第九讲 函数的单调性与最值题型归纳讲义-2026届高三数学一轮复习

2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第九讲 函数的单调性与最值题型归纳 知识再现 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数在区间D上单调递增，特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数在区间D上单调递减，特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 1.有关单调性的常用结论 2.函数(或)在公共定义域内与，的单调性相反. （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ③若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． ④在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. 题型一：函数单调性的定义及其应用 例1.已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 解析：对于任意两个不相等的实数，，总有成立， 等价于对于任意两个不相等的实数，总有． 所以函数一定是增函数．故选：C 例2.（多选）若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 解：由函数的单调性定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号，由此可知，选项A，B，D都正确. 若，则，故选项C不正确. 故选：ABD. 例3.下列函数中，满足“对任意，且都有”的是（    ） A． B． C． D． 解析：“对任意，，且都有”， 函数在上单调递减， 结合选项可知，A ：在单调递增，不符合题意， B：在单调递增，不符合题意， C：在单调递增，不符合题意， D：在单调递减，符合题意. 故选：D． 例4.已知． （1）证明：在（2，+∞）单调递增； （2）解不等式：． 解析：（1）∀x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则， ∵x1，x2∈[2，+∞），则x1x24＞0，x1x2＞0， 且x1﹣x2＜0， ∴0，即，∴在[2，+∞）单调递增． （2）由，即∈[2，+∞）， ∵在[2，+∞）单调递增，要使， ∴，即，解得， ∴不等式的解集为． 题型二 常见函数的单调性 例5.已知一次函数在上是在增函数，且其图象与轴的正半轴相交，则的取值范围是________. 解析： 例6.已知函数，则使得函数在区间上递减时实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析：选B 例7.已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是 A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，无最小值 D．无最大值，最小值 解析：因为函数，所以在上单调递减，则在处取得最大值，最大值为，取不到函数值，即最小值取不到.故选A. 例8.下列函数在上是减函数的为（       ） A． B． C． D． 解析：对于选项A，在上无意义，不符合题意； 对于选项B，在上是增函数，不符合题意； 对于选项C，的大致图象如图所示中，由图可知在上是减函数，符合题意； 对于选项D，在上是增函数，不符合题意．故选：C． 例9.函数的单调增区间是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 （2）（2022·广东）函数的单调递增区间是（       ） A． B． 和 C．和 D． 和 解析：（1）由， 则为偶函数，的图像关于轴对称. 当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减； 则当时，在递增，在递减， 则有的递增区间为. 故选：C （2）如图所示： 函数的单调递增区间是和．故选：B. 例10.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 因为，所以的增区间为，故选：D. 例11.函数的单调递增区间为__________. 解析：函数的定义域为，则， 令，解得，故函数的单调递增区间为.故答案为：. 变式训练 1.的单调增区间为 解析：由，得或，则函数的定义域为， 令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域内为减函数， 所以在上递增，在上递减，所以的单调增区间为， 2.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．递增区间是 B．递减区间是 C．递增区间是 D．递增区间是 解析：因为函数，作出函数的图象， 如图所示： 由图可知，递增区间是，递减区间是和．故选：D． 3.已知，则函数的单调递增区间为 . 解析：，画出函数图象，结合图象得函数的单调递增区间为.故答案为：. 4.函数的单调递增区间为____________． 解析：由题得函数定义域为， 所以在上单调递增，又，所以当时，， 故的单调递增区间为（或）．故答案为： 题型三：复合函数单调性的判断 例12.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 解析：由，得，令，则， 在上递增，在上递减， 因为在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为， 故选：A 例13.函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 解析：令，解得， 令，则， ∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增， ∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是故选：C 例14.函数的单调减区间是_______． 【答案】 解析：令，则 ∵，∴在上单调递减作出的图象 由图象可以在上单调递减，在上单调递增 ∴在上单调递增，在上单调递减故答案为：. 变式训练 1.函数的单调递增区间是（       ） A． B． C． D． 解析：，的单调递增区间是.故选：B. 2.函数的单调递增区间为 ． 解析：因为，所以所以函数的定义域为， 设，所以在上单调递减，在上单调递增， 而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为.故答案为：． 3.已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：因为函数在上单调递减， 所以 ，解得，所以a的取值范围是，故选：A 题型四：利用函数单调性求参数的范围 例15.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：由题意可知，在上为减函数，则， 函数在上为减函数，且有， 所以，，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：B. 例16.已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞）上是减函数，则实数a的取值范围是________． 解析：当a＝0时，y＝－2x＋3满足题意； 当a≠0时，则，综上得a≤0．故答案为：（－∞，0] 例17.设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是.故选：D 例18.函数在上是减函数的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 解析：在上是减函数，只需要即可， 若，则，成立； 若，则是二次函数，由二次函数的性质可得，时恒成立. 若，当和时，，故不成立. 所以，当时，，而是的充分不必要条件.故选：A. 变式训练 1.已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：因为函数在上单调，由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意， 故在R上单调递减，所以，解得：故选：D. 2.设，则“”是“函数在为减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：由题意可得为减函数，则，解得. 因为推不出，，所以“”是“函数在为减函数”的必要不充分条件，故选：B 3.函数在上单调递减，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：因为函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，则，解得.故选：A 4.函数在上单调递减，则实数的取值范围是________． 解析：①时，在R上单调递减∴满足条件； ②时， 对称轴为，解得． 由①②得，故的取值范围是．故答案为： 题型五：抽象函数的单调性 例19.已知函数是定义在区间上的减函数，若，则实数的取值范围是__． 解析：根据题意，函数是定义在区间上的减函数， 若，则有，解可得， 即的取值范围为，，故答案为：，． 例20.已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是________. 解析： 例21.已知是定义在上的减函数，对任意、，恒成立，若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 解析：因为对任意、，恒成立， 所以，， 则由，得，又是上的减函数， 所以，解得．因此，不等式的解集为.故选：B． 例22.已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 解析：由于，令得，即， 则，由于，则，即有， 由于对于，都有，则在上递减，不等式即为.则，解得或，即解集为.故选：D 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届艺术生高考数学一轮复习资料 第九讲函数的单调性与最值题型归纳 知识再现 1.函数的单调性 (①)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数fx)的定义域为1，区间DSI,如果Vx1,2∈D 当x1<x2时，都有x)≥fx,那 当X1<x2时，都有x）≤f,那么就 么就称函数f孔x)在区间D上单调 定义 称函数f八x)在区间D上单调递增，特 递减，特别地，当函数x)在它 别地，当函数f八x)在它的定义域上单 的定义域上单调递减时，我们就称 调递增时，我们就称它是增函数 它是减函数 y=f(x) V f(x2) yy=f) 图象描述 if(x )f(x2) f(x) 可12龙 X2 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=fx)在区间D上单调递增或单调递遨，那么就说函数y=fx)在这一区间具有 (严格的)单调性，区间D叫做y=fx)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (I)Vx∈I,都有fx≤M; (I)廿x∈I,都有x≥M; 条件 (2)3x∈1，使得x)=M (2)3xE1,使得x)=M 结论 M为最大值 M为最小值 1.有关单调性的常用结论 2.函数y=fx(fx)>0或fx)<0)在公共定义域内与y=-fx),y= 1 的单调性相反， f(x) (1)证明函数单调性的步骤 ①取值：设x,x是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x<x2; ②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； ③定宁：判断差的正负或商与1的大小关系； ④得出结论 (2)函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行 第1页共12页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 判断. ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性 ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写 出它们的单调区间. (3)记住几条常用的结论： ①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数； ②若)>0且)为增函数，则函数F四为增画数，为减函数； f(x) ③若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数√f(x)为减函数， 1为增函数， f(x) ④在公共定义域内，增函数十增函数=增函数，减函数十减函数=减函数；增函数一减函 数=增函数；减函数一增函数=减函数. 题型一：函数单调性的定义及其应用 例1已知函数∫(x)的定义域是R,若对于任意两个不相等的实数X1,X2,总有 f()=f>0成立，则函数∫(x一定是（） X2-X1 A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数 例2.（多选）若函数f(x)在[a,b]上是增函数，对于任意的X1,x2∈[a,b（x≠x),则下 列结论正确的是（) A.)0 B.(x-x[f(x)-f(x]>0 X1-x2 C.fa)≤f(x)<f(x)≤f(b) D.fx)≠fx2 例3.下列函数八x)中，满足“对任意xx2∈(0，+0)，且x<x都有∫(x,)>fx2)”的是() A.f(x)=x B.f0=x-C.=+-2 D.f(x)=-x3 第2页共12页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例4已知fx)=x+4 (1)证明：f(x)在(2，+o)单调递增； (2)解不等式：f(x2-2x+4)≤f(7) 题型二常见函数的单调性 例5.已知一次函数y=k+1)x+k在R上是在增函数，且其图象与x轴的正半轴相交，则 k的取值范围是 第3页共12页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例6.已知函数y=x2+(2m-2)x+3m+4,则使得函数在区间-0，-3引上递减时实数m 的取值范围是() A.-4,+0）B.-0,4] C4,+∞)D.4,+0 剑7巴如西数纠-，关定义流-84，剥下列说法三骑的足 A,小有最大值写，无流小值B。有莱大位，最小 C.时有装大位写，无小位D。四无莱大位，最小值写 例8.下列函数在-0，-1上是减函数的为（) A.f(x)=-Inx B.f(x)=-1 x+1 C.f(x)=x2-3x-4 D.f()= 例9.(1)函数∫x)=x2-2x+5的单调增区间是() A.（-0,-1和0,1B.（-o,-1和(1，+o）C.【-1,0]和[1，+0D.（-1,0)和(0,1 (2)(2022·广东)函数f(x)=x2-3x+2的单调递增区间是（) 4.[号+.[2+c.(-[32D.（*a 第4页共12页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例10.函数f(x)x-1川+|x-2|的单调递增区间是（) A.[1,+∞) B.（-o0,1] C.[1,2] D.[2,+o0) 钢1医发升)-的单泻运跨区同为 变式训练 1.y=-V√x2+2x的单调增区间为 第5页共12页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 2已知函数f(x)=-xx+2x,则下列结论正确的是（) A.递增区间是(0，+o) B.递减区间是(-0，-1) C.递增区间是(-0，-1) D.递增区间是(-1,1) 3已知∫(x=x2+2x+3,则函数f(x的单调递增区间为 4.函数f(x)=e-ln(1+x)的单调递增区间为 题型三：复合函数单调性的判断 例12.函数y=10g2(2x-x2)的单调递减区间为() A.(1,2) B.(1,2 C.(0,1) D.0,1 第6页共12页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例13.函数y=2+2的单调递增区间是() a（ B.（-0,-1] D.[-1,2] -1l 例14.函数y= 的单调减区间是 变式训练 1.函数f(x)=log1x的单调递增区间是() 3 A.（-0,+00)】 B.[1,+oo C.(0, D.0,+0 第7页共12页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 2.函数y=lg(x2-2x+3)的单调递增区间为 3.已知函数f(x)=V2-ax在[0,2]上单调递减，则a的取值范围是（) A.(0,1] B.(0,1) C.(0,2] D.[2,+0) 题型四：利用函数单调性求参数的范围 例15.已知函数f(x)= 3a-1x+3a,x<1 -x2+1,x21 在R上单调递减，则实数a的取值范围是() 8 R[) c.（xD.（+w】 例16.已知函数y=ax2-2x+3在2，十∞)上是减函数，则实数a的取值范围是 例17.设函数f(x)=2-在区间(0,1上单调递减，则a的取值范围是() A.-0,-2] B.[-2,0 C.(0,2 D.[2,+0 第8页共12页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 例18.函数f(x)=mx3-x+1在(-0，+0)上是减函数的一个充分不必要条件是() A.m<0 B.m≤0 C.m≤1 D.m<1 变式训练 3a-x,x<2 1.已知a>0,且a≠1，函数f(x)= 1og.(x-1)-1,x≥2在R上单调，则a的取值范国是() A.(1,+0) s引c[别 D. 第9页共12页 2026届艺术生高考数学一轮复习资料 2设aGR，则01”是画数f=在，+四为减高数”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分又不必要条件 3函数f(x)=ex-在(2,3)上单调递减，则t的取值范围是() A.6,+0 B.-0,6 C.-0,4] D.[4,+0) 4.函数f(x=ax2+(a-3x+1在-1，+o)上单调递减，则实数a的取值范围是 第10页共12页