精品解析：广东省深圳市南山区前海学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

前海学校2025-2026学年第一学期开学学情调研 九年级 数学 本试卷共4页，20题，满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考场、座位号、学号和姓名填涂在答题卡和答题卷上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内． 4．考试结束后，将答题卡和答题卷交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程 配方后可变形（　　） A. B. C. D. 4. 下列说法中，不正确的是（　　） A. 两组对边分别平行四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 C. 一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 5. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　） A. 20 B. 24 C. 40 D. 48 6. 关于一元二次方程根情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 7. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点P是内一点，，且，那么的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 10. 五边形的内角和为______度． 11. 已知，是一元二次方程的两个根，则________． 12. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为______． 13. 如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连接CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为 __． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集. 15 解方程： （1）； （2）． 16. 先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值． 17. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别是，，． （1）把向右平移4个单位长度后得到对应的，请画出平移后的； （2）把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； （3）观察图形可知，与关于点________中心对称． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，，．     （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积． 19. 某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用元采购型丝绸的件数与用元采购型丝绸的件数相等，且一件型丝绸的进价比一件型丝绸的进价多元． （1）一件型、型丝绸的进价分别为多少元？ （2）若销售商购进型、型丝绸共件，其中型丝绸的件数不多于型丝绸的件数，且不少于件，设购进型丝绸件． ①求的取值范围； ②已知型丝绸的售价为元/件，型丝绸的售价为元/件，求销售这批丝绸的最大利润． 20. 探究： （1）【证法回顾】 证明：三角形中位线定理． 已知：如图1，是的中位线． 求证：，． 证明：添加辅助线：如图1，在中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接；请继续完成证明过程； （2）【问题解决】 如图2，在正方形中，为中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． （3）【拓展研究】 如图3，在四边形中，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前海学校2025-2026学年第一学期开学学情调研 九年级 数学 本试卷共4页，20题，满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考场、座位号、学号和姓名填涂在答题卡和答题卷上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内． 4．考试结束后，将答题卡和答题卷交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，解题关键是掌握轴对称图形的定义、中心对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，对四个图形逐一分析，再作出判断． 【详解】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合； 不是轴对称图形，它是中心对称图形，故B不符合； 是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合； 既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合， 故选：D． 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质：不等式的两边同加（减）同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边同乘（除）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同乘（除）同一个负数，不等号的方向改变，是解题的关键．根据不等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则：，原不等式不成立，不符合题意； B、，则：，原不等式成立，符合题意； C、，则：，原不等式不成立，不符合题意； D、，则：，原不等式不成立，不符合题意； 故选B． 3. 一元二次方程 配方后可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法，移项、将二次项系数化为1、配方即可求解． 【详解】解：， 移项：， 配方：， 即：， 故选：C． 4. 下列说法中，不正确的是（　　） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 C. 一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、菱形和正方形的判定方法进行分析可得. 【详解】A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确； B. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，正确； C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故错误； D. 有一组邻边相等的矩形是正方形，正确. 故选C. 5. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　） A. 20 B. 24 C. 40 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长． 【详解】由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO， 则AB==5， 故这个菱形的周长L=4AB=20． 故选A． 【点睛】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般． 6. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况． 先分别写出各项系数，，，再求出，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：， ，，， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系列出方程． 将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形，用表示出新矩形的长与宽，再根据“种植面积为平方米”列出方程即可． 【详解】解：设小道的宽为米， 则将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形的长为米，宽为米， 可列方程为， 故选：C． 8. 如图，在中，，，点P是内一点，，且，那么长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 如图，把绕C逆时针旋转得到，连接，可以证明、为等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，把绕C逆时针旋转得到，连接， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 10. 五边形的内角和为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，根据边形内角和公式为，把代入可求五边形内角和即可，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：五边形的内角和为：， 故答案为：． 11. 已知，是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程两个根， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，注意：若，是一元二次方程的两个根，则． 12. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先去掉分母，再把增根x=3代入即可求出m的值． 【详解】解：去分母得2x-（x-3）=-m， ∵关于x的分式方程有增根， ∴，即， 把增根x=3代入得， 解得， 故答案为：-6． 【点睛】此题主要考查分式的解，解题的关键是熟知分式方程的解法． 13. 如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连接CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为 __． 【答案】2.5 【解析】 【分析】如图，在BC上截取EG=BD，连接FG，根据SAS证明△BED≌△GFE，得FG=CG=BE，最后证明AD=2BE可得结论． 【详解】解：如图，在BC上截取EG＝BD，连接FG， ∵△ABC和△DEF是等边三角形， ∴DE＝EF，AB＝BC，∠DEF＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵∠DEC＝∠BDE+∠B＝∠DEF+∠FEG， ∴∠BDE＝∠FEG， 在△BED和△GFE中， ， ∴△BED≌△GFE（SAS）， ∴∠B＝∠EGF＝60°，BE＝FG， ∵FC平分∠ACB， ∴∠ACF＝∠ECF＝30°， ∵∠EGF＝∠GFC+∠FCG， ∴∠GFC＝∠GCF＝30°， ∴FG＝CG＝BE， ∵AB＝BC，BD＝EG， ∴AD＝BE+CG＝2BE＝5， ∴BE＝2.5 故答案为：2.5 【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形判定和性质，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形全等． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集. 【答案】，见解析. 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可. 【详解】解： 由（1）得 由（2）得 不等式组的解集为 在数轴上表示如图所示： 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解题的关键. 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，因式分解法求解一元二次方程，解题关键是掌握上述一元二次方程求解方法． （1）用公式法求解； （2）用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， 即，； 【小问2详解】 ， 移项，得， 所以， 所以或， 解得：，． 16. 先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行通分、约分是关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，结合分式有意义的条件，取，将代入化简后的式子计算求解，即可解题． 【详解】解： ， ，且， 且， 故当时， 上式． 17. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别是，，． （1）把向右平移4个单位长度后得到对应的，请画出平移后的； （2）把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； （3）观察图形可知，与关于点________中心对称． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移(作图)， 画旋转图形，画已知图形关于某点对称的图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）把向右平移4个单位长度得到； （2）分别找出关于原点的对称点，得到； （3）分别连结与，与，与，它们都相交于同一点，由此可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 观察图形可知，与关于点中心对称， 故答案为：． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，，．     （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）先证四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得AD＝BC＝CD，即可得出结论； （2）由菱形的性质和三角形面积关系得S菱形ADCE＝2S△ACD＝S△ABC，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点， ∴AD＝BC＝CD， ∴平行四边形ADCE是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形ADCE是菱形，点D是BC的中点， ∴S菱形ADCE＝2S△ACD＝S△ABC＝AB•AC＝×8×6＝24． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形ADCE为菱形是解题的关键． 19. 某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用元采购型丝绸的件数与用元采购型丝绸的件数相等，且一件型丝绸的进价比一件型丝绸的进价多元． （1）一件型、型丝绸的进价分别为多少元？ （2）若销售商购进型、型丝绸共件，其中型丝绸件数不多于型丝绸的件数，且不少于件，设购进型丝绸件． ①求的取值范围； ②已知型丝绸的售价为元/件，型丝绸的售价为元/件，求销售这批丝绸的最大利润． 【答案】（1）一件型、型丝绸的进价分别为元、元；（2）①；②销售这批丝绸的最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设一件型丝绸的进价为元，则一件A型丝绸的进价为元，然后列方程求解即可； （2）①根据题意列出不等式求解即可； ②设销售这批丝绸的利润为元，根据题意得，然后利用一次函数的性质求解即可. 【详解】解：（1）设一件型丝绸的进价为元，则一件A型丝绸的进价为元， 根据题意,得， 解得， 经检验，为原方程的解， ， 答：一件型、型丝绸的进价分别为元、元； (2)①根据题意得， 的取值围范围是； ②设销售这批丝绸的利润为元， 根据题意得， ∵， 随的增大而增大， 当时，， 答：销售这批丝绸的最大利润为元. 【点睛】本题主要考查了一次函数和分式方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 20. 探究： （1）【证法回顾】 证明：三角形中位线定理． 已知：如图1，是的中位线． 求证：，． 证明：添加辅助线：如图1，在中，延长（、分别是、中点）到点，使得，连接；请继续完成证明过程； （2）【问题解决】 如图2，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． （3）【拓展研究】 如图3，在四边形中，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△FEC≌△DEA，证明四边形BDFC是平行四边形即可． （2）取GF的中点M，连接EM，延长FE、GA，二线交于点H，证明△FED≌△HEA，得证AH=DF，EH=EF，得到EM是中位线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． （3）取GF的中点N，连接EN，延长GE到点M，使得GE=EM，连接 DM，证明△AEG≌△DEM，得证AG=DM，∠A=∠EDM=105°．过点M作MQ⊥DF，交FD的延长线于点Q，连接MF，结合∠ADF=120°，得到∠ADQ=60°，∠QDM=45°，可得△QDM是等腰直角三角形，利用勾股定理得到QM=QD=3，QF=QD+DF=5，根据勾股定理，得MF==．根据EN是三角形GMF的中位线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． 【小问1详解】 如图，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接， 因为AE=EC，∠AED=∠CEF，DE=EF， 所以△FEC≌△DEA， 所以AD=CF，∠A=∠ACF， 所以AD//CF， 因为AD=BD， 所以BD=CF，BD//CF， 所以四边形BDFC是平行四边形， 所以DE//BC，DF=2DE=BC， 故，． 【小问2详解】 如图，取GF的中点M，连接EM，延长FE、GA，二线交于点H， 因为四边形ABCD是正方形，，， 所以∠HAE=∠FDE=90°， 因为AE=ED，∠AEH=∠DEF， 所以△FED≌△HEA， 所以AH=DF，EH=EF， 所以EM是△FGH的中位线， 所以EM=， 因为， GF=2EM=5． 【小问3详解】 如图，取GF的中点N，连接EN，延长GE到点M，使得GE=EM，连接 DM， 因为AE=ED，∠GAE=∠MDE，GE=ME， 所以△AEG≌△DEM， 所以AG=DM=，∠A=∠EDM=105°． 过点M作MQ⊥DF，交FD的延长线于点Q，连接MF， 因为∠ADF=120°， 所以∠ADQ=60°，∠QDM=45°， 所以△QDM是等腰直角三角形， ∴QM2+QD2=DM2=18， 所以QM=QD=3，QF=QD+DF=5， 根据勾股定理，得MF==． 因为EN是△GMF的中位线， 所以EN=， 因为， GF=2EN=． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的证明，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握中位线定理，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $