3.6 三元一次方程组及其解法（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材七年级数学上册同步备课（沪科版2024）

七年级上册数学（沪科版） *3.6 三元一次方程组及其解法 第3章 一次方程与方程组 1 e7d195523061f1c0c2b73831c94a3edc981f60e396d3e182073EE1468018468A7F192AE5E5CD515B6C3125F8AF6E4EE646174E8CF0B46FD19828DCE8CDA3B3A044A74F0E769C5FA8CB87AB6FC303C8BA3785FAC64AF5424764E128FECAE4CC72932BB65C8C121A0F41C1707D94688ED66335DC6AE12288BF2055523C0C26863D2CD4AC454A29EEC183CEF0375334B579 一次方程的问题，在我国数学史上占有重要的地位.我国古代数学专著《九章算术》中，第八章的章名就叫“方程”. “方程”中的第一题： “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗. 问上、中、下禾实一秉各几何?” 导入新课 2 1 三元一次方程（组）的概念 问题1：题中有未知量？你能找出哪些等量关系？ 翻译为：现在有上等稻子 3 捆、中等稻子 2 捆、下等稻子 1 捆，总共可以打出 39 斗谷子； 上等稻子 2 捆、中等稻子 3 捆、下等稻子 1 捆，总共可以打出 34 斗谷子； 上等稻子 1 捆、中等稻子 2 捆、下等稻子 3 捆，总共可以打出 26 斗米. 问上等稻子、中等稻子和下等稻子每一秉各能打出多少斗米？” 新知探究 未知量： 每一个未知量都用一个字母表示 等量关系： (1) 3上禾＋2中禾＋下禾＝39 (2) 2上禾＋3中禾＋下禾＝34 (3) 上禾＋2中禾＋3下禾＝26 用方程表示等量关系. x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② 设上、中、下等稻子(禾)每捆(秉)可出谷子(实)分别为 x，y，z (斗)， 问题2：观察下列方程，你有什么发现？ 二元一次方程 含三个未知数 未知数的次数都是 1 含两个未知数 未知数的次数都是 1 三元一次方程 x－y＝1 x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② 因这三个数必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起. 这种由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一程组. 总结 x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② 1. 下列方程组不是三元一次方程组的是 ( ) C 判断关键：①整式方程；②共含三个未知数；③含有未知数的项的系数都是1. 总结 练一练 问题3：如何解这个方程呢？ 合作探究 可以消元求解！ 解三元一次方程组 2 x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② 能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 解：先用加减法消去 z， ① - ②，得 x＝5＋y ④ ⑤ - ⑥，得 4y＝17. 把④分别代入②③得 5y＋z＝24. ⑤ y＋z＝ 7. ⑥ 所以 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 . 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 消元 “三元” “二元” 二元一次方程组 一元一次方程 归纳总结 例1 解方程组 典例精析 x＋2y－4z＝－5. x＋y＋2z＝－15， －2x－y＋z＝－3， ① ② ③ 解：先用加减消元法消去 x. ②＋①×2，得 y＋5z＝3. ④ ③－①，得 y－6z＝－8. ⑤ ④－⑤，得 11z＝11. 下面解由④⑤联立成的二元一次方程组. z＝1. ⑥ 将⑥代入④，得 y＝－2. 将 y，z 的值代入①，得 x＝3. 所以 z＝1. x＝3， y＝－2， x＋y＋z＝－2 5x＋4y＋z＝0， 3x＋y－4z＝1， ① ② ③ 2. 解三元一次方程组： 解 ③×5－①，得 y＋z＝－10. ④ ③×3－②，得 2y＋7z＝－7. ⑤ ④×2－⑤，得 z＝－13. 将 z ＝－13 代入④，得 y＝42. 将 y＝42，z＝－13 代人③，得 x＝－31. 因此， 是原三元一次方程组的解. z＝－13 x＝－31， y＝42， 练一练 例2 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素.现有一营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含 A、B、C 三种食物，下表给出的是每份(50g)食物 A、B、C 分别所含的铁、钙和维生素的量(单位). 食物 铁 钙 维生素 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 三元一次方程组的应用 3 （1）设配餐中 A、B、C 三种食物各有 x、y、z 份，请根据题意列出方程组； （2）解该三元一次方程组，求出满足要求的 A、B、C 的份数. 解：(1)设配餐中 A，B，C 三种食物各 x，y，z 份，由题意得 ③ ① ② 由①，得 x＝7－y－2z. ④ 将④代入②③，得 解这个方程组，得 x＝2. 所以 z＝2. x＝2， y＝1， y＋3z＝7， ⑤ 2y－z＝0. ⑥ y＝1， z＝2. 将 的值代入④，得 y＝1， z＝2. 答： A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份. 3. 今年小新一家三口的岁数总和是 80 岁，爸爸比妈妈大 3 岁，妈妈的岁数恰好是小新岁数的 5 倍.问：今年爸爸、妈妈和小新分别几岁? 等量关系: (1) 爸爸年龄 + 妈妈年龄 + 小新年龄 = 80； (2) 爸爸年龄 = 妈妈年龄 + 3； (3) 妈妈年龄 = 小新年龄×5. 练一练 解：设爸爸年龄 x 岁、妈妈年龄 y 岁、小新 年龄 z 岁. 将③代入②，得 x = 5z + 3； ④ 将③④代入①，得 z = 7； 将 z = 7 代入③④得 ① ② ③ 由题意，得 例3 已知甲、乙两数之和为 3，乙、丙两数之和为 6，甲、丙两数之和为7. 求这三个数. x＋z＝7 ③ x＋y＝3 ① y＋z＝6 ② 解：设甲，乙、丙三数分别为 x，y，z，由题意得 ①+②+③，两边同除以 2，得 x＋y＋z＝8 ④ ④－① 得 z＝5， ④－② 得 x＝2， ④－③ 得 y＝1. 答：甲、乙、丙三数分别为 2，1，5. 解法 三元一次方程组 概念 含有___个未知数 3 每个方程中含未知数的项的次数______ 都是 1 一共含有____个方程 三 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程组 消元 消元 课堂小结 1. 解下列方程. 解: 课后练习 2. 一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大 1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大 495，求原三位数． 解： 设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为 x、y、z. 由题意，得 解得 答：原三位数是 368. 3. 若 |a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求 a，b，c 的值． 解：因为三个非负式的和等于 0，所以每个非负式都为 0. 可得方程组 解得 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $