+BC2-2AB·BC·cos π 4=2+9-2× 2×3× 2 2=5 ,所以AC= 5。由正弦定理 得 AC sinB= BC sinA ,所以sin∠BAC=sinA= BC·sinB AC = 3× 2 2 5 = 3 10 10 。应选C。 回味:正弦定理和余弦定理是解三角形 的有力工具,对任意角的三角形都成立。 要直接测量河岸之间的距离(河的两岸 可视为平行),由于受地理条件和测量工具的 限制,可采用如下办法:如图1所示,在河的 一岸边选取A、B 两点,观察对岸的点C,测 得∠CAB =45°,∠CBA =75°,且 AB = 120m,由此可得河宽约为=( )。 图1 A.170m B.98m C.95m D.86m 提 示:由 AB =120,∠CAB =45°, ∠CBA=75°,可得∠ACB=60°。由正弦定 理得BC=406。设AB 边上的高为h,则h 即为河宽,所以h=BC·sin∠CBA=406 ×sin75°≈95(m)。应选C。 作者单位:重庆市黔江中学校 (责任编辑 王琼霞) 03 知识结构与拓展 高一数学 2025年7—8月